Enigmes

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 #26 - 04-11-2015 11:55:55

nodgim
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suite de nombres à destun incertain...

Masab c'est bon pour ta preuve, bravo !
Perso, je n'ai pas eu besoin d'aller jusqu'à u26.

#0 Pub

 #27 - 04-11-2015 11:58:53

portugal
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suite de nombres à destin invertain...

et la mienne ? roll

J'ai ecrit une solution (juste ? ) juste avant le message de masab..et suis impatient de savoir si elle est bonne ?

 #28 - 04-11-2015 12:17:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Sute de nombres à destin incertain...

@Portugal: c'est très très bien, tu as effectivement apporté la preuve de la divergence de certaines suites, et surtout le critère de divergence.

Respect.

 #29 - 04-11-2015 12:47:37

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Suite de nombres à destin incertaiin...

merci...C'est si simple une fois le résultat trouvé...

Par contre je ne trouve aucune "méthode" pour connaitre le minimum de divergence. (a part essayer tous les nombres à partir de 1000 jusqu'à en trouver un qui diverge par un programme type python mais il faut que j'apprenne à programmer d'abord...

 #30 - 04-11-2015 13:48:21

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Site de nombres à destin incertain...

J'ai progressé et ai trouvé un nouveau "best" : 1498
Pas fini le job donc pas certain si c'est le meilleur.

On peut chercher uniquement  des solutions "possibles " pour la recherche du minimum.

On sait que la solution est entre 1000 et 1691 et on sait que si on arrive à un nombre de 3 chiffres à une étape ca ne pourra pas marcher

on s'intéresse avec x<=6 à des nombres
1xyz --->  (1+x) (x+y) (y+z)

on doit avoir au moins un terme supérieur ou egal à 10 sinon ca donne un nombre de 3 chiffres.

cas 1  :  1+x>=10 alors x=9 mais on sait déjà que l'on peut faire mieux
---
cas 2 :  x+y>=10 et y+z>=10 (  et toujours x<=6 )
    ---> (1+x)1(x+y-10)1(y+z-10) ---> (2+x) (x+y-9)(x+2y+z-20)


------------------------

edit : erreur de calcul dans la ligne précédente, j'ai raté le  deuxième 1.
ca devrait etre   (2+x) (x+y-9)(x+y-9)((y+z-9)

Je laisse la suite pour l"instant car elle m'a permis de trouver un résultat mais je vais reprendre l'ensemble si j'ai un peu de temps...

Les calculs sont faux mais la méthode doit permettre de trouve rigoureusement le minimum donc je la laisse pour l'esprit...

--------------------------

Pour ne pas tomber dans un nombre  à 3 chiffres, et comme x+y>=19 est impossible, on doit avoir
x+2y + z >=30

on a donc un nombre de cas limité possibles qu'il faut tester:
x=6 :   y=8 et z>=8  ou y=9 et z>=6  : tester 1688 1689 (1696 - 1699 ne sont pas candidats)

x=5     y=8 et z=9 ou Y=9 et z>=7    : tester 1589 1597 1598 1599

x=4    Y=9 et z>=8     tester 1498 1499

1498 --->51317 --->6448 -->10812 --->1893 -->91712 -->10883 --->181611 -->99772 (somme 33)

x=3  Y=9 et z=9    tester   1399 (marche pas)

Comme on cherche un minimum, il vaut mieux tester d’abord les nombres les plus petits d'abord : bingo pour 1498 au deuxième essai

---
a suivre : Il reste à étudier pour x<=4 (cela suffit ) les cas suivants restants
cas 3  : x+y<=9 et y+z>=10
     ---> (1+x) (x+y) 1 (y+z-10)  ---> (1+2x+y) (x+y+1) (y+z-9)
et il faut étudier les cas.
-----
cas 4 :  : x+>9 et y+z<10
encore une étude à faire...

 #31 - 04-11-2015 14:01:58

Milou_le_viking
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Suite de nombres à destin incertain....

Oufti pas simple...

1)
999
1818
999

33333
6666
121212
33333

2) 1, 10, 100, 1000 ,... , 10^n donnent des suites finies.
n peut être arbitrairement grand, donc je ne vois pas de plus grand nombre.

Pour les 3) et 4), je sèche pour le moment.

 #32 - 04-11-2015 16:03:17

nodgim
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Site de nombres à destin incertain...

Milou OK pour 1) et 2).
Je vais redonner du temps, il semble qu'il y ait un regain d'intérêt.

 #33 - 04-11-2015 18:15:08

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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Suite de nobres à destin incertain...

Par "accident" on a trouvé que 1498 diverge
on cherche avec x<=4 un nombre 1xyz qui diverge.
On a comme critère d'impossibilité le passage par un nombre à 3 chiffres et on a notre critère de divergence par ailleurs.

1xyz -->(1+x)(x+y)(y+z)  L'un de ces "facteurs doit être >=10. (ca ne peut pas être 1+x)

Cas 1: [  x+y>=10 et y+z>=10  ]
...--> (1+x)1(x+y-10)1(y+z-10) -->(2+x)(x+y-9)(x+y-9)(y+z-9)
Tous les termes sont à un chiffre   ..-->(2x+y-7) (2x+2y-18) (x+2y+z-18)
L'un de ces termes doit être à 2 chiffres
2x+y-7 impliquerait y=9
2x+2y-18 impliquerait y>=10 impossible
x+2y+z-18> impliquerait 2y+z>=24 soit [y=8 et z=8 ou 9 ] ou (y=9 et z >=6)

Cas 1, sous cas 1 : y=8
1x88 ou 1x89 à tester x=0..4 (8 cas dont aucun ne marche)

Cas 1, sous cas 2 : y=9

      ....= (2x+2)(2x)(x+z)  on doit donc avoir z>=6
Un peu lourdement ca fait à tester pour conclure sur le cas 1 :
1096 1097 1098 1099 1196 1197 1198 1199 1296 1297 1298 1299 1396 1397 1398 1399 1496 1497
Le premier qui marche est 1496.
Et on a réglé le cas 1.

Cas 2 : [  x+y<=9 et y+z>=10  ] (ce qui implique z>=5)

Cas 3 : [  x+y>=10 et y+z<=9  ] (ce qui implique y >=6 et z<=3)

Peut être peut on trouver un plus petit minimum dans ces cas. J'ai fait mon temps sur cet exercice en rédigeant je crois correctement la première partie de la recherche.

Et on a donc amélioré de 2 le résultat : 1496 est maintenant mon meilleur score.

 #34 - 04-11-2015 19:19:21

nodgim
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suite de nombrzs à destin incertain...

@Portugal oui, et avec à la clé un bon travail de recherche !
Je ne crois pas qu'on puisse faire mieux....

 #35 - 04-11-2015 22:33:38

masab
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Suie de nombres à destin incertain...

Suites périodiques :

9 suites périodiques de période 2 :

[991, 1810, 991]
[992, 1811, 992]
[993, 1812, 993]
[994, 1813, 994]
[995, 1814, 995]
[996, 1815, 996]
[997, 1816, 997]
[998, 1817, 998]
[999, 1818, 999]

6 suites périodiques de période 3 :

[6664, 121210, 33331, 6664]
[6665, 121211, 33332, 6665]
[6666, 121212, 33333, 6666]
[6667, 121213, 33334, 6667]
[6668, 121214, 33335, 6668]
[6669, 121215, 33336, 6669]

Par permutations circulaires, on en déduit 2*9 + 3*6 = 36 entiers qui engendrent une suite périodique.
Y en a-t-il d'autres ?
Existe-il des suites périodiques de période différente de 2 et de 3 ?

 #36 - 05-11-2015 07:49:35

nodgim
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suite de nombred à destin incertain...

@masab, c'est bien d'avoir fait le tour des suites périodiques. J'ignore s'il y en a d'autres.

@Portugal: j'ai validé un peu trop vite ta fonction f(x), elle n'est pas forcément croissante quand S>27. En effet, si S0>27, il est sûr que x1=f(x0) est tel que f(x1)>f(x0). En revanche, il n'est pas certain que f(x2)>f(x1).
Un exemple: x0=555555 qui donne x1=1010101010 x2=111 111 111 avec f(x2)< f(x1).
Ta formule n'est pas forcément à jeter, mais en l'état, elle n'est pas un critère de divergence.

 #37 - 05-11-2015 09:39:17

masab
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suite de nombrzs à destin incertain...

Juste une remarque sur la définition du nombre suivant.
Le suivant d'un entier naturel n'a été défini que pour les entiers >=10.
Pour les entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 il n'y a pas deux chiffres consécutifs dans l'écriture de ces entiers. Mais en mathématiques en considère en général qu'une somme sur un ensemble d'indices vide est égale à 0.
On peut donc raisonnablement considérer que les nombres suivants les entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sont tous égaux à 0.
De cette façon le nombre suivant de n'importe quel entier naturel est défini.
Et 0 est l'unique point fixe de l'application "nombre suivant".

 #38 - 05-11-2015 10:29:38

portugal
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Suite de nombres àà destin incertain...

c'est vrai...bien vu...sad
L'erreur est assez flagrante quand tu le dis..

Ce qui est rigolo c'est que le critère à l'air assez solide pour la divergence...

Faut il chercher un contre exemple ou une meilleur démo ? Je penche pour le deuxième choix, et toi ?

En effet quand on "perd de la somme", cela implique créer de la longueur et des 1.
Or ces 1 vont pouvoir très vite croître pour "faire revenir la somme' ou bien, associés à des 9 refaire de la longueur et temporiser avant de faire remonter la somme...mais toute temporisation est temporaire par définition.. cool

C'est jouable  ?

 #39 - 05-11-2015 17:58:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Site de nombres à destin incertain...

Un petit résumé sur la situation au moment de la visualisation des réponses.

D'abord un grand merci à tous les participants à ce sujet ouvert. La plupart d'entre vous ont été au dela des questions posées, avec beaucoup de réflexion sur la preuve de la divergence. Pour autant, le sujet reste ouvert pour cette preuve et également pour la liste des suites périodiques, dont on ne sait pas si elle se limite aux 99. et 666.

Je vais apporter une petite contribution sur la question de la divergence de la suite du nombre 1496, repéré comme étant le plus petit nombre à suite divergente.

A un moment donné, on observe la séquence :
99714.....puis
181685....puis à nouveau
99714....

99714.. a 2 sommes >10, donc le nombre suivant sera plus grand de 1 chiffre.
181685...,qui est le nombre suivant, idem.

Donc la suite est strictement croissante en nombre de chiffres. Elle est donc divergente.

Pour l'instant le critère de divergence n'est pas défini, l'idée brillante de Portugal n'est pas encore au point.

J'ai une autre piste.
Je conjecture que les suites convergentes qu'on peut remonter à partir d'un seul chiffre sont en nombre fini (si l'on identifie à part celles du genre a0000....000b).
Autrement dit, on doit pouvoir identifier toutes les suites convergentes. Ce qui me fait avancer ça, c'est que si on prend un nombre au hasard de plus de 5 chiffres par exemple, il y a peu de chances qu'on puisse trouver un antécédent. 
Vous pouvez essayer ce petit exercice, vous vous rendrez compte rapidement qu'on tombe toujours sur une impasse, un dernier antécédent.

 #40 - 05-11-2015 19:05:02

enigmatus
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Suite de nnombres à destin incertain...

En partant d'un nombre [latex]n[/latex] ([latex]1\leq n\leq100000[/latex]), j'obtiens au moins 640 suites périodiques. On retrouve un nombre déjà vu au bout de 15 itérations au maximum, et la période est 2 ou 3.
Le plus grand nombre de chiffres obtenu est 6.

Il se peut qu'il y en ait d'autres, car j'arrête les itérations pour un nombre s'il atteint 1000 chiffres.

 #41 - 05-11-2015 19:56:20

nodgim
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suite de nombres à destin uncertain...

Intéressant Enigmatus. Pourrais tu fournir qq exemples de ces suites périodiques ?

 #42 - 05-11-2015 20:36:32

enigmatus
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suite de nombres à deston incertain...

En voici quelques unes :

Code:

 0    5450
 1     995 *
 2    1814
 3     995 *

 0   32185
 1   53913
 2  812104
 3   93314
 4   12645
 5   38109
 6   11919
 7 2101010
 8  311111
 9   42222
10    6444
11    1088
12    1816 *
13     997
14    1816 *

 0   49003
 1   13903
 2   41293
 3  531112
 4   84223
 5   12645
 6   38109
 7   11919
 8 2101010
 9  311111
10   42222
11    6444
12    1088
13    1816 *
14     997
15    1816 *

 0   71350
 1    8485
 2  121213 *
 3   33334
 4    6667
 5  121213 *

 0   94012
 1   13413
 2    4754
 3   11129
 4   22311
 5    4542
 6     996 *
 7    1815
 8     996 *

 #43 - 05-11-2015 21:27:30

masab
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Suite de ombres à destin incertain...

Les suites indiquées par enigmatus ne sont pas de vraies suites périodiques ; elles sont seulement périodiques à partir d'un certain rang !

Soit [latex]u_1=1496[/latex].
J'ai indiqué dans un message précédent que l'entier [latex]u_{32}[/latex] contient 7777 dans son écriture. Et que si on a dans un entier [latex]u_n[/latex] une séquence de r chiffres 7 consécutifs, alors dans [latex]u_{n+10}[/latex] il y a une séquence de 8r-27 chiffres 7 consécutifs.
Par suite [latex]u_{42}[/latex] contient ...77777...
[latex]u_{52}[/latex] contient ...7777777777777...
[latex]u_{62}[/latex] contient ...77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777...
etc
On voit donc qu'il existe des [latex]u_n[/latex] aussi grand que l'on veut.
La suite [latex]u_n[/latex] ne peut donc être égale à 0 à partir d'un certain rang ou être périodique à partir d'un certain rang. Toutes les valeurs [latex]u_n[/latex] de cette suite sont donc distinctes. Cela entraîne que la suite [latex]u_n[/latex] tend vers [latex]+\infty[/latex] .

 #44 - 05-11-2015 22:13:50

enigmatus
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suite de nombres à destin incettain...

Pour les suites périodiques depuis le début, j'obtiens les mêmes que masab en #35. Je suis allé jusqu'à n=1000000 et n'en ai pas trouvé d'autres.

 #45 - 05-11-2015 22:23:30

portugal
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Suite de nombress à destin incertain...

"99714.. a 2 sommes >10, donc le nombre suivant sera plus grand de 1 chiffre."

J'aime beaucoup l'idée...

J'ai l'impression de ne pas être loin du critère de divergence mais pas no plus arrivé.
Je pensais que la Somme etait le "driver" de la divergence, maintenant plutôt la longueur.

En effet, la Somme peut "chuter" alors que la longueur baisse tout doucement et peut monter vite en cas de "chute de somme".

Pour conclure, il faut affiner le fait que pour que la longueur baisse il faut avoir exclusivement des petits chiffres, mais que comme ils doublent ca ne dure pas assez longtemps et on rebondit vite.

Très grossièrement, si on observe
*10101* --> *1111* -->*2222* --->*4444* --->*8888*
ca donne envie de croire que quand on est en divergence, la longueur s'acroit tous les 6 coups au maximum...

 #46 - 06-11-2015 08:33:30

nodgim
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suite de nombres à deston incertain...

@Masab: d'accord avec ton analyse, ce que tu avais déja fait dans un msg précédent. J'ai indiqué qu'il y avait plus court pour démontrer la divergence de la suite 1496, ça ne retire rien à ta démo.

@Enigmatus
Pas vraiment de nouveauté, ces nombres que tu as identifiés tombent dans une boucle connue, soit 99* ou 666*.

@portugal: C'est aussi un peu mon idée. Si on prend 6 chiffres consécutifs issus d'un antécédent (donc jamais avec 2 zéros consécutifs) en 5 opérations max on aura une somme >10, donc + 1 chiffre. Il suffit alors de dire que si on a 6*6 chiffres, au bout de 5 opérations, on aura au moins + 6 chiffres, auxquels on ôte 5 pour les opérations, le bilan est donc + 1 chiffre.
Cependant, c'est très loin de la réalité, car on observe qu'un nombre issu d'un antécédent de 8 chiffres converge. Et c'est parce qu'il faut observer les sommes des nombres 1 à 6, 2 à 7, 3 à 8, soit un nombre de 12 chiffres pour avoir 6 sommes.

 #47 - 06-11-2015 11:53:23

masab
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Suite de nomrbes à destin incertain...

@nodgim

Effectivement ta preuve de la divergence de la suite commençant à 1496
99714.....
puis 181685....
puis à nouveau 99714....

est beaucoup plus simple que la mienne !

 #48 - 06-11-2015 18:40:20

nodgim
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Suite de nommbres à destin incertain...

Les nombres qui tombent dans les boucles sont, comme ceux qui convergent, en quantité limitée (mise à part éventuellement ceux contenant une suite infinie de zéros). Par exemple, je me suis amusé à identifier les antécédents de 997, il y en a près de 150, dont les plus grands 52000010 et 23000010. Si Masab ne les a pas trouvés tous, il ne doit pas lui en manquer beaucoup...

 #49 - 06-11-2015 18:56:52

portugal
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Suite de nombres à desin incertain...

Je suis d'accord avec le fait que "Cependant, c'est très loin de la réalité"..sinon j'aurais donné la réponse...

...au moins , si aucun résultat clair n’apparaît sur le comportement de ces nombres et en particulier la recherche d'antécédents, ça donnera peut être un nouveau procédé cryptographique...

 #50 - 07-11-2015 18:37:05

masab
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suite dz nombres à destin incertain...

Voici les antécédents de 997.  En fait il y en a 165 .
Le plus grand est 80010004 .
Voici leur liste :

Code:

[997, 1088, 1494, 1816, 2449, 2725, 2808, 3358, 3634, 3717, 4267, 4543, 4626, 4927, 5176, 5452, 5535, 5836, 5904, 5930, 6085, 6361, 6444, 6745, 6813, 7270, 7353, 7654, 7722, 8262, 8563, 8631, 9171, 9472, 9540, 10080, 10381, 11318, 11919, 12144, 12645, 13119, 13221, 13903, 14123, 15223, 16111, 20409, 21235, 21736, 22061, 22312, 23094, 23214, 24040, 24314, 25140, 25202, 26640, 29018, 30326, 30827, 31152, 31403, 32049, 32185, 32305, 33131, 33405, 34231, 35731, 38109, 40243, 41276, 41293, 41320, 42222, 43322, 44210, 44822, 49003, 50047, 50160, 50367, 50384, 50411, 51313, 52413, 53301, 53913, 60404, 61230, 61504, 62330, 66041, 70321, 71421, 75132, 80057, 80512, 81400, 83017, 84223, 90280, 92108, 93314, 102405, 110183, 110214, 112013, 113013, 119100, 120045, 131100, 201092, 201123, 202102, 211911, 214301, 220202, 221202, 250120, 300191, 302820, 305210, 310251, 311111, 312111, 381000, 400221, 401160, 401200, 402020, 403020, 420300, 440203, 500043, 500334, 503001, 530016, 531112, 622021, 800052, 811008, 812104, 830012, 903013, 920012, 2001021, 2013001, 2101010, 2300015, 2301011, 3010101, 3011010, 3210102, 4000201, 5000304, 5300011, 7200011, 8010008, 8011004, 23000010, 52000010, 80010004]

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