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 #51 - 07-11-2015 19:31:18

nodgim
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Suite de nombres à destin inceratin...

Ce 80 010 004 je l'avais aussi dans ma liste, il m'avait échappé à la lecture. Sinon, il m'en manquait effectivement quelques uns.
Masab, comme tu as l'outil informatique pour remonter les antécédents, tu es capable de faire la liste complète des convergents (depuis 1 à 9; reste à gérer les infinis genre a0000..000b) et des antécédents des boucles, ce qui fermerait le débat ou presque, car il restera l'épineux problème des boucles.

#0 Pub

 #52 - 07-11-2015 21:30:48

masab
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suite de nombrzs à destin incertain...

991 admet 40 antécédents, le plus grand est 110000000013 .
992 admet 38 antécédents, le plus grand est 20100006 .
993 admet 44 antécédents, le plus grand est 20100007 .
994 admet 83 antécédents, le plus grand est 20100008 .
995 admet 102 antécédents, le plus grand est 400000101 .
996 admet 120 antécédents, le plus grand est 400000102 .
997 admet 165 antécédents, le plus grand est 80010004 .
998 admet 116 antécédents, le plus grand est 320000010 .
999 admet 25 antécédents, le plus grand est 5000041 .

6664 admet 29 antécédents, le plus grand est 500000103 .
6665 admet 27 antécédents, le plus grand est 4002003 .
6666 admet 31 antécédents, le plus grand est 4002004 .
6667 admet 36 antécédents, le plus grand est 4010200 .
6668 admet 49 antécédents, le plus grand est 4010201 .
6669 admet 50 antécédents, le plus grand est 21001010 .

Il y a donc exactement 955 entiers aboutissant à l'un des quinze cycles connus.
Le plus grand nombre parmi les quinze précédents est 110000000013.

SUPPOSONS que les seuls cycles soient les neuf 2-cycles et les six 3-cycles que l'on a déjà indiqués.
Alors en déduit que pour tout n>=110000000014, la suite commençant à n aboutit à un chiffre (puis à 0) ou tend vers l'infini.

 #53 - 07-11-2015 21:53:19

portugal
Professionnel de Prise2Tete
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suite fe nombres à destin incertain...

Par curiosité , stp


Y a il des nombres observés  dont la somme des chiffres

>27 qui ne divergent pas ?
=27 qui revient à 1 chiffre

 #54 - 08-11-2015 09:29:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite de nombres à destin incertaib...

Ton programme permet-il également de trouver tous les antécédents de 1 ou un autre chiffre ?

 #55 - 08-11-2015 15:26:14

masab
Expert de Prise2Tete
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Suite de onmbres à destin incertain...

Justement je suis en train d'y réfléchir, puisque les chiffres ont une infinité d'antécédents ! Je vais devoir faire un choix judicieux parmi les antécédents...

 #56 - 09-11-2015 23:31:18

masab
Expert de Prise2Tete
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Suite de nombres à detin incertain...

Comme 10^r+1 donne une suite terminant en  1, les antécédents de 1 sont en nombre infini. De même pour les antécédents de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Appelons entier bigzéro tout entier de la forme c*10^r+d avec r>=3, c chiffre non nul, d chiffre. Il y a 90 bigzéros. On remarque qu'un entier bigzéro admet un seul antécédent immédiat, à savoir c*10^(r+1)+d .

On peut compter pour chacun des chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 les antécédents qui ne sont des entiers bigzéros.
On trouve ainsi :
4273 antécédents de 1, le plus grand étant 11000000000000003 .
2712 antécédents de 2, le plus grand étant 30000000000000010 .
2494 antécédents de 3, le plus grand étant 40000000000000010 .
4111 antécédents de 4, le plus grand étant 90000000000000010 .
3974 antécédents de 5, le plus grand étant 11000000000000007 .
3654 antécédents de 6, le plus grand étant 20000000000000010 .
4318 antécédents de 7, le plus grand étant 60000000000000010 .
3934 antécédents de 8, le plus grand étant 80000000000000010 .
3751 antécédents de 9, le plus grand étant 200000000000010 .
Au total cela concerne donc 33221 entiers, le plus grand étant 90000000000000010 .

Finalement on peut classer les entiers naturels en 4 catégories.
1) Les entiers non bigzéros définissant une suite convergeant vers un chiffre.
Il y en a 33221, le plus grand étant 90000000000000010 .

2) Les entiers bigzéros, c-à-d de la forme c*10^r+d avec r>=3, c chiffre non nul, d chiffre. Il y en a 90. Le plus petit est 100.
Un entier bigzéros n définit une suite convergeant vers le reste de la division de n par 9 (si le reste est nul, elle converge vers 9).

3) Les entiers qui définissent une suite périodique.
Il y en a 36. Le plus petit est 991, le plus grand est 121215.

4) Les entiers qui définissent une suite non périodique mais périodique à partir d'un certain rang.
Il y en a 959. Le plus petit est 1082, le plus grand est 110000000013 .

5) Les entiers qui définissent une suite qui tend vers l'infini.
Il y en a une infinité. Le plus petit est 1496.
Les entiers non bigzéros et > 90000000000000010 sont tous dans cette catégorie.

 #57 - 10-11-2015 00:12:49

masab
Expert de Prise2Tete
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suite de nombres à destin inxertain...

En réponse au message de portugal :

somme des chiffres égale à 27 :
7659 -> 2 , 8379 -> 3

somme des chiffres égale à 28 :
9469 -> 1 , 8569 -> 4 , 9559 -> 6 , 8299 -> 7 , 9379 -> 8 , 7489 ->9

somme des chiffres égale à 29 :
9479 -> 5

Voilà !

 #58 - 10-11-2015 09:15:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite de nombres à sestin incertain...

Merci Masab pour toutes ces infos. Ces 2 derniers messages résument à peu près tout ce qu'il y a à dire sur le sujet.

Je suis impressionné par le nombre record, il mérite sa suite ici :

90000000000000010
9000000000000011
900000000000012
90000000000013
9000000000014
900000000015
90000000016
9000000017
900000018
90000019
90000110
9000121
900133
90146
91510
10661
16127
7739
141012
55113
10624
1686
71414
8555
131010
44111
8522
1374
41011
5112
623
85
13
4

 #59 - 10-11-2015 12:55:44

portugal
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Suite de nombres à destin inncertain...

Merci pour les calculs et bravo ; étrange cette suite effectivement. Cette instabilité me fait penser à la vulgarisation sur les systèmes dynamiques et fonctions instables  que j'ai lu (cf Arthur Avila )

Ainsi 28 ne marche pas, 29 non plus

30 serait donc la plus petite somme à assurer la divergence ou faut il monter plus haut pour ma curiosité ?

( pour savoir si ma méthode qui ne marche pas pour le critère de divergence pourrait être amendée..)

 #60 - 10-11-2015 13:23:07

nodgim
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Suite de nombres à desti incertain...

Comme j'ai lancé la même question sur un autre site francophone, je me suis permis, Masab, de transmettre ton message résumé. J'espère que tu ne m'en voudras pas.

 #61 - 10-11-2015 19:06:46

masab
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syite de nombres à destin incertain...

Voici le résultat attendu par portugal !

Le maximum de la somme des chiffres des entiers dans chaque catégorie (voir mon avant dernier message) est donné apr

Catégorie 1 : [[9479, 29]]
La somme maximum de cette catégorie est 29 et 9479 est le seul entier dans ce cas.

Catégorie 2 : [[9*10^r+9, 18]]   avec r>=3 (bigzeros)

Catégorie 3 : [[999, 27], [6669, 27]]

Catégorie 4 : [[7578, 27], [8487, 27], [9396, 27]]

CONCLUSION : tout entier dont la somme des chiffres est >=30 engendre une suite qui tend vers l'infini.

Il serait intéressant de trouver une preuve simple de ce résultat...

 #62 - 10-11-2015 20:28:40

portugal
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Sute de nombres à destin incertain...

Merci...
C'était exactement l'dée derrière la question..roll

 #63 - 10-11-2015 21:18:18

masab
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Suite de nombres à destin incertainn...

Voici le maximum des longueurs des suites finies des entiers de  chaque catégorie.

Catégorie 1 : [[91000021, 40]]
La longueur maximum ici est de 40 : [[91000021, 40]]
La suite engendrée par 91000021 a une longueur de 40 .

Plus précisément :
Suites convergeant vers 1 : [[4100050, 35]]
Suites convergeant vers 2 : [[11000034, 35]]
Suites convergeant vers 3 : [[11000000000000005, 27]]
Suites convergeant vers 4 : [[91000021, 40]]
Suites convergeant vers 5 : [[11000019, 29], [42000021, 29], [110000100, 29]]
Suites convergeant vers 6 : [[22000000007, 28]]
Suites convergeant vers 7 : [[2030011, 31]]
Suites convergeant vers 8 : [[100000000020, 33]
Suites convergeant vers 9 : [[500000000020, 33]]

Catégorie 2 : Les bigzéros. Soit r>=3 un entier fixé.
Alors les entiers de la forme [latex]c\,10^r+d[/latex] avec c chiffre non nul et d chiffre, engendrent une suite finie dont la longueur maximum est r+2.
Exemple : [4007, 5]

Catégorie 3 :
Les suites périodiques ont pour période maximum 3 .


Catégorie 4 : [[5000304, 17]]
La longueur maximum ici est de 17.

CONCLUSION : la plus grande suite finie a une longueur de 40. Le seul entier engendrant une telle suite est  91000021 ; il engendre une suite convergeant vers 4 .

 #64 - 11-11-2015 19:10:13

masab
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Suite de nombres à destin inncertain...

En fait il me semble qu'il reste encore à prouver qu'il n'existe pas d'autres suites périodiques...
On peut donc seulement affirmer que les entiers non bigzéros et > 90000000000000010 engendrent une suite tendant vers l'infini ou périodique.
De même on peut seulement affirmer que tout entier dont la somme des chiffres est >=30 engendre une suite qui tend vers l'infini ou périodique.
Encore un petit effort...

 #65 - 15-11-2015 08:16:18

nodgim
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Suite de nombres à desti incertain...

On doit pouvoir obtenir cette preuve dans un temps fini.
On fait la liste ordonnée des nombres convergents ou qui donnent dans une suite prériodique connue. On élimine les nombres comportant au moins 2 zéros successifs (ces nombres ne peuvent se trouver dans une routine). Les premiers nombres supposés divergents sont des nombres à au moins 4 chiffres, on prend le 1er d'entre eux (sans 2 zéros successifs) et on commence l'opération. On ne conserve du résultat que les n chiffres à partir de la gauche dont on suppose la divergence (pas dans la liste préalablement établie). Et on continue jusqu'à retomber sur un nombre de 4 chiffres déja rencontré (probablement qu'on tombera sur une routine à 5 chiffres). Dans cette routine, on est sûr que les nombres sont divergents. En effet, si un nombre est alimenté par sa gauche par un chiffre toujours présent, ce nombre est strictement divergent. En effet, si ce nombre a n chiffres, il en résulte n sommes et donc soit c'est la somme des chiffres qui est supérieure après qu'avant l'opération, soit c'est le nombre de chiffres (si n>=2).
 
Exemple avec 10 alimenté par zéro à gauche.
010
011
012
013
014
015
016
017
018
019
0110
0121
0133
0146
01510
01661
017127
018839
....

Quand on aura fini avec les routines à 4 chiffres, on fera celles à 5 chiffres, puis 6 chiffres....Ce qui va probablement se passer, c'est qu'en partant d'un nombre de plus de 4 chiffres, on va tomber sur un nombre à 4 ou 5 chiffres prouvé divergent. 
Comme le nombre de chiffres des nombres convergents est limité ( en ayant mis de coté les "doubles zéros") ces opérations de contrôle ne sont pas infinies.

Donc on peut théoriquement prouver qu'il n'y pas d'autres suites périodiques que celles connues.

 #66 - 15-11-2015 10:03:33

masab
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uite de nombres à destin incertain...

En fait on peut vérifier que si un entier sans double zéro (c-à-d sans 2 zéros consécutifs) [latex]u_1[/latex] a 8 chiffres, alors [latex]u_6[/latex] admet au moins 6 chiffres.
Donc dans le passage
[TeX]u_1 \to u_2 \to u_3 \to u_4 \to u_5 \to u_6[/TeX]
on a fait au moins 3 fois une somme de 2 chiffres consécutifs [latex]a, b[/latex] avec [latex]a+b\geq 10[/latex] .

Considérons maintenant un entier sans double zéro [latex]v_1[/latex] ayant au moins 17 chiffres. On peut considérer l'entier formé des 8 premiers chiffres d'une part ; si le 9ième chiffre est non nul, on considère aussi  l'entier formé des 8 chiffres suivants ; sinon on considère l'entier formé des 8 derniers chiffres. Le passage de [latex]v_1[/latex] à [latex]v_6[/latex] admet au moins [latex]3+3=6[/latex] fois une somme  [latex]a+b\geq 10[/latex] .
Par suite [latex]v_6[/latex] a un nombre de chiffres [latex] \geq 17-5+6 = 18[/latex].
Donc la suite engendrée par [latex]v_1[/latex] tend vers l'infini.

Conclusion : tout entier sans double zéro ayant au moins 17 chiffres engendre une suite qui tend vers l'infini.

On doit pouvoir améliorer ce résultat.

En particulier cela montre que dans toutes les autres catégories, les entiers sans double zéro sont en nombre fini. Il n'existe donc qu'un nombre fini de suites périodiques.

 #67 - 15-11-2015 10:05:10

nodgim
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suite de npmbres à destin incertain...

2 exemples pour illustrer cette théorie:

8749 tombe dans une routine 99771 de longueur 2
8755 tombe dans une routine 93377 de longueur 53.

 #68 - 15-11-2015 11:57:36

masab
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suite de nombres à dzstin incertain...

Conclusion améliorée : tout entier sans double zéro ayant au moins 16 chiffres engendre une suite qui tend vers l'infini.

Même preuve que précédemment, à ceci près :
le 1er entier de 8 chiffres est constitué des 8 premiers chiffres ; si le 9ième chiffre depuis la gauche est non nul, le 2ème entier de 8 chiffres est constitué à partir du 9ième chiffre ; si le 9ième chiffre depuis la gauche est nul, le 2ème entier de 8 chiffres est constitué à partir du 8ième chiffre.
[TeX]{\square}\hspace{12.9cm}[/TeX]

 #69 - 15-11-2015 12:01:36

masab
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Suite de nombres à destin icertain...

@nodgim

Je ne comprends pas vos 2 derniers messages...
Déjà : "avec 10 alimenté par zéro à gauche"
Vu que l'écriture d'un entier ne commence pas par 0...
En fait je n'ai pas dû comprendre votre idée...

 #70 - 15-11-2015 12:55:16

nodgim
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Suiite de nombres à destin incertain...

Un exemple devrait faire comprendre l'idée.

9977 donne
18161...4 on met le 4 à part et on ne compte pas la somme 1+4 dans le nombre suivant
9977

Il y a donc une routine 9977--->18161, qui va alimenter infiniment le nombre supplémentaire qui lui ne peut que croître.
9977
18161..4
9977...5
18161..412
9977..553
etc...

9977 est donc strictement divergent.

 #71 - 15-11-2015 18:44:23

masab
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Suite de nombres à destin incerrtain...

Le plus grand entier sans double zéro convergeant vers un chiffre est
[TeX]8010120 \to\cdots\to 5[/TeX]
Le plus grand entier sans double zéro engendrant une suite périodique (connue !) après un certain rang est
[TeX]4010202 \to\cdots\to 121215[/TeX]

 #72 - 16-11-2015 07:38:11

nodgim
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suite de nombres à destin oncertain...

On peut remplacer le test que j'ai proposé au msg 65, peu compatible avec une routine informatique, par celui ci:
Pour les nombres compris entre 1000 et 999 999, si le nombre de chiffres du résultat après une opération est <3 ou >15, STOP. Sinon, au bout de 100 opérations, vérifier si le nombre fait partie des 36 nombres des suites périodiques. Sinon, éditer le nombre. STOP.

Normalement, il ne devrait y avoir aucun nombre édité.

 #73 - 17-11-2015 18:26:09

masab
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suite de nomvres à destin incertain...

On vérifie que tous les nombres à [latex]8[/latex] chiffres sans double zéro aboutissent à des nombres ayant [latex]\geq 16[/latex] chiffres.
Par suite tout entier sans double zéro ayant au moins 8 chiffres engendre une suite qui tend vers l'infini.

 #74 - 17-11-2015 18:37:44

nodgim
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Suite de nombres à destin inceratin...

OK Masab, merci pour ton travail. Cependant, peut être n'as tu pas examiné le cas des nombres intermédiaires de 4 à 7 chiffres ? Dans ce créneau, il pourrait exister une suite périodique bien cachée. Je n'y crois pas trop, franchement, mais....

 #75 - 18-11-2015 13:17:12

masab
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suite de nombres à destin incertzin...

Bien sûr j'ai examiné les entiers n sans zéro double ayant au plus 7 chiffres en étudiant pour chacun le début de la suite engendrée.

Et j'ai compté le nombre de ces entiers
[latex]\bullet[/latex] dans la catégorie 1 (convergence vers 1,...,9)
il y en a 23069 avec comme n maximum 8010120
[latex]\bullet[/latex] dans la catégorie 2 (suites périodiques)
il y en a 36 avec comme n maximum 121215
[latex]\bullet[/latex] dans la catégorie 3 (suites périodiques à partir d'un certain rang, non périodiques)
il y en a 716 avec comme n maximum 4010202

On retrouve pour les catégories 1 et 3 les nombres déjà obtenus par la méthode des antécédents ! De plus pour la catégorie 2, on en trouve 36, c-à-d exactement les 36 suites périodiques que l'on conaissait déjà !

L'étude est terminée mais on pourrait encore se poser des questions sur certaines de ces suites aux propriétés étranges...

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