En étudiant la figure, on trouve que les côtés du rectangle bleu mesurent (a+c-b)/2 et (a+b-c)/2.

Comme l'aire du rectangle bleu vaut 6, cela donne a²-(c-b)²=24, puis en utilisant que a²+b²=c², il vient que b(c-b)=12.

12 n'ayant que 6 diviseurs, seules 6 valeurs sont possibles pour b, et parmi elles, une seule correspond à un triplet pythagoricien : si b=12, alors c=13 et a=5 (il est facile de vérifier que c'est bien une solution au problème), et c'est l'unique solution possible.

@Shadock : oui
@Ebichu : parfait .
@Enigmatus : oui , est-ce la seule solution ?

Vasimolo

C'est bon Franky .

Vasimolo

Bonjour,
Si on note AB les deux extrémité de la diagonale du carré touchant le grand rectangle (B en haut, A en bas) et C le coin inférieur droit, on a:
[TeX]tan(\alpha) = tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{b}{c-a}[/TeX]
Le triangle ABC étant isocèle en C, on a
[TeX]\widehat{BCA} = \pi - 2\alpha[/TeX]
Si on note [latex]\beta[/latex] l'angle de la diagonale du rectangle bleu, on a:
[TeX]\beta =\dfrac{\widehat{BCA}}{2} = \frac{\pi}{2} - \alpha [/TeX]
(car la diagonale du rectangle bleu est portée par la bissectrice de [latex]\widehat{BCA}[/latex] )
Enfin, avec x et y les côtés du triangle bleu (x hauteur, y longueur) , on obtient [latex]tan(\beta) = \dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{tan(\alpha)} =\dfrac{c-a}{b} [/latex]
En utilisant [latex]xy = 6[/latex], on a [latex]y^2 = 6\dfrac{b}{c-a}[/latex] et [latex]x^2 = 6\dfrac{c-a}{b}[/latex]
Ensuite, en utilisant [latex]a+b+c = 6(x+y)[/latex] je n'arrive pas à obtenir quelque chose de simple à cause des radicaux, je dois être fatigué...
Edit:
J'ai quand même trouvé le couple évident: 5,12,13 avec x et y égaux à 2 et 3 et je pense que je suis pas loin de la démonstration...

Edit2:
En fait, je suis vraiment nul!
[TeX](x + y )^2 = 6(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c-a}{b}) + 12[/TeX]
J'arrive donc après simplification à [latex]6^3(b+c-a)^2 = b(c-a)(a+b+c)^2[/latex]
Or on a [latex](b+c-a)^2 < (a+b+c)^2[/latex]
On en déduit que pour trouver une solution, il faut [latex]b(c-a)<6^3[/latex]
Il suffit donc de vérifier pour les premiers triplets qu'il n'y a pas d'autres solution...
(Après vérification à la main, j'en déduis que c'est très peu probable)

Edit3:
Effectivement, il y avait des inversions, je modifie tout ça!

C'était fantastique comme énigme, merci beaucoup!

@Gwen : très bien et plutôt expéditif .
@Caduk : la réponse est bonne mais j'ai du mal à suivre tes calculs , il doit y avoir des inversions de lettres .
@Halloduda : est-ce l'unique solution ?

Vasimolo

@Nobodydy : tu te prives du meilleur
@Gwen : ta solution était complète : on n'impose pas que les côtés du petit rectangle soient entiers ( ce qui ajoute d'ailleurs une difficulté au problème ) .

Vasimolo

PS : je n'aime pas laisser traîner trop longtemps les problèmes "en aveugle" mais si quelqu'un veut un peu de temps avant de découvrir les brillantes solutions déjà fournies ...

Tu connais l'aire du grand rectangle et celui du petit , le rapport est immédiat , non ?

Vasimolo

Un peu plus efficace, on a:
[TeX]\dfrac{6}{b(c−a)}=(\dfrac{a+b+c}{6(b+c−a)})^2[/TeX]
En utilisant la caractérisation des triplets pythagoriciens:
[TeX]a=p^2-q^2\; ,\;  b=2pq\; ,\; c = p^2+q^2[/TeX]
On a alors:
[TeX]\dfrac{6}{4p^3q}=(\dfrac{2q(p+q)}{12p(q+p)})^2 \iff \dfrac{6}{pq}=(\dfrac{2q}{6})^2 > \dfrac{q^2}{9}[/TeX]
On a également [latex] (\dfrac{2p(a+b+c)}{6(b+c-a)})^2 > \dfrac{p^2}{9}[/latex]
On déduit que [latex]pq = 6n^2[/latex]
Si [latex]n\geq3[/latex] alors [latex]\dfrac{6}{pq} \leq \dfrac{1}{9} \leq \dfrac{p^2}{9} < (\dfrac{2p(a+b+c)}{6(b+c−a)})^2[/latex]
si [latex]n = 2[/latex], p ou q est supérieur à 3 donc [latex]\dfrac{p^2}{9} > \dfrac{1}{4}[/latex] ou [latex]\dfrac{q^2}{9} > \dfrac{1}{4}[/latex] donc il n'y a pas de solutions
donc [latex]n=1[/latex]
On obtient alors [latex]pq = 6[/latex] d'où on en déduit les couples (5,12,13) et (12,35, 37).
Seul le premier satisfait les conditions, et on retrouve bien (x,y) = (2,3)

C'est plus simple vu comme ça
On trouve alors [latex]y = \dfrac{a+c-b}{2} = p(p-q)[/latex] et [latex]x = \dfrac{6}{y}[/latex]
Après simplification, on obtient donc :
[latex]p^2(p-q)(p-2q) = -9[/latex] et on retrouve notre solution!
Et moi qui me trouvait malin d'avoir remarqué ce triangle isocèle...

Edit:
En plus, je viens de remarquer une erreur dans mon raisonnement précédent, on n'est pas du tout sûr d'avoir une bissectrice dans la diagonale du rectangle bleu... décidément, j'avais tout faux

Edit2:
En fait si c'est vrai, j'avais juste oublié pourquoi c'était vrai

@Franky : oui

J'ajoute un peu de temps et s'il n'y a rien de neuf ce soir je lève le masque .

Vasimolo

On est d'accord. La solution supposée unique est triviale et la vérification aussi, je disais juste qu'elle était nécessaire, pour la forme.