Enigme Calculatrices en panne @ Prise2Tete

michel38 · #1

Voilà ce que c'est, les calculatrices pas chères !
Trois calculatrices pour 1 Euro ....

Sur la première, il y a un seul chiffre du clavier qui fonctionne (mais pas le 1 ) et l'addition et la division seulement.
Peut-on afficher n'importe quel nombre ?

Sur la deuxième, les seules touches qui fonctionnent, c'est
l'addition, la soustraction, et deux chiffres du clavier.
La touche 1 est aussi en panne, bien sûr.
Dans quel cas peut-on afficher n'importe quel nombre ?

Sur la troisième , la multiplication et la soustraction fonctionnent.
Deux chiffres du clavier fonctionnent (toujours pas le 1 )
Dans quel cas peut-on afficher n'importe quel nombre ?

dhrm77 · #2

1) sur la premiere, oui. on peut tout afficher. Il suffit de faire N/N= ca donne 1, et on y ajoute tout ce qu'on veut N ou un autre 1, pour faire ce que l'on veut ou on le met en memoire pour la suite...

2) avec les touches 2 et 3, on doit pouvoir afficher tout ce qu'on veut. mais ca va prendre du temps pour faire 1897309187029347290384

3) je ne vois pas pour l'instant.

bagouze · #3

Avec la première, on peut afficher n'importe quel nombre si c'est un autre chiffre que le 0 qui fonctionne. (x+x/x=2, x+x+x/x=3,........)
Pour la deuxième, dans tous les cas où les deux chiffres qui fonctionnent se suivent (dans d'autres cas aussi surement, mais j'y penserai plus tard )
>> exemple : 3-2=1, donc 3-2+3-2..........
EDIT:
Pour le deuxième, donc, dans tous les cas où l'on arrive à obtenir 1 avec ces 2 chiffres et uniquement + et -, soit : 2/3, 2/5, 2/7, 2/9, 3/4, 3/5, 3/7, 3/8, 4/5, 4/7, 4/9, 5/6, 5/7, 5/8, 5/9, 6/7, 7/8, 7/9, 8/9.

Pour la troisième, toutes les combinaisons de touches avec le 2 seront bonnes (sauf 2/0), peut-être d'autres, je cherche.

dhrm77 · #4

il existe une calculatrice en bois qui marche mieux que tes calculatrices electroniques made in china:
http://woodgears.ca/marbleadd/index.html

Bamby · #5

j'ai suposé que par rechercher tout nombre , on recherche tout entier positif.

# 1 chiffre plus l'addition et la division :
quelque soit le chiffre c on peut faire :
c/c = 1, et donc on peut par addition successive obtenir tout nombre >1.

# 2 chiffres (sans le 1) plus l'addition et la soustraction.
si il y a le zero, on se retrouve limité au multiple du 2nd chiffre.
si il a deux nombres paires, on ne pourra obtenir de chiffre impaire.
si il a un chiffre impaire, on obtiendra toujours le chiffre 1 par calcul succesif, sauf si le 2eme chiffre a un diviseur commun avec le 2eme (3 avec 6 et 9 et 9 avec 6.). les possibilités sont

on a donc les solutions :
3 et (2,4,5,7)
5 et (2,3,4,6,7,8,9)
7 et (2,3,4,5,6,8,9)
9 et (2,4,5,7,8)
(soit 2418 possibilitées) edit, je sais pas compter

#2chiffres (sans le 1) plus la multiplication et la soustraction
si il y a le zero on ne peut evidement pas aller tres loin,
si il y a deux chiffres pairs, on se retrouve incapable de trouver un nombre impaire.
de meme maniere, si l'un est multiple de l'autre, on se retrouve bloqué, sinon pas de soucis, le resultat doit etre le meme que pour la question #2,

j'ai un peu de mal par contre a prouver mathématiquement mes resultats, mais j'y travail via les modulo ...
j'eusse aimé avoir cette enigme moin de deux heures avant la fin des 48h !!

PeteZah · #6

Je suppose que tu parles des nombres entiers positifs...

Oui, on peut tout afficher, un chiffre suffit d'ailleurs.
N/N = 1, et il suffit d'ajouter N/N autant de fois que nécessaire.

Là encore, il suffit de trouver une manière de faire 1, puis ensuite, il faut faire des additions. Si les deux chiffres sont consécutifs, pas de souci, leur différence fait 1. Voici les autres cas permettant d'afficher tous les nombres :
2 et 5, car 5-2-2 = 1 (config permettant ausi d'afficher tous les entiers négatifs, puisque 5-2-2-2 = -1)
7 et 3, car 7-3-3 = 1
9 et 4, car 9-4-4 = 1
9 et 2, car 9-2-2-2-2 = 1 (config permettant ausi d'afficher tous les entiers négatifs, puisque 9-2-2-2-2-2 = -1)
7 et 2, car 7-2-2-2 = 1 (config permettant ausi d'afficher tous les entiers négatifs, puisque 7-2-2-2-2 = -1)

MthS-MlndN · #7

La première calculette permet d'afficher n'importe quel entier strictement positif (à condition d'en avoir le temps, bien sûr), parce qu'il suffit de diviser le chiffre disponible par lui-même pour obtenir un ; donc on peut toujours ajouter un, donc on peut toujours passer d'un entier quelconque au suivant, et ce à partir de 1.

A coup d'addition et de soustraction (donc pour la deuxième calculette), on peut toujours obtenir n'importe quel nombre à condition que les deux chiffres disponibles soient premiers entre eux. On voit vite, par exemple, qu'avec 2 et 6 on ne peut obtenir que des nombres pairs, et avec 3 et 6, que des multiples de 3.

Si les deux chiffres sont premiers entre eux, c'est OK ; si on note ces chiffres a et b, et qu'on veut obtenir c, il faut trouver x et y tels que ax + by = c, et c'est faisable tant que a et b sont premiers entre eux (Théorème de Bézout).

Pour la troisième, il faut également que les deux chiffres soient premiers entre eux, mais je ne suis pas persuadé que cela soit une condition suffisante... Je vais attendre les réponses des autres, sur ce coup-là

papiauche · #8

Big Bezout, Big Bezout

michel38 · #9

Encore un énoncé incomplet et un peu trop vite rédigé, désolé.
Vous avez tous vu que le zéro était à éliminer, je l'avais oublié !
Le un est éliminé par l'énoncé.
Et je voulais parler de nombres entiers positifs, oui
Que le signe = fonctionne ou non, peu importe, mais pas les parenthèses : à ce prix là, on ne les a pas.

Voyons nos trois calculatrices

Pour la première calculatrice (+ / et un chiffre )
j'ai essayé la solution que tout le monde a proposé : avec le chiffre 3 par exemple
3/3+3/3+3/3+3/3 et je n'obtiens pas 4 !
J'obtiens 1.4814814

Pour la deuxième, (+ - et deux chiffres)
Spoiler : [Afficher le message]

Pour la troisième (x - et deux chiffres)
Spoiler : [Afficher le message]

C'est gênant si les résultats ne sont pas cachés ?

ptiphix · #10

Pour la première calculatrice (+ / et un chiffre X)
quelque soit le nombre n, et quelque soit la touche X rescapée, on pourra toujours l'additionner n fois avant de diviser la somme par lui-même :
X + X +......+ X / X => nX / X = n

Pour la troisième (x - et deux chiffres X et Y)
1) on se retrouve avec une opération du style (X^a)(Y^b) - cX - dY dont le résultat sera forcément un multiple du PGCD de X et Y. La seule façon d'obtenir tous les nombres, dont 1, est que X et Y soient premiers entre eux.

2) Il doit exister un théorème qui démontre que quelques soient X et Y, cX + dY permet d'obtenir tous les nombres au dessus d'une certaine limite.
Intuitivement, il semble que ce soit le cas, bien que je ne sois pas arrivé à le démontrer :
Quelques exemples de couples possibles et les résultats croissants de cX + dY
3 et 4 : 3, 4, 6, 7, 8, 9, ....
3 et 7 : 3, 6, 7, 9, 10, 11, ....
5 et 9 : 5, 9, 10, 15, 19, 20, 24, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, ....

3) Ainsi, si quelque soit n (on va dire supérieur à XY), il existe c et d entiers naturels positifs tels que cX + dY = n alors on trouvera toujours une puissance de X ou de Y suffisamment grande pour qu'en soustrayant (cX + dY) on obtienne le nombre voulu.

Je ne sais pas si c'est très clair, mais ce qui l'est en revanche : c'est qu'il est tard !

zikmu · #11

Pour ne pas être victime des maths à l'extrême et d'additionner à l'infini des 1, je dirais que pour la première, il suffit de taper "le chiffre", à la suite, comme sur n'importe quelle calculette et de combler par des 1 obtenus par division de ce chiffre par lui même. ( 0 est banni bien sûr )
exemple : (2 marche) : nombre cherché 251 : 222+22+2+2+2+2/2 ( + ou = )

Bamby · #12

pour la question 1, j'avoue que 3/3+3/3+3/3+3/3 me donne 4

ensuite, pour le #2, la touche +, la touche - et deux chiffres X et Y.

le théoréme de bezout (damn, j'etais incapable de m'en souvenir de celui la) nous donne une solution evidente, en effet, celui ci nous dis :

deux entier X et Y sont premier si et seulement si il existe a et b tel que
aX + bY = 1.
pour trouver tout entier N on doit donc faire :
Na.X + Nb.Y = N.

apres pour trouver ces a et b c'est une autre histoire, il faut utiliser le theoreme et l'algorithme d'Euclide etendu (mon cours de cette année )

pour le #3, euh la je cherche encore !! pas evident du tout sans parenthese / memorisation d'un chiffre.

zikmu · #13

Je voulais juste signaler pour les plus jeunes accros de prise2tête que les calculatrices HP ( pour ne pas les citer ), il y a un certain temps, ne disposaient ni de la touche =, ni de parenthèses, mais d'une grosse touche Enter...alors comment faire ! surtout pour cet énoncé ?

Pour info...il s'agit de la "notation polonaise inverse".

*personnellement je trouvais ce mode de calcul génial ...

@+

LeSingeMalicieux · #14

Rhaaaaaaa
Je me souviens, j'avais programmé un Démineur sur une 880p (oui y avait que deux lignes d'affichage, et pourtant !)

Merci zikmu, grâce à toi ce souvenir vient de me revenir

michel38 · #15

Pour la calculatrice 1 grâce à Ptiphix et Zicmu on a une méthode claire et efficace qui fonctionne de 1 à 11111111.

On nomme z le chiffre qui fonctionne et N le résultat à trouver
Spoiler : [Afficher le message]

Il reste à clarifier la 2 et la 3.

Bamby · #16

si j'ai bien compris, en plus de l'existences initialement demandé, tu souhaiterais une méthode 'simple' pour avoir l'affichage de tout combre ?
(je planche toujours sur l'existence du #3)

Edit : pour le #1 les solutions sont multiples et trivial, trouver une méthode simple est donc aisé, le #2 (et a fortiori le #3) c'est une autre paire de manche m'est avis

michel38 · #17

Comme je n'ai pas les réponses, je me suis frotté un moment au 3e , la calculatrice - x

première idée
1- Au préalable, trouver les nombres 1 à 10 de manière la plus simple possible
2- atteindre une valeur approchée de N clairement supérieure à N+10
3- soustraire des y ou des z pour atteindre un nombre compris entre N et N+10
4- soustraire le nombre de 1à10 trouvé en (1)

Le pb c'est que l'opération 4 nécessite des parenthèses.

Exemple, avec 3 et 5

1=3x5-5-3-3-3
2=5-3
3=3
4=3x3-5
5=5
6=3x3-3
7=5x3-5-3
8=5x5-5-3-3-3-3
9=3x3
10=5x3-5

Trouver N=96
5x5x5=125
125-5-5-5-5-5=100
100-4=96
Mais ça s'écrit 100-(3x3-5) c'est à dire 100-3x3+5 .
comme on n'a ni parenthèse ni addition il faut pouvoir contourner ce problème dans tous les cas.

Je réécris une méthode

1- Au préalable, trouver les nombres 1 à 10 de manière la plus simple possible
2- repérer dans ces dix cas tous les termes qui sont soustraits et construire une soustraction qui les contient tous, notée S.(exemple ici S= -5-3-3-3-3 )
3- atteindre une valeur approchée de N supérieure à N+10+S
4- soustraire des y ou des z en incluant la soustraction S dans la série, jusqu'à atteindre un nombre compris entre N et N+10
5- soustraire un nombre de 1à10 trouvé en (1) qui donne le résultat
6- simplifier l'écriture pour éliminer les additions

Nouvel exemple:
Toujours avec 3 et 5, trouver N=92
S contenant suffisamment de termes est S= -5-3-3-3-3

5x5x5 =125
125 -5-3-3-3-3 -5 -5 = 98
98-6 = 98 - (3x3) +3 =92
simplifier 5x5x5-5-3-3-3-3-5-5-3x3+3
92 = 5x5x5-5-3-3-3-5-5-3x3

C'est pas super optimisé, mais ça a l'air de marcher.
Par exemple 53=5x5x3-5-3-3-3-3-5 alors qu'il suffisait de taper 5 et 3 !

ptiphix · #18

Je vous soumets une méthode pour la troisième calculatrice qui possède deux chiffres (que j'appelle T1 pour le plus petit et T2 pour le plus grand) ainsi que la multiplication et la soustraction.

l'ensemble des résultats pouvant être obtenus avec cette calculatrice peut être formulé :

Si on s'intéresse au deuxième membre de la formule (cT1 + dT2) (avec c et d deux entiers positifs) et qu'en faisant varier c et d on parvient à obtenir T1 nombres consécutifs [n, n+1, n+2, ... , n+(T1-1)] alors cT1 + dT2 permet d'obtenir n'importe quel nombre supérieur ou égal à n.

Avant de parler concrètement de la méthode, il faut déterminer ce n pour chaque couple de nombre T1 et T2 (sachant que T1 et T2 sont nécessairement premiers entre eux, Cf mon premier post).
voici pour chaque couple, la liste des résultats croissants de cT1 + dT2 jusqu'à ce qu'on obtienne T1 nombres consécutifs... et donc la détermination de n.

couple 2 et 3 Spoiler : [Afficher le message]
2
3

n = 2
n+1 = 3

couple 2 et 5 Spoiler : [Afficher le message]
2
4
5

n = 4 = 2+2
n+1 = 5

couple 2 et 7 Spoiler : [Afficher le message]
2
4
6
7

n = 6 = 2+2+2
n+1 = 7

couple 2 et 9 Spoiler : [Afficher le message]
2
4
6
8
9

n = 8 = 2+2+2+2
n+1 = 9

couple 3 et 4 Spoiler : [Afficher le message]
3
4
6
7
8

n = 6 = 3+3
n+1 = 3+4
n+2 = 4+4

couple 3 et 5 Spoiler : [Afficher le message]

couple 3 et 8 Spoiler : [Afficher le message]

couple 4 et 5 Spoiler : [Afficher le message]

couple 4 et 7 Spoiler : [Afficher le message]

couple 4 et 9 Spoiler : [Afficher le message]

couple 5 et 7 Spoiler : [Afficher le message]

couple 5 et 8 Spoiler : [Afficher le message]

couple 5 et 9 Spoiler : [Afficher le message]

couple 6 et 7 Spoiler : [Afficher le message]

couple 7 et 8 Spoiler : [Afficher le message]

couple 7 et 9 Spoiler : [Afficher le message]

couple 8 et 9 Spoiler : [Afficher le message]

pour obtenir n'importe quel nombre N à partir de T1 et T2 avec les seules multiplication et soustraction, il faut :
1) se reporter au nombre n déterminé par le couple T1 et T2
2) trouver b tel que T2 à la puissance b soit supérieur ou égal à N + n
3) calculer le résultat entier (x) et le reste (r) de
(T2^b - (N+n)) / T1
4)se reporter à la liste des sommes du couple T1 et T2 pour déterminer comment on obtient n+r = cT1 + dT2
5) effectuer l'opération :
T2 x T2 x ... x T2 (b fois) - T1 - T1 - ... - T1 (c fois) - T2 - T2 - .... - T2 (d fois) - T1 - T1 - .... - T1 (x fois) = N

Exemple :

4732 et le couple 5 et 9

1) n = 32

2) 9 à la puissance b doit être supérieur ou égal à 4732 + 32 = 4764
9 puissance 4 = 6561 est supérieur à 4764
b = 4

3) T2^b - (N+n) = 6561 - 4764 = 1797
1797 / T1 = 1797 / 5 = 359 reste 2
x = 359
r = 2

4) n + r = n + 2 = 34 = 5+5+5+5+5+9

5)
9 x 9 x 9 x 9 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 9 - 5(359 fois) = 4732

kosmogol · #19

"c'est pas faux"

papiauche · #20

kosmogol a écrit:
"c'est pas faux"

c'est pas inutile, non plus.

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#1 - 04-10-2008 16:35:37

Calculatrices en pnane

#0 Pub

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calculatrices en panbe

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calculztrices en panne

#4 - 05-10-2008 15:15:14

Calclatrices en panne

#5 - 06-10-2008 15:18:37

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#6 - 06-10-2008 15:22:54

calculatrives en panne

#7 - 06-10-2008 15:30:23

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#8 - 06-10-2008 20:46:04

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#9 - 06-10-2008 22:25:55

Calculatrices en pnane

#10 - 07-10-2008 05:19:53

Calculatrices en anne

#11 - 07-10-2008 12:57:26

Calcualtrices en panne

#12 - 07-10-2008 17:31:11

Caalculatrices en panne

#13 - 07-10-2008 20:03:52

calculztrices en panne

#14 - 07-10-2008 20:20:29

Caclulatrices en panne

#15 - 10-10-2008 12:31:22

Calculatrices e npanne

#16 - 10-10-2008 16:08:45

Caalculatrices en panne

#17 - 11-10-2008 09:30:16

Calculatices en panne

#18 - 12-10-2008 16:18:12

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#19 - 12-10-2008 16:28:48

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#20 - 12-10-2008 16:47:06

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kosmogol a écrit:

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