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 #1 - 01-09-2016 19:24:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 162

Bonjour à tous

Un petit gâteau sans prétention que j'ai trouvé agréable à concevoir et à résoudre , j'espère que ce plaisir sera partagé smile

Mon pâtissier ( un peu fan de maths ) , veut réaliser un gâteau illustrant les entiers pythagoriciens .

Ses gâteaux rectangulaires sont partagés en trois parts , deux sont des pentagones identiques et la troisième part est un carré .

Les mesures des longueurs [latex]a,b,c[/latex] doivent être entières avec : [latex]a^2+b^2=c^2[/latex] . 

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau126.png

Jusqu'ici rien d'impossible .

Il veut en plus que l'aire du rectangle bleu soit de 6 cm² et que le périmètre du gâteau soit six fois celui de ce même rectangle .

Une solution est facile à trouver ( laquelle ? ) , est-elle unique ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : Bien sûr , je n'ai rien contre des liens proposant des problèmes voisins s’ils ne sont pas noyés ( sans référence ) au milieu d'un catalogue de 500 problèmes ou accompagnés de noms d'oiseaux sad



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 #2 - 02-09-2016 00:21:59

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

âteau 126

Le PS c'est pour te décharger des propos de tout hurluberlu ? lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 02-09-2016 00:26:42

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

gâteay 126

En étudiant la figure, on trouve que les côtés du rectangle bleu mesurent (a+c-b)/2 et (a+b-c)/2.

Comme l'aire du rectangle bleu vaut 6, cela donne a²-(c-b)²=24, puis en utilisant que a²+b²=c², il vient que b(c-b)=12.

12 n'ayant que 6 diviseurs, seules 6 valeurs sont possibles pour b, et parmi elles, une seule correspond à un triplet pythagoricien : si b=12, alors c=13 et a=5 (il est facile de vérifier que c'est bien une solution au problème), et c'est l'unique solution possible.

 #4 - 02-09-2016 06:57:57

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Gtâeau 126

Bonjour,

a=5, b=12, c=13
Triangle bleu 3x2

 #5 - 02-09-2016 12:08:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 1226

@Shadock : oui smile
@Ebichu : parfait .
@Enigmatus : oui , est-ce la seule solution ?

Vasimolo

 #6 - 02-09-2016 12:18:58

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâteau 1126

Soit k le côté du carré, k1 et k2 < k1 ses projections (verticale et horizontale).
On a: k² = k1² + k2², avec: b = k1 + k2 et: c – k1 = a – k2
Ce qui donne: k1 = (-a + b + c) / 2; k2 = (a + b – c) / 2 et: k = V[c.(c – a)]
Par ailleurs: a + b + c = 6a donne: a = (b + c) / 5
De plus: k2.(c – k1) = 6 donne: (a + b – c).(a – b + c) = 24 ou: c = 12/b + b
Donc b ne peut valoir que: 1; 2; 3; 4; 6 ou 12. Etudions chaque cas.
Les cinq premiers donnent des valeurs non naturelles. Il reste:
a = 5; b = 12; c = 13 (solution unique)

 #7 - 02-09-2016 18:43:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtau 126

C'est bon Franky .

Vasimolo

 #8 - 03-09-2016 08:17:33

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Gâteeau 126

Vu que la diagonale du carré forme un losange avec les deux sommets du grand rectangle, ses sommets et ceux des rectangles sont alignés.

Conclusion : les deux rectangles sont homothétiques. La surface du grand est donc de 36 x 6 = 216

Le seul triplet pythagoricien qui permet d'obtenir ce résultat est 5 12 13
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g126.PNG

Reste quand même à vérifier la taille du petit rectangle :

La diagonale du grand : rac(468) = 6 rac(13)
La diagonale du carré : rac(208) = 4 rac(13)

C'est OK.

 #9 - 03-09-2016 18:10:43

caduk
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 67

Gâteau 1226

Bonjour,
Si on note AB les deux extrémité de la diagonale du carré touchant le grand rectangle (B en haut, A en bas) et C le coin inférieur droit, on a:
[TeX]tan(\alpha) = tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{b}{c-a}[/TeX]
Le triangle ABC étant isocèle en C, on a
[TeX]\widehat{BCA} = \pi - 2\alpha[/TeX]
Si on note [latex]\beta[/latex] l'angle de la diagonale du rectangle bleu, on a:
[TeX]\beta =\dfrac{\widehat{BCA}}{2} = \frac{\pi}{2} - \alpha [/TeX]
(car la diagonale du rectangle bleu est portée par la bissectrice de [latex]\widehat{BCA}[/latex] )
Enfin, avec x et y les côtés du triangle bleu (x hauteur, y longueur) , on obtient [latex]tan(\beta) = \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{tan(\alpha)} =\dfrac{c-a}{b} [/latex]
En utilisant [latex]xy = 6[/latex], on a [latex]y^2 = 6\dfrac{b}{c-a}[/latex] et [latex]x^2 = 6\dfrac{c-a}{b}[/latex]
Ensuite, en utilisant [latex]a+b+c = 6(x+y)[/latex] je n'arrive pas à obtenir quelque chose de simple à cause des radicaux, je dois être fatigué...
Edit:
J'ai quand même trouvé le couple évident: 5,12,13 avec x et y égaux à 2 et 3 et je pense que je suis pas loin de la démonstration...

Edit2:
En fait, je suis vraiment nul! mad
[TeX](x + y )^2 = 6(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c-a}{b}) + 12[/TeX]
J'arrive donc après simplification à [latex]6^3(b+c-a)^2 = b(c-a)(a+b+c)^2[/latex]
Or on a [latex](b+c-a)^2 < (a+b+c)^2[/latex]
On en déduit que pour trouver une solution, il faut [latex]b(c-a)<6^3[/latex]
Il suffit donc de vérifier pour les premiers triplets qu'il n'y a pas d'autres solution...
(Après vérification à la main, j'en déduis que c'est très peu probable)

Edit3:
Effectivement, il y avait des inversions, je modifie tout ça!

C'était fantastique comme énigme, merci beaucoup!

 #10 - 03-09-2016 19:55:34

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Gâteaau 126

a=5, b=10, c=13

 #11 - 04-09-2016 09:16:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 126

@Gwen : très bien et plutôt expéditif .
@Caduk : la réponse est bonne mais j'ai du mal à suivre tes calculs , il doit y avoir des inversions de lettres .
@Halloduda : est-ce l'unique solution ?

Vasimolo

 #12 - 04-09-2016 11:13:49

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

Gâteau 26

Salut

Avec beaucoup de tâtonnements sad
je trouve ceci

Et ne me demande pas si la solution est unique
j'en ai aucune idée lol

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-vasimolo-126.jpg

Bon dimanche

 #13 - 04-09-2016 11:36:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 162

@Nobodydy : tu te prives du meilleur smile
@Gwen : ta solution était complète : on n'impose pas que les côtés du petit rectangle soient entiers ( ce qui ajoute d'ailleurs une difficulté au problème ) .

Vasimolo

PS : je n'aime pas laisser traîner trop longtemps les problèmes "en aveugle" mais si quelqu'un veut un peu de temps avant de découvrir les brillantes solutions déjà fournies ...

 #14 - 04-09-2016 12:18:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

GGâteau 126

Si, car rien ne prouvait que la diagonale du carré fasse 2/3 de celle du rectangle.
Je prouvais juste de manière simple que, s'il y avait une solution, cela ne pouvait être que 5 12 13. Là, je suis sûr du rapport 1/6.

 #15 - 04-09-2016 12:44:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 126

Tu connais l'aire du grand rectangle et celui du petit , le rapport est immédiat , non ?

Vasimolo

 #16 - 04-09-2016 12:49:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

gâtzau 126

Non, je dis que le grand rectangle est homothétique avec le petit et donc , si le petit fait 6, le grand fait 216. La réciproque n'est pas vraie.

Si tu avais posé le problème avec 24 cm^2 et 3 fois la taille, mon raisonnement aurait été le même. Vérifier est indispensable, sauf si le fait que l'énoncé affirme l'existence d'une solution suffit. Il faut vérifier que le carré en est un et donc que ses diagonales ont la même longueur. L'alignement des sommets n'utilise que les propriété d'un losange, pas d'un carré.

 #17 - 04-09-2016 13:53:40

caduk
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 67

Gâteau 16

Un peu plus efficace, on a:
[TeX]\dfrac{6}{b(c−a)}=(\dfrac{a+b+c}{6(b+c−a)})^2[/TeX]
En utilisant la caractérisation des triplets pythagoriciens:
[TeX]a=p^2-q^2\; ,\;  b=2pq\; ,\; c = p^2+q^2[/TeX]
On a alors:
[TeX]\dfrac{6}{4p^3q}=(\dfrac{2q(p+q)}{12p(q+p)})^2 \iff \dfrac{6}{pq}=(\dfrac{2q}{6})^2 > \dfrac{q^2}{9}[/TeX]
On a également [latex] (\dfrac{2p(a+b+c)}{6(b+c-a)})^2 > \dfrac{p^2}{9}[/latex]
On déduit que [latex]pq = 6n^2[/latex]
Si [latex]n\geq3[/latex] alors [latex]\dfrac{6}{pq} \leq \dfrac{1}{9} \leq \dfrac{p^2}{9} < (\dfrac{2p(a+b+c)}{6(b+c−a)})^2[/latex]
si [latex]n = 2[/latex], p ou q est supérieur à 3 donc [latex]\dfrac{p^2}{9} > \dfrac{1}{4}[/latex] ou [latex]\dfrac{q^2}{9} > \dfrac{1}{4}[/latex] donc il n'y a pas de solutions
donc [latex]n=1[/latex]
On obtient alors [latex]pq = 6[/latex] d'où on en déduit les couples (5,12,13) et (12,35, 37).
Seul le premier satisfait les conditions, et on retrouve bien (x,y) = (2,3)

 #18 - 04-09-2016 17:39:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtrau 126

@Caduk : là c'est bon , même si on peut faire un poil plus simple smile
@Gwen : je ne vais quand même pas défendre ta solution contre toi-même lollollol

Regarde bien le dessin :
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-126reciproque.png

Vasimolo

 #19 - 04-09-2016 18:48:37

caduk
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 67

Gâteua 126

C'est plus simple vu comme ça big_smile
On trouve alors [latex]y = \dfrac{a+c-b}{2} = p(p-q)[/latex] et [latex]x = \dfrac{6}{y}[/latex]
Après simplification, on obtient donc :
[latex]p^2(p-q)(p-2q) = -9[/latex] et on retrouve notre solution!
Et moi qui me trouvait malin d'avoir remarqué ce triangle isocèle... roll

Edit:
En plus, je viens de remarquer une erreur dans mon raisonnement précédent, on n'est pas du tout sûr d'avoir une bissectrice dans la diagonale du rectangle bleu... décidément, j'avais tout faux neutral

Edit2:
En fait si c'est vrai, j'avais juste oublié pourquoi c'était vrai lol

 #20 - 04-09-2016 19:18:54

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

âteau 126

@Vasimolo: Veux tu dire qu'à cause de diverses considérations géométriques, le petit et le grand rectangles sont homothétiques ? Et, comme le rapport des périmètres est 6, celui des surfaces est forcément 6²=36.

 #21 - 04-09-2016 19:26:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 126

@Franky : oui smile

J'ajoute un peu de temps et s'il n'y a rien de neuf ce soir je lève le masque .

Vasimolo

 #22 - 04-09-2016 19:45:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

gâtrau 126

Je vois bien le dessin. Il est évident en le voyant que ma solution fonctionne .

Ce que je te redis, c'est qu'avec ma méthode sans formule ni calcul (ou presque) , je ne tiens pas compte de la contrainte "carré" Ton dessin le tient pour acquis.

Si :

Il veut en plus que l'aire du rectangle bleu soit de 6 cm² et que le périmètre du gâteau soit six fois celui de ce même rectangle .

devenait :

Il veut en plus que l'aire du rectangle bleu soit de 24 cm² et que le périmètre du gâteau soit trois fois celui de ce même rectangle .

J'obtiendrais ça

Vu que la diagonale du carré forme un losange avec les deux sommets du grand rectangle, ses sommets et ceux des rectangles sont alignés. (en utilisant le fait qu'un carré soit un losange et qu'il est formé par la jonction de 2 triangles isoccèles)

Conclusion : les deux rectangles sont homothétiques. La surface du grand est donc de 9 x 24 = 216

Le seul triplet pythagoricien qui permet d'obtenir ce résultat est 5 12 13

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g1262.PNG

(on verrait vite que ce n'est pas valable, et donc qu'il n'y a pas de solution )

Mais avec 6,1cm^2  et 5,80 fois le périmètre  il faudrait avoir un compas dans l'oeil pour dire que la solution est fausse et que l'on n'a pas un carré central.

Donc si une solution existe, on prouve en 3 coup de cuillère à pot que c'est 5 12 13 mais il faut le vérifier (même rapidement) .

 #23 - 04-09-2016 23:02:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Gâtau 126

On est d'accord. La solution supposée unique est triviale et la vérification aussi, je disais juste qu'elle était nécessaire, pour la forme.

 #24 - 05-09-2016 19:14:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 1266

J'avais une solution à la Ebichu que je trouve très élégante mais j'ai adoré celle de Gwen : la géométrie c'est magique smile

Bien sûr merci à tous les autres .

Vasimolo

 

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