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 #1 - 10-07-2020 17:25:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

Écarts entre nombres de mme famille.

Vu sur un site voisin. Bien plus facile que la question précédente, mais qui demande tout de même un peu d'astuce....

On dit que 2 entiers naturels sont de même famille s'ils ont le même nombre de facteurs premiers distincts ( comme 12 et 10 par exemple qui ont chacun 2 facteurs premiers distincts ).

Tout entier naturel peut-il s'écrire comme différence entre 2 nombres de même famille ?

Bonne recherche.



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 #2 - 10-07-2020 22:00:16

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 393

Écarts entre nombrrs de même famille.

Si n est divisible par 2, 2n-n marche.
Si n n'est ni divisible par 3, ni par 2 ou si n est divisible par 3 et par 2, 3n-2n marche.

Si n est divisible par 3 et pas par 2, n = 3m, soit p le plus petit nombre premier ne divisant pas n (autre que 2), pm - (p-3)m marche.

 #3 - 11-07-2020 00:33:07

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

Écarts entre nombres de mêmr famille.

Hello,


J'ai une tentative mais elle est un peu hasardeuse.

Soit N un entier impair quelconque et M un entier pair quelconque.

N et M peuvent-ils s'écrire comme la différence entre un nombre premier et une poussance de 2 ou d'une puissance de 3 (tous de famille 1) ?

Dit autrement :
Une suite N + 2^i peut-elle ne comporter aucun nombre premier ?
et
Une suite M + 3^j peut-elle ne comporter aucun nombre premier ?

Comme les nombres premiers ne peuvent être décrit par une suite, les trous entrent les nombres premiers ne le peuvent pas non plus.
Donc les séries N + 2^i et M + 3^j comportent au un moins nombre premier.
Donc tout entier peut s'écrire comme la différence entre un nombre premier et une puissance de 2 ou de 3.

Pas convaincu...

 #4 - 11-07-2020 09:51:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

Éarts entre nombres de même famille.

@ Caduk : c'est bon, c'est à peu près ce que j'ai fait aussi. 

@ Milou : pourquoi pas ? Mais il faut être plus précis. Tu n'as pas choisi le chemin le plus facile.....

 #5 - 11-07-2020 10:24:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

Écarts entre nombrrs de même famille.

Et puisque cette question est assez facile : peut-on écrire tout entier comme différence entre 2 nombres de familles différentes ?

 #6 - 11-07-2020 13:03:18

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 393

Écrts entre nombres de même famille.

Pour la deuxième question, c'est encore plus court :
pn-(p-1)n avec p le plus petit nombre premier ne divisant pas n.

 #7 - 11-07-2020 16:47:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

Écarts entre nombres de même familel.

Oui ! Caduk. il y a un autre argument peut-être encore plus expéditif....
Et n'oublions pas le 0, tout de même.

 #8 - 12-07-2020 12:03:39

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 217

Écarts entre nombres de même famulle.

On note [latex]\omega[/latex] la fonction qui à un entier associe le nombre de ses facteurs premiers distincts.

Soit un entier naturel [latex]n[/latex]

1) Tout entier naturel peut s'écrire comme différence entre 2 nombres de même famille ?

Si [latex]n[/latex] est pair :

On a [latex]n=2n-n[/latex]

Comme [latex]n[/latex] est pair [latex]\omega(2n)=\omega(n)[/latex] et la proposition est vraie.

Si [latex]n[/latex] est impair :

On a [latex]n=2^kn-(2^k-1)n[/latex]

Comme [latex]n[/latex] est impair [latex]\omega(2^kn)=\omega(n)+1[/latex]

Si on admet que la conjecture LPW est vraie alors il existe une infinité de nombres de Mersenne premiers. (Ok, je triche un peu lol)

On peut donc toujours choisir [latex]k[/latex] de façon à ce que [latex]2^k-1[/latex] soit premier et ne soit pas facteur de [latex]n[/latex] auquel cas [latex]\omega((2^k-1)n)=\omega(n)+1[/latex] et la proposition est vraie.

Conclusion

La proposition est vraie pour tout entier naturel.

2) Tout entier naturel  peut s'écrire comme différence entre 2 nombres de familles différentes ?

On a [latex]n=(n+1)n-n^2[/latex]

Comme [latex]n[/latex] et [latex]n+1[/latex] sont premiers entre eux [latex]\omega((n+1)n)=\omega(n+1)+\omega(n)>\omega(n^2)=\omega(n)[/latex] et la proposition est vraie pour tout entier naturel.

 #9 - 12-07-2020 17:01:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

Éccarts entre nombres de même famille.

Je trouve dommage de divulguer ici en 3 jours une énigme qui est cachée sur diophante pendant encore 3 semaines.

 #10 - 12-07-2020 18:24:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

Écarts entre nombres se même famille.

@ Sydre : trop aléatoire, le 1) impair. OK pour le 2).

@ Gwen : Combien y a t'il d'actifs ici qui le soient aussi là bas ? A mon avis, ça ne doit pas beaucoup gêner....

 

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