Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 23-09-2011 00:30:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4764

hâteau 41

Cela faisait bien longtemps que mon pâtissier me fichait la paix , ...

Il s'est mis en tête de fabriquer des gâteaux carrés décorés avec des rectangles de couleur . Il attribue à chaque gâteau une note [latex]N[/latex] correspondant à la somme des rapports largeur/longueur de l'ensemble des rectangles .

http://img641.imageshack.us/img641/2935/gteau41.jpg

La note [latex]N[/latex] de ce gâteau est [latex] N=\frac11+\frac11+\frac12+\frac12+\frac13=\frac{10}{3}[/latex] .

Il me demande la note minimale qu'il peut obtenir pour ces gâteaux et pour quelles décorations ???

Aidez-moi smile

Vasimolo



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 #2 - 23-09-2011 00:35:38

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Gâetau 41

Bonjour,
Quid d'un gâteau "unitaire" monocolore N=1 ?
Bonne soirée.
Frank

 #3 - 23-09-2011 00:46:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4764

Gâteau 14

Pourquoi pas ! Si c'est la meilleure ce n'est sûrement pas la seule smile

Vasimolo

 #4 - 23-09-2011 00:57:15

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
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Gââteau 41

J'ai l'impression que le plus petit N = 1
Pour cela, il suffit de le découper la longeur ou largeur par le nombre de part que l'on veut.

 #5 - 23-09-2011 06:19:20

emmaenne
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au sud du Nord

Gâtau 41

un gâteau uni roll


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #6 - 23-09-2011 08:09:03

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

gâyeau 41

Chalut à tous,

C'est du gâteau lollol Déjà, en partant du gâteau initial carré ,et si on découpe rien, la note obtenue sera de 1,000 tongue tongue
Je pense qu'on ne fera pas mieux. Après tout, un carré est un rectangle particulier.

Mais s'il faut vraiment découper, alors il faudrait découper son gâteau carré en une infinité de parts rectangulaires :
- N parts de largeur 1, et de hauteur N-1
- et une dernière part de largeur N, et de hauteur 1
http://img7.imagebanana.com/img/2dgqbox9/rect.gif

Note = N*(1/N-1) + 1*(1/N)
Cette note tend vers 1 lorsque N tend vers l'infini

N        NOTE
1        1
2        2,5000
3        1,8333
10       1,2111
100     1,0201
10000  1,0002

Pour "réussir", ton pâtissier aura sûrement intérêt à congeler avant d'entamer les découpes à la scie à ruban. Et bon courage pour la déco. Quel gâchis, mdr !

 #7 - 23-09-2011 08:50:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 14

Le minimum est bien [latex]N=1[/latex] mais pourquoi ?
Comment décrire tous les gâteaux réalisant ce minimum smile

Vasimolo

 #8 - 23-09-2011 08:56:27

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Gâteauu 41

En découpant son gâteau carré en k parts de la même forme (donc en y traçant k-1 séparations parallèles et équidistantes, en gros), ton pâtissier obtiendra immanquablement N=1. Ca marche aussi pour k=1, d'ailleurs, s'il n'a pas envie de s'emm**der.

Pas de preuve, juste une intuition. Je n'ai aucune idée d'ersatz de début de preuve.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 23-09-2011 08:56:28

esereth
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 175

GGâteau 41

Qu'est ce que tu penses d'un gâteau rayé.
Quelque soit le nombre de rayures, à condition qu'elles aient la même largeur, la réponse est 1 comme pour un gâteau monocolore d'ailleurs.

 #10 - 23-09-2011 10:18:44

godisdead
Expert de Prise2Tete
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Gâteua 41

Ce sont tous les gateaux qui sont uniquement découpés dans le sens de la longeur (ou largeur), le nombre de part importe peu ainsi que leur taille !

 #11 - 23-09-2011 12:27:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâtaeu 41

Trouvé par plusieurs : toute décoration en bandes parallèles à un côté donne [latex]N=1[/latex] .

Si [latex]c[/latex] est le côté du carré alors les rectangles colorés ont pour dimension [latex]c\time c_i[/latex] avec [latex]\sum c_i=c[/latex] alors [latex]N=\sum\frac{c_i}{c}=\frac{c}{c}=1[/latex]  .

Il reste quand même à montrer :

1°) [latex]N=1[/latex] est bien le minimum .
2°) Le minimum est atteint uniquement pour ce coloriage en bandes de longueur [latex]c[/latex] .

Bon courage !

Vasimolo

 #12 - 23-09-2011 17:43:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3066

Gâtea 41

D'accord avec les réponses et N=1.
Il est évident qu'on aura tjs un rapport plus petit si un rectangle donné ne s'étire pas d'un coté à l'autre.

 #13 - 23-09-2011 19:01:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4764

Gâteau 441

Oui nodgim mais l'imbrication des rectangles peut rendre les choses un peu plus compliquées que tu le dis .

Vasimolo

 #14 - 23-09-2011 19:18:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3326

Gââteau 41

J'avais pensé et même réfléchit à ça mais je ne pensais pas que 1 était le minimum.

Je reviendrais poser mes calculs si j'aboutis à quelque chose mais en considérant un carré de côté 1 quelque soit ça taille et en disant que chaque rectangle est de taille 1*1/n avec n qui tend vers l'infini 1*1/n tend vers 0 mais le carré étant de côté 1 la limite de la somme de tous ces 0 tend vers 1.
Et j'essaye de trouver un raisonnement avec la dérivée mais pour l'instant rien en vue. hmm


Avec la dérivée j'arrive à un truc du genre :
[TeX]n*\frac{1}{n} \sum 1*\frac{1}{n} = \sum \frac{1}{n} = 1[/TeX]
Et donc [latex](n*\frac{1}{n} \sum 1*\frac{1}{n})'=1'=0[/latex]

La dérivée s'annule en cette seul valeur qui est donc un minimum. Mais je pense pas que ce soit la bonne démonstration.


Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 24-09-2011 17:55:11

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

gâyeau 41

ça fait plaisir de retrouver notre charmant pâtissier.

Par contre comme d'hab, je ne suis pas capable de répondre mais je t'ai au moins trouvé un beau gâteau carré tongue
http://chezjoa.voila.net/images/decoration_plats/gateaux/carre_motif_grillage.jpg


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #16 - 24-09-2011 19:29:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4764

Gtâeau 41

C'est gentil moicetmoi smile

Il y a quand même une démo en une ligne , imparable et compréhensible par un élève de collège . Encore faut-il y penser hmm

indice : inégalités+aires .

Bon courage et bonne chance à ceux qui cherchent encore smile

Vasimolo

 #17 - 25-09-2011 12:04:08

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 692

Gtâeau 41

Soit [latex]\ell[/latex] et [latex]L[/latex] la largeur et la longueur d'un petit rectangle.
L'aire du rectangle est [latex]\ell L[/latex].
Notons $A$ l'aire du grand carré.
Un carré de côté [latex]L[/latex] peut évidemment être inclus dans le grand carré.
On a donc [latex]L^2\leq A[/latex]
d'où [latex]\frac{\ell L}{A}\leq\frac{\ell}{L}[/latex]
En sommant ces inégalités sur tous les rectangles de couleur, on obtient
[TeX]1\leq \sum \frac{\ell}{L}[/TeX]
Or si l'on colorie le gâteau avec une seule couleur, la note de ce gâteau est [latex]1[/latex]. Le minimum cherché est donc égal à [latex]1[/latex].

Pour que la note d'un gâteau soit [latex]1[/latex], il faut que toutes les inégalités précédentes soient des égalités. Donc on doit avoir [latex]L^2= A[/latex], c-à-d [latex]L[/latex] est le côté du carré.

 #18 - 25-09-2011 12:26:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4764

Gâteauu 41

Bravo masab smile

J'avais la même chose en prenant comme unité le côté du gâteau ce qui simplifie beaucoup la démonstration .

Vasimolo

 #19 - 26-09-2011 00:46:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4764

Gâteau 4

Je reprends la démo de masab en notant 1 le côté du gâteau qui est colorié en [latex]n[/latex] rectangles de longueur [latex]b_i[/latex] et de largeur [latex]a_i[/latex] avec [latex]0<a_i\leq b_i\leq 1[/latex] . Comme les rectangles recouvrent le gâteau [latex]\sum_{i=1}^n a_ib_i=1[/latex] . On a alors :
[TeX]N=\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}\geq\sum_{i=1}^na_i\geq\sum_{i=0}^na_ib_i=1[/TeX]
Pour qu'il y ait égalité il faut que chaque inégalité soit une égalité c'est à dire que chaque [latex]b_i[/latex] soit égal à 1 et c'est fini .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 #20 - 26-09-2011 10:42:07

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gââteau 41

Une démo géniale par sa simplicité ! Merci pour ce problème dont je déplore ne pas avoir trouvé la limpide solution.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 30-09-2011 13:49:10

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

gâteay 41

Vasimolo a écrit:

Je reprends la démo de masab en notant 1 le côté du gâteau qui est colorié en [latex]n[/latex] rectangles de longueur [latex]b_i[/latex] et de largeur [latex]a_i[/latex] avec [latex]0<a_i\leq b_i\leq 1[/latex] . Comme les rectangles recouvrent le gâteau [latex]\sum_{i=1}^n a_ib_i=1[/latex] . On a alors :
[TeX]N=\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}\geq\sum_{i=1}^na_i\geq\sum_{i=0}^na_ib_i=1[/TeX]
Pour qu'il y ait égalité il faut que chaque inégalité soit une égalité c'est à dire que chaque [latex]b_i[/latex] soit égal à 1 et c'est fini .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

J'ai du mal avec cette démo.
La conclusion est que pour avoir l'égalité il faut que chaque bi soit égal à 1. Mais comme le coté fait 1, il n'y a que la solution monochrome.
Les solutions avec des bandes ne sont pas compatibles avec cette preuve non ?

edit: Bon 10sec après avoir posté je me rends compte que justement les bandes sont de longueur 1 dans ce cas donc c'est bon ><.

 #22 - 30-09-2011 16:37:52

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 692

Gâteau 411

On peut étendre cette énigme à un gâteau rectangulaire [latex]R[/latex] de largeur a et de longueur b. Il est divisé en rectangles [latex]R_i,\ i=1,...,n[/latex] de largeur [latex]a_i[/latex] et de longueur [latex]b_i[/latex]. Le pâtissier lui attribue la note [latex]\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}[/latex]. Montrons que la note minimum est [latex]\frac{a}{b}[/latex].
On a [latex]b_i\leq b[/latex] d'où [latex]\frac{a_ib_i}{b^2}\leq\frac{a_i}{b_i}[/latex].
Comme la somme des aires des rectangles [latex]R_i,\ i=1,...,n[/latex] est égale à l'aire du rectangle [latex]R[/latex], on a [latex]\sum_{i=1}^na_ib_i=ab[/latex].
En ajoutant les n inégalités précédentes, on obtient [latex]\frac{a}{b}\leq \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}[/latex] .

Un gâteau d'une seule couleur a la note [latex]\frac{a}{b}[/latex]. Donc cette note est bien le minimum des notes.

De plus un gâteau a cette note ssi toutes les inégalités précédentes sont des égalités, c-à-d ssi [latex]b_i= b[/latex] pour tout i. Donc ssi le gâteau est formé de rectangles de longueur b.

 #23 - 30-09-2011 19:50:19

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtzau 41

En effet masab smile

Vasimolo

 

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