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 #1 - 11-01-2016 17:34:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 18

Bonjour à tous smile

Ras le bol des galettes ? Mon pâtissier s'est lancé dans les gâteaux rectilignes :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau118.png

Il aimerait bien en trouver un qu'il puisse paver avec ses briquettes 2X1 de nougatine :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-118_2X1.png

Il y a quand même un petit problème : chaque côté de ses gâteaux est impair .

C'est vraiment possible ce truc ????

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : pas de trou dans le gâteau .

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] On peut utiliser un coloriage très conventionnel ...
Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] ... qu'il faudra lire avec une grille un peu décalée .



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 #2 - 11-01-2016 17:44:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

gâtzau 118

La surface d'un gâteau à côtés impairs est forcément impaire aussi, donc ça ne peut pas marcher.

 #3 - 11-01-2016 17:45:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteauu 118

Tu en es vraiment sûr smile

Vasimolo

 #4 - 11-01-2016 18:33:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

gâteay 118

Mon affirmation est effectivement fausse: affaire à suivre ...

 #5 - 11-01-2016 18:56:45

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

âteau 118

Un gâteau 3x3 avec un trou 1x1 au milieu ?

 #6 - 11-01-2016 18:58:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâreau 118

Non pas de trou , le gâteau est simplement connexe smile

Vasimolo

 #7 - 11-01-2016 18:58:58

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

Gtâeau 118

Salut

Un gâteau avec un trou dans le milieu est il accepté ? Genre moule à savarin !

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-GAteau118.jpg

Edit OK
Je viens de voir le message du dessus, desolé, donc pas de trou
sad

A suivre....

 #8 - 11-01-2016 19:00:38

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gteau 118

Les grands esprits se rejoignent : il n'y a pas de trou dans le gâteau smile

Vasimolo

 #9 - 11-01-2016 19:35:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteauu 118

Il existe un thèorême qui permet le calcul des aires délimitées par des contours entiers suivant un tel quadrillage. Le connais tu ?

 #10 - 11-01-2016 22:05:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtteau 118

Tu veux parler du théorème de Pick ?

Vasimolo

 #11 - 11-01-2016 23:03:09

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Gâetau 118

Non, pas possible.

Je commence par colorier mon gâteau en noir et blanc comme un échiquier.

Ensuite, comme mon gâteau est simplement connexe, il n'a qu'un bord. Ce bord est une ligne brisée ; chaque segment de cette ligne brisée est de longueur impaire, donc les carreaux extrêmes de chaque segment sont tous de la même couleur (noir sur mon dessin ; par exemple, le segment du haut touche des cases noire-blanche-noire).

On recouvre ensuite le gâteau par des carrés de même taille que ses carreaux, mais décalés de 1/2 en abscisse et 1/2 en ordonnée. Cela donne des carrés bleus ou rouges.

Les carrés rouges sont ceux qui sont placés sur le bord, autour de l'extrémité d'un segment. Les carrés bleus sont ceux qui sont placés à l'intérieur du gâteau, ou ceux qui sont placés sur un segment du bord, mais pas à une extrémité.

La surface de gâteau recouverte par les carrés bleus est équilibrée blanc/noir. La surface de gâteau recouverte par les carrés rouges est déficitaire en blanc.
Donc au total le gâteau est déficitaire en blanc et il est impossible de le recouvrir par des briquettes autant blanches que noires.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-gateau118.png

 #12 - 12-01-2016 08:28:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 1118

Merci Vasimolo, c'est bien de celui là que je voulais parler. Mais ça ne semble pas aider pour la réponse....

 #13 - 12-01-2016 09:30:26

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

gâtrau 118

Bonjour,
Encore un problème impossible.

Si on colorie le gâteau en damier, et que l'on place une case noire sur un coin, tous les segments du bord aboutissant à un coin seront adjacents à une case noire.

On va découper le gâteau en rectangles horizontaux dont les bords droit et gauche sont sur la frontière du gâteau, et de plus grande hauteur possible. Tous ces rectangles auront au moins un coin confondu avec un coin du gâteau.

Le premier rectangle en bas à gauche (il peut en effet y en avoir plusieurs sur la ligne du bas) aura un nombre impair de lignes et de colonnes, donc une case noire de plus.
Ajouté :
Si ce n'est pas le cas, on fait tourner le gâteau de 1/4 tour, et on réessaye. S'il n'ya pas de rectangles à nombre impair de lignes sur un des côtés du gâteau, c'est qu'il y a des trous.
Fin Ajout

Les autres rectangles ont tous une case noire dans au moins un des coins. Ils contiendront donc soit autant de cases noires que de cases blanches, soit une case noire de plus.

Au total, le gâteau aura plus de cases noires que de cases blanches, et ne pourra pas être pavé avec un domino noir et blanc.

 #14 - 12-01-2016 12:00:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteaau 118

@Ebichu : très joli , bravo !!!
@Enigmatus : je ne comprends pas comment tu organises ton découpage .

Vasimolo

 #15 - 12-01-2016 12:10:26

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gâteauu 118

juste une direction : faut il :
a)chercher un contre exemple
b) montrer que ce n'est pas possible

Mon intuition m’entraîne sur b) mais gateau 116 me fait douter...

 #16 - 12-01-2016 13:09:25

Vasimolo
Le pâtissier
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Gtâeau 118

Je ne donne pas d'indice pour le moment tongue

Le fait de ne pas connaître la réponse fait partie du plaisir de la recherche smile

Vasimolo

 #17 - 12-01-2016 13:56:11

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

fâteau 118

Vasimolo #14 a écrit:

@Enigmatus : je ne comprends pas comment tu organises ton découpage .

Voici une illustration avec ton exemple. X et O représentent les couleurs des cases, et tous les rectangles ont un X dans au moins un des coins.

Code:

    ┏━━━━━━━━━━━┓
    ┃ X   O   X ┃
    ┗━━━┓───────┃
        ┃ X   O ┃
    ┏━━━┛───────┃   ┏━━━┓
    ┃ X   O   X ┃   ┃ X ┃
┏━━━┛───────────┃   ┃───┗━━━┓
┃ X   O   X   O ┃   ┃ O   X ┃
┗━━━┓───────────┃   ┃       ┃
    ┃ X   O   X ┃   ┃ X   O ┃
    ┃───────────┗━━━┛───────┃
    ┃ O   X   O   X   O   X ┃
    ┃───────────────────┏━━━┛
    ┃ X   O   X   O   X ┃
    ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛

 #18 - 12-01-2016 16:19:51

nodgim
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Gâtau 118

Pour moi, une aire connexe créée avec des rectangles peut toujours se remplir sans qu'on ait besoin d'encastrer un rectangle entre 2 faces existantes. Autrement dit, quand on pose un rectangle, il y a toujours au moins 1 face extérieure. Et comme on crée une construction à partir d'un seul rectangle qui comporte 2 faces extérieures, on ne peut jamais les éliminer. Aussi, une telle construction ne peut pas comporter que des faces de longueur impaire, il y en a au moins 2 paires.

 #19 - 12-01-2016 21:38:11

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteua 118

@Enigmatus : il y a clairement des exemples ou même après rotation , aucun rectangle maximal initial contient un nombre impair de cases .
@Nodgim : je ne comprends pas .

Vasimolo

 #20 - 12-01-2016 22:06:51

enigmatus
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Gâetau 118

Vasimolo #19 a écrit:

il y a clairement des exemples ou même après rotation , aucun rectangle maximal initial contient un nombre impair de cases .

Je veux bien en voir un, car je n'en trouve pas.

 #21 - 12-01-2016 22:17:47

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtrau 118

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-118contre.png

Vasimolo

 #22 - 12-01-2016 22:27:20

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

Gâtaeu 118

Si, tu as un rectangle constitué d'une seule case.

Code:

            ┏━━━┓
            ┃ X ┃
┏━━━━━━━━━━━┛───┃
┃ X   O   X   O ┃
┗━━━┓───────────┃
    ┃ X   O   X ┃
    ┃───────────┗━━━┓
    ┃ O   X   O   X ┃
    ┃───┏━━━━━━━━━━━┛
    ┃ X ┃
    ┗━━━┛

 #23 - 12-01-2016 22:32:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteu 118

Il faut vraiment que tu développes l'enchaînement de la construction de tes rectangles , il me semblait que tu partais de la case la plus basse pour développer le rectangle le plus haut . Si ce n'est pas ça il faut dire quelle est la stratégie que tu mets en oeuvre smile

Vasimolo

 #24 - 12-01-2016 22:52:13

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

hâteau 118

Ce n'est pas très facile à expliquer. J'oriente le gâteau de façon à avoir en bas un rectangle avec un nombre impair de lignes. Les bords gauche et droit des rectangles sont confondus avec un morceau de frontière du gâteau, et je fais en sorte que leur nombre de lignes soit le plus grand possible.
Exemple :

Code:

            ┏━━━┓
            ┃ X ┃
┏━━━━━━━━━━━┛───┃
┃ X   O   X   O ┃
┗━━━┓───────────┃
    ┃ X   O   X ┃
    ┃           ┃
    ┃ O   X   O ┃
    ┃           ┃
    ┃ X   O   X ┃
    ┃───────────┗━━━┓
    ┃ O   X   O   X ┃
    ┃───┏━━━━━━━━━━━┛
    ┃ X ┃
    ┃   ┃
    ┃ O ┃
    ┃   ┃
    ┃ X ┃
    ┗━━━┛

 #25 - 12-01-2016 22:58:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteu 118

C'est un peu ce que j'avais cru comprendre dans tes premiers messages . C'est sûrement vrai mais comment mettre de l'ordre dans tout ça ?????

Sinon on peut chercher une autre piste smile

Vasimolo

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