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 #1 - 10-07-2020 17:25:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Écarts entre nombres d même famille.

Vu sur un site voisin. Bien plus facile que la question précédente, mais qui demande tout de même un peu d'astuce....

On dit que 2 entiers naturels sont de même famille s'ils ont le même nombre de facteurs premiers distincts ( comme 12 et 10 par exemple qui ont chacun 2 facteurs premiers distincts ).

Tout entier naturel peut-il s'écrire comme différence entre 2 nombres de même famille ?

Bonne recherche.



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 #2 - 10-07-2020 22:00:16

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Écarts entre nombres de mêême famille.

Si n est divisible par 2, 2n-n marche.
Si n n'est ni divisible par 3, ni par 2 ou si n est divisible par 3 et par 2, 3n-2n marche.

Si n est divisible par 3 et pas par 2, n = 3m, soit p le plus petit nombre premier ne divisant pas n (autre que 2), pm - (p-3)m marche.

 #3 - 11-07-2020 00:33:07

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 446

Écarts entre nombrees de même famille.

Hello,


J'ai une tentative mais elle est un peu hasardeuse.

Soit N un entier impair quelconque et M un entier pair quelconque.

N et M peuvent-ils s'écrire comme la différence entre un nombre premier et une poussance de 2 ou d'une puissance de 3 (tous de famille 1) ?

Dit autrement :
Une suite N + 2^i peut-elle ne comporter aucun nombre premier ?
et
Une suite M + 3^j peut-elle ne comporter aucun nombre premier ?

Comme les nombres premiers ne peuvent être décrit par une suite, les trous entrent les nombres premiers ne le peuvent pas non plus.
Donc les séries N + 2^i et M + 3^j comportent au un moins nombre premier.
Donc tout entier peut s'écrire comme la différence entre un nombre premier et une puissance de 2 ou de 3.

Pas convaincu...

 #4 - 11-07-2020 09:51:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Écarts entre nombres de même famlile.

@ Caduk : c'est bon, c'est à peu près ce que j'ai fait aussi. 

@ Milou : pourquoi pas ? Mais il faut être plus précis. Tu n'as pas choisi le chemin le plus facile.....

 #5 - 11-07-2020 10:24:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Écarts ebtre nombres de même famille.

Et puisque cette question est assez facile : peut-on écrire tout entier comme différence entre 2 nombres de familles différentes ?

 #6 - 11-07-2020 13:03:18

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

Écarts etre nombres de même famille.

Pour la deuxième question, c'est encore plus court :
pn-(p-1)n avec p le plus petit nombre premier ne divisant pas n.

 #7 - 11-07-2020 16:47:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Écarts netre nombres de même famille.

Oui ! Caduk. il y a un autre argument peut-être encore plus expéditif....
Et n'oublions pas le 0, tout de même.

 #8 - 12-07-2020 12:03:39

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 217

Écarts entr nombres de même famille.

On note [latex]\omega[/latex] la fonction qui à un entier associe le nombre de ses facteurs premiers distincts.

Soit un entier naturel [latex]n[/latex]

1) Tout entier naturel peut s'écrire comme différence entre 2 nombres de même famille ?

Si [latex]n[/latex] est pair :

On a [latex]n=2n-n[/latex]

Comme [latex]n[/latex] est pair [latex]\omega(2n)=\omega(n)[/latex] et la proposition est vraie.

Si [latex]n[/latex] est impair :

On a [latex]n=2^kn-(2^k-1)n[/latex]

Comme [latex]n[/latex] est impair [latex]\omega(2^kn)=\omega(n)+1[/latex]

Si on admet que la conjecture LPW est vraie alors il existe une infinité de nombres de Mersenne premiers. (Ok, je triche un peu lol)

On peut donc toujours choisir [latex]k[/latex] de façon à ce que [latex]2^k-1[/latex] soit premier et ne soit pas facteur de [latex]n[/latex] auquel cas [latex]\omega((2^k-1)n)=\omega(n)+1[/latex] et la proposition est vraie.

Conclusion

La proposition est vraie pour tout entier naturel.

2) Tout entier naturel  peut s'écrire comme différence entre 2 nombres de familles différentes ?

On a [latex]n=(n+1)n-n^2[/latex]

Comme [latex]n[/latex] et [latex]n+1[/latex] sont premiers entre eux [latex]\omega((n+1)n)=\omega(n+1)+\omega(n)>\omega(n^2)=\omega(n)[/latex] et la proposition est vraie pour tout entier naturel.

 #9 - 12-07-2020 17:01:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

Écatrs entre nombres de même famille.

Je trouve dommage de divulguer ici en 3 jours une énigme qui est cachée sur diophante pendant encore 3 semaines.

 #10 - 12-07-2020 18:24:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3797

Écarts entre nombres de mêême famille.

@ Sydre : trop aléatoire, le 1) impair. OK pour le 2).

@ Gwen : Combien y a t'il d'actifs ici qui le soient aussi là bas ? A mon avis, ça ne doit pas beaucoup gêner....

 

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