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 #1 - 01-02-2016 15:02:42

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Fête de famile

Mes deux enfants on chacun réalisé un grand gâteau carré. Ils ne se sont pas foulés, se contentant de disposer l'intégralité de ma collection de petits carrés de chocolat.

Comme une fête de famille (7 adultes et 7 enfants) approchait, je leur ai demandé de récupérer les chocolats et construire des gâteaux carrés pour chacun des convives. Pour ne pas faire de jaloux, je leur ai dit que respectivement  les enfants et les adultes devraient avoir des gâteaux de taille égales, et qu'ils devraient utiliser tous les chocolats disponibles.

Ils ont réfléchi et m'ont dit que ca ne serait pas possible.

Ignorant les tailles des gâteaux initiales, je ne pouvais pas le prévoir. Et vous ?



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 #2 - 01-02-2016 15:53:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2847
Lieu: Luxembourg

Fête de faamille

Si A, B et C sont respectivement les tailles des gâteaux initiaux, finaux adultes et finaux enfants, on devra résoudre: 2.A² = 7.(B²+C²), avec B différent de C.
On voit que 7 doit diviser A, mais comme on a A², 7 doit aussi diviser B²+C²: je reviendrai plus tard.

 #3 - 01-02-2016 16:13:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

Fêête de famille

Bonjour

Si j'ai bien compris la question , c'est très simple . On a l'équation en entiers : [latex]a^2+b^2=7(c^2+d^2)[/latex] . Si on regarde les carrés modulo 7 on voit que  [latex]a^2+b^2[/latex] est divisible par 7 si et seulement si [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] le sont , on a donc [latex]7(a'^2+b'^2)=c^2+d^2[/latex] soit une descente infinie .

Vasimolo

 #4 - 01-02-2016 16:59:13

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Fêt ede famille

Impeccable Vadimolo...bravo...

Franky : attention les 2 gâteaux initiaux peuvent être de tailles différentes...et les gâteaux finaux de même tailles.

 #5 - 01-02-2016 19:50:25

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3258

fête de damille

Salut Portugal,
Si j'ai bien compris, tu voudrais savoir s'il existe A, B, n, m tel que:
A²+B²=7(n²+m²)

Les restes modulo 7 d'un carré sont 0,1,2 ou 4. La seule possibilité pour que la somme de 2 carrés soit 0 modulo 7 est que chacun des termes doit être 0 modulo 7. Or si un carré est multiple de 7, sa racine également.
A²=7k ===> A=7k'

Pour que A² + B² soit multiple de 7, on écrit alors:
A²+B²= (7a)² + (7b)²=7² (a²+b²)

A²+B²= 7² (a²+b²)= 7 (n² + m²) qu'on simplifie en :
7 (a² + b²)=n² + m²
n²+ m² doit alors être multiple de 7, donc, d'après ce qui a été dit plus haut, n²+m²= (7n')² + (7m')²

7 (a² + b²) = 7² (n'²+m'²)
a²+b²= 7 (n'²+m'²)

Et on doit recommencer pour a²+b² multiple de 7...
Bref, on est obligé de réaliser une descente infinie, ce qui est impossible.

C'est la preuve connue de l'irrationnalité de la racine carrée de 2.

Donc, c'était prévisible que tu ne pouvais pas partager ta somme de 2 carrés en 7 fois une autre somme de 2 carrés.

 #6 - 01-02-2016 20:40:18

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

fêtr de famille

Si je ne me trompe pas il suffit d'essayer de resoudre a^2+b^2 = 14*c^2

si c'est le cas:
Oui c'etait previsible, parce que 14 n'est pas la somme de 2 carrés. C'est vrai aussi s'il y avait eu 3, 6, 7, 11, 12, (14), 15, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 66, 67, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 79, 83, 84, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 99, 102, 103, 105, 107, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 118, 119, 120, 123, 124, 126, 127, 129, 131, 132, 133, 134, 135, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 147, 150, 151, 152, 154, 155, 156, 158, 159, 161, 163, 165, 166, 167, 168, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 179, 182, 183, 184, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 195, 198, 199, 201, 203, 204, 206, 207, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 216, 217, 219, 220, 222, 223, 224, 227, 228, 230, 231, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 243, 246, 247, 248, 249, 251, 252, 253, 254, 255, 258, 259, 262, 263, 264, 266, 267, 268, 270, 271, 273, 275, 276, 278, 279, 280, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 291, 294, 295, 297, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 315, 316, 318, 319, 321, 322, 323, 326, 327, 329, 330, 331, 332, 334, 335, 336, 339, 341, 342, 343, 344, 345, 347, 348, 350, 351, 352, 354, 355, 357, 358, 359, 363, 364, 366, 367, 368, 371, 372, 374, 375, 376, 378, 379, 380, 381, 382, 383, 384, 385, 387, 390, 391, 393, 395, 396, 398, 399, 402, 403, 406, 407, 408, 411, 412, 413, 414, 415, 417, 418, 419, 420, 422, 423, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 434, 435, 437, 438, 439, 440, 443, 444, 446, 447, 448, 451, 453, 454, 455, 456, 459, 460, 462, 463, 465, 467, 469, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 478, 479, 480, 483, 486, 487, 489, 491, 492, 494, 495, 496, 497, 498, 499  personnes presentes.

Voir: A022544


Mais peut-etre fallait il comprendre a^2 + b^2 = 7*c^2 + 7*d^2, dans ce cas, la solution est etonnement la même

Donc pour clarifier.. Faut-il que tous les 14 convives aient des gateaux de même tailles? ou seulement les 7 enfants avec des gateaux de mêmes tailles et le 7 adultes avec des gateaux de mêmes tailles mais qui peuvent etre differentes de celles des enfants?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 01-02-2016 21:33:37

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 526

Fête de fmaille

Supposons que ce soit possible.

Les deux premiers gâteaux utilisent n² et m² carrés de chocolat.
Les gâteaux des invités utilisent chacune a² (pour les adultes) et e² (pour les enfants) carrés de chocolat.

On a donc : n²+m²=7(a²+e²), et donc n²+m² est divisible par 7.

Or un carré est toujours congru à 0, 1, 2 ou 4 modulo 7. Donc comme n²+m² est divisible par 7, la seule possibilité est que n et m soient eux-mêmes divisibles par 7. Donc n²+m² est divisible par 49.

Donc a²+e² est lui-même divisible par 7, donc a et e le sont. Donc a²+e² est divisible par 49, et donc (n²+m²)/49 est divisible par 7... on conclue avec un argument de descente infinie.

 #8 - 01-02-2016 22:12:28

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Fête d efamille

Nodgim et ebichu :bravo

Dhrm :
"les 7 enfants avec des gateaux de mêmes tailles et le 7 adultes avec des gateaux de mêmes tailles mais qui peuvent etre differentes de celles des enfants? " : OUI

 #9 - 03-02-2016 22:53:04

BlackJulio
Visiteur

fête de famulle

Oui on peut le deviner (petit théorème de Fermat, cas général, car
[latex]X^2+Y^2 = 7 (a^2+e^2) [/latex] et 7 est de la forme [latex]4k+3[/latex]...

 #10 - 04-02-2016 12:03:51

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

FFête de famille

@blackjulio
Je ne met pas en doute mais ne suis pas certain de comprendre (enfin suis certain de ne pas comprendre plutôt...)

Peux tu élaborer : ca a l'air d'être nue démo particulièrement efficace...

 #11 - 04-02-2016 16:21:12

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2847
Lieu: Luxembourg

Fête de fmille

Ah oui, mince, c'est l'inverse: si A et B sont les tailles des gâteaux initiaux et C celle des gâteaux finaux, on devra résoudre: A²+B² = 14.C²

Edit: On voit que 14 doit diviser A²+B², ce qui ne semble pas possible. Donc les deux enfants auraient raison.

 #12 - 04-02-2016 16:34:19

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Fête de faimlle

Fermat a écrit:

Un entier n est somme de deux carrés d'entiers si, et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, les nombres premiers congrus à 3 modulo 4 figurent à une puissance paire.

Donc 7 fois la somme de deux carrés ne peut pas être la somme de deux carrés. smile

 #13 - 04-02-2016 17:34:48

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 491
Lieu: Ardèche

Fête de famillle

Avec un gâteau initial de 35x35, on fait un gâteau 28x28 et un 21x21.
Ça fait 1225 = 784+441 chocolats et c'est divisible par 7.

EDIT
Désolé, mal lu l'énoncé, on partait de 2 gâteaux et non d'un.

 #14 - 04-02-2016 18:57:34

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Fête de familel

Gwen a eclaire ce que blackjulio avait écrit précédemment...bravo à vous !

Pour les autres on parle de

X2+Y2=7(a2+e2)

 #15 - 05-02-2016 11:49:49

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 382

Ftêe de famille

tout a été dit : bravo à tous !

 

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