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 #76 - 18-11-2015 13:44:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

Suite de nombres à destin incertin...

Merci Masab pour ta grande contribution à ce sujet. Eh oui, j'aurais aimé bien sûr que la théorie prenne le pas sur la vérification systématique, mais l'objectif est atteint. Quel genre de questions te poses tu encore ?

#0 Pub

 #77 - 18-11-2015 16:26:49

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Suite de nombres à destin incertain....

Par exemple il y a la suite [latex]u_1=9971,u_2,...,u_k,...[/latex] qui semble avoir la propriété suivante : pour tout entier [latex]k\geq 1[/latex] l'entier [latex]u_k[/latex] est le début de l'entier [latex]u_{k+2}[/latex].
Je l'ai vérifié jusqu'à [latex]u_{41}[/latex] mais ça reste à prouver.

On trouve de nombreux exemples de ce genre, et même avec des périodes autres que 2.

 #78 - 19-11-2015 08:48:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

suite de nombres à destib incertain...

Le cas que tu cites peut s'expliquer assez facilement, tout au moins pour la période 2.
Prenons le cas de 996, par exemple.
996
1815
996

Ajoutons 1:
1) 996-1
2) 1815-7
3) 996-12

On a de la chance, 12 commence par 1 et est donc une prolongation de 1). A partir de là, tout va dérouler.
1) 996-1
2) 1815-7
3) 9961-2
Pour trouver 4) il suffit de prendre 2) car 1) donne 2) et 3) est une prolongation de 1), et d"ajouter 3 (la somme 1-2 de 3).
4) 18157-3
Pour trouver le 5) il suffit de prendre 3) car 2) donne 3) et 4) est une prolongation de 2), et d'ajouter 10, somme de 7-3 de 4).
5) 99612-10
etc...
Pour trouver k, il suffit de prendre k-2 car k-3 donne k-2 et k est une prolongation de k-3, auquel on ajoute un complément.

1) 996-1
2) 1815-7
3) 9961-2
4) 18157-3
5) 99612-10
6) 181573-51
7) 9961210-86
8) 18157351-814
9) 996121086-995

etc...

J'espère que c'est assez clair.

 #79 - 22-11-2015 13:49:00

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

siite de nombres à destin incertain...

Effectivement c'était facile à justifier !
On dira qu'un entier [latex]u_1[/latex] est étrange de période p entier >=1 si dans la suite engendrée [latex]u_1,u_2,...,u_n,...[/latex] l'écriture de [latex]u_{1+p}[/latex] est le prolongement  l'écriture de [latex]u_1[/latex]. Dans ce cas, en faisant la même preuve que nodgim, on en déduit que pour tout entier k>=1, l'écriture de [latex]u_{k+p}[/latex] est le prolongement  l'écriture de [latex]u_k[/latex].
Tout descendant d'un entier  étrange de période p est aussi  étrange de période p.
Il y en a donc une infinité d'entiers étranges, puisque 9971 est étrange.
Tout entier périodique est étrange.

On dira qu'un entier étrange [latex]u_1[/latex] est primitif s'il n'existe pas d'entier étrange [latex]u_0[/latex] dont [latex]u_1[/latex]  soit le suivant.
Les entiers périodiques ne sont pas étranges primitifs.
Il semble qu'il n'y ait qu'un nombre fini d'entiers étranges primitifs. Je suis en train de les déterminer.

 

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