991 admet 40 antécédents, le plus grand est 110000000013 .
992 admet 38 antécédents, le plus grand est 20100006 .
993 admet 44 antécédents, le plus grand est 20100007 .
994 admet 83 antécédents, le plus grand est 20100008 .
995 admet 102 antécédents, le plus grand est 400000101 .
996 admet 120 antécédents, le plus grand est 400000102 .
997 admet 165 antécédents, le plus grand est 80010004 .
998 admet 116 antécédents, le plus grand est 320000010 .
999 admet 25 antécédents, le plus grand est 5000041 .

6664 admet 29 antécédents, le plus grand est 500000103 .
6665 admet 27 antécédents, le plus grand est 4002003 .
6666 admet 31 antécédents, le plus grand est 4002004 .
6667 admet 36 antécédents, le plus grand est 4010200 .
6668 admet 49 antécédents, le plus grand est 4010201 .
6669 admet 50 antécédents, le plus grand est 21001010 .

Il y a donc exactement 955 entiers aboutissant à l'un des quinze cycles connus.
Le plus grand nombre parmi les quinze précédents est 110000000013.

SUPPOSONS que les seuls cycles soient les neuf 2-cycles et les six 3-cycles que l'on a déjà indiqués.
Alors en déduit que pour tout n>=110000000014, la suite commençant à n aboutit à un chiffre (puis à 0) ou tend vers l'infini.

Ton programme permet-il également de trouver tous les antécédents de 1 ou un autre chiffre ?

Comme 10^r+1 donne une suite terminant en  1, les antécédents de 1 sont en nombre infini. De même pour les antécédents de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Appelons entier bigzéro tout entier de la forme c*10^r+d avec r>=3, c chiffre non nul, d chiffre. Il y a 90 bigzéros. On remarque qu'un entier bigzéro admet un seul antécédent immédiat, à savoir c*10^(r+1)+d .

On peut compter pour chacun des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 les antécédents qui ne sont des entiers bigzéros.
On trouve ainsi :
4273 antécédents de 1, le plus grand étant 11000000000000003 .
2712 antécédents de 2, le plus grand étant 30000000000000010 .
2494 antécédents de 3, le plus grand étant 40000000000000010 .
4111 antécédents de 4, le plus grand étant 90000000000000010 .
3974 antécédents de 5, le plus grand étant 11000000000000007 .
3654 antécédents de 6, le plus grand étant 20000000000000010 .
4318 antécédents de 7, le plus grand étant 60000000000000010 .
3934 antécédents de 8, le plus grand étant 80000000000000010 .
3751 antécédents de 9, le plus grand étant 200000000000010 .
Au total cela concerne donc 33221 entiers, le plus grand étant 90000000000000010 .

Finalement on peut classer les entiers naturels en 4 catégories.
1) Les entiers non bigzéros définissant une suite convergeant vers un chiffre.
Il y en a 33221, le plus grand étant 90000000000000010 .

2) Les entiers bigzéros, c-à-d de la forme c*10^r+d avec r>=3, c chiffre non nul, d chiffre. Il y en a 90. Le plus petit est 100.
Un entier bigzéros n définit une suite convergeant vers le reste de la division de n par 9 (si le reste est nul, elle converge vers 9).

3) Les entiers qui définissent une suite périodique.
Il y en a 36. Le plus petit est 991, le plus grand est 121215.

4) Les entiers qui définissent une suite non périodique mais périodique à partir d'un certain rang.
Il y en a 959. Le plus petit est 1082, le plus grand est 110000000013 .

5) Les entiers qui définissent une suite qui tend vers l'infini.
Il y en a une infinité. Le plus petit est 1496.
Les entiers non bigzéros et > 90000000000000010 sont tous dans cette catégorie.

Merci Masab pour toutes ces infos. Ces 2 derniers messages résument à peu près tout ce qu'il y a à dire sur le sujet.

Je suis impressionné par le nombre record, il mérite sa suite ici :

90000000000000010
9000000000000011
900000000000012
90000000000013
9000000000014
900000000015
90000000016
9000000017
900000018
90000019
90000110
9000121
900133
90146
91510
10661
16127
7739
141012
55113
10624
1686
71414
8555
131010
44111
8522
1374
41011
5112
623
85
13
4

Comme j'ai lancé la même question sur un autre site francophone, je me suis permis, Masab, de transmettre ton message résumé. J'espère que tu ne m'en voudras pas.

Merci...
C'était exactement l'dée derrière la question..

En fait il me semble qu'il reste encore à prouver qu'il n'existe pas d'autres suites périodiques...
On peut donc seulement affirmer que les entiers non bigzéros et > 90000000000000010 engendrent une suite tendant vers l'infini ou périodique.
De même on peut seulement affirmer que tout entier dont la somme des chiffres est >=30 engendre une suite qui tend vers l'infini ou périodique.
Encore un petit effort...

En fait on peut vérifier que si un entier sans double zéro (c-à-d sans 2 zéros consécutifs) [latex]u_1[/latex] a 8 chiffres, alors [latex]u_6[/latex] admet au moins 6 chiffres.
Donc dans le passage
[TeX]u_1 \to u_2 \to u_3 \to u_4 \to u_5 \to u_6[/TeX]
on a fait au moins 3 fois une somme de 2 chiffres consécutifs [latex]a, b[/latex] avec [latex]a+b\geq 10[/latex] .

Considérons maintenant un entier sans double zéro [latex]v_1[/latex] ayant au moins 17 chiffres. On peut considérer l'entier formé des 8 premiers chiffres d'une part ; si le 9ième chiffre est non nul, on considère aussi  l'entier formé des 8 chiffres suivants ; sinon on considère l'entier formé des 8 derniers chiffres. Le passage de [latex]v_1[/latex] à [latex]v_6[/latex] admet au moins [latex]3+3=6[/latex] fois une somme  [latex]a+b\geq 10[/latex] .
Par suite [latex]v_6[/latex] a un nombre de chiffres [latex] \geq 17-5+6 = 18[/latex].
Donc la suite engendrée par [latex]v_1[/latex] tend vers l'infini.

Conclusion : tout entier sans double zéro ayant au moins 17 chiffres engendre une suite qui tend vers l'infini.

On doit pouvoir améliorer ce résultat.

En particulier cela montre que dans toutes les autres catégories, les entiers sans double zéro sont en nombre fini. Il n'existe donc qu'un nombre fini de suites périodiques.

Conclusion améliorée : tout entier sans double zéro ayant au moins 16 chiffres engendre une suite qui tend vers l'infini.

Même preuve que précédemment, à ceci près :
le 1er entier de 8 chiffres est constitué des 8 premiers chiffres ; si le 9ième chiffre depuis la gauche est non nul, le 2ème entier de 8 chiffres est constitué à partir du 9ième chiffre ; si le 9ième chiffre depuis la gauche est nul, le 2ème entier de 8 chiffres est constitué à partir du 8ième chiffre.
[TeX]{\square}\hspace{12.9cm}[/TeX]

Un exemple devrait faire comprendre l'idée.

9977 donne
18161...4 on met le 4 à part et on ne compte pas la somme 1+4 dans le nombre suivant
9977

Il y a donc une routine 9977--->18161, qui va alimenter infiniment le nombre supplémentaire qui lui ne peut que croître.
9977
18161..4
9977...5
18161..412
9977..553
etc...

9977 est donc strictement divergent.

On peut remplacer le test que j'ai proposé au msg 65, peu compatible avec une routine informatique, par celui ci:
Pour les nombres compris entre 1000 et 999 999, si le nombre de chiffres du résultat après une opération est <3 ou >15, STOP. Sinon, au bout de 100 opérations, vérifier si le nombre fait partie des 36 nombres des suites périodiques. Sinon, éditer le nombre. STOP.

Normalement, il ne devrait y avoir aucun nombre édité.

OK Masab, merci pour ton travail. Cependant, peut être n'as tu pas examiné le cas des nombres intermédiaires de 4 à 7 chiffres ? Dans ce créneau, il pourrait exister une suite périodique bien cachée. Je n'y crois pas trop, franchement, mais....