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 #1 - 29-04-2018 17:57:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,337E+3

gâtezu 151

Bonjour à tous smile

Un peu de géométrie amusante ( niveau collège ) .

Mon pâtissier s'est assuré qu'il peut toujours réaliser un triangle avec trois baguettes choisies au hasard parmi les cinq baguettes de chocolat dont il dispose .   

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau151.png

Il affirme que parmi tous ces triangles il y en a au moins un qui est acutangle ( trois angles aigus ) .

C'est vrai cette affaire ????????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

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#0 Pub

 #2 - 29-04-2018 21:45:50

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

Gâteau 51

Salut Vasimolo.

À agrandissement/réduction près, on peut supposer que les tailles des baguettes sont 1 <= x <= y <= z <= t.

Supposons qu'aucun triangle n'est acutangle. Alors :
* le triangle (1;x;y) donne y >= V(1+x²)
* le triangle (x;y;z) donne z >= V(1+2x²)
* le triangle (y;z;t) donne t >= V(2+3x²)

Mais pour tout x, on a V(2+3x²) > 1+x (en élevant au carré de chaque côté, cela équivaut à 2+3x² > 1+2x+x² <=> x² + (x-1)² > 0), c'est-à-dire que (1;x;t) ne permet pas de réaliser un triangle, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Le pâtissier avait donc bien raison.

 #3 - 29-04-2018 23:14:43

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1494
Lieu: Coutiches

Gâetau 151

Salut !

Si les baguettes font 1, 1, 3, 5 et 9 j'ai bien l'impression que ce n'est pas possible...

 #4 - 30-04-2018 08:17:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,337E+3

gâteai 151

@Ebichu : c'est bon , on peut raccourcir un peu la rédaction en travaillant directement avec les carrés des côtés .
@Golgot : attention 1 , 1 et 3 ne sont pas les côtés d'un triangle .

Bon courage aux autres smile

Vasimolo

 #5 - 30-04-2018 17:20:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Gâtteau 151

Soient a <= b <= c < = d <= 1 la taille des 5 segments.

La contrainte " aucun triangle acutangle" impose que le carré d'un segment soit > = à la somme des carrés des 2 segments précédents. On peut donc établir une suite de valeurs minimales en partant des 2 plus petits segments.

1) a < 1/2 donc b >= 1-a (contrainte : on peut tjs former 1 triangle)

Les valeurs successives minimales des carrés sont donc :

(1-a)²
a² + (1-a)²
a² + 2 (1-a)²
2 a² + 3 (1-a)² <= 1

5a² - 6a + 3 <=1
5a² - 6a + 2 <= 0 impossible ( Delta < 0)

2 ) a >= 1/2
Les valeurs successives minimales des carrés sont donc :
1/4
1/4
1/2
3/4
5/4 > 1 donc impossible.

On ne peut donc pas éviter d'avoir un triangle acutangle.

 #6 - 30-04-2018 18:01:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,337E+3

Gtâeau 151

C'est bon Nodgim et ça fait au moins trois façons différentes de résoudre le problème smile

Vasimolo

 #7 - 02-05-2018 21:28:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,337E+3

âGteau 151

Voilà comment j'avais vu les choses :

On note [latex]a \leq b \leq c \leq d \leq e[/latex] les longueurs des baguettes et on suppose par l'absurde qu'on ne peut pas construire un triangle acutangle avec ces baguettes .

Comme [latex]0 \leq (b-a)^2[/latex] on a [latex](a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)[/latex]

Alors la relation de Pythagore nous donne :
[TeX] [/TeX]
[TeX](a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)\leq (a^2+b^2)+(b^2+c^2)<c^2+d^2<e^2.[/TeX]
Mais alors [latex]a+b<e[/latex] et le triangle de côtés [latex]a,b,e[/latex] n'existe pas .

Peu d'amateurs , sans doute un peu trop scolaire smile

Merci aux participants .

Vasimolo

 #8 - 03-05-2018 09:13:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Gâtaeu 151

Pardon Vasimolo, mais je n'ai pas suivi dans ta démo ce passage là :

(a²+b²) + (c² + d²) < c²+d².

 #9 - 03-05-2018 09:49:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,337E+3

Gâtaeu 151

Faute de frappe : (a²+b²) + (c² + b²) < c²+d² smile

Vasimolo

 #10 - 03-05-2018 18:44:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Gteau 151

OK vu.

Sinon, les 3 preuves ne sont pas si différentes que ça les unes des autres, elles se basent toutes sur la même trame.

Je pensais que tu avais peut être une solution géométrique.

 

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