Enigme Nouvelle "démonstration" de 3=0 1/2 @ Prise2Tete

BlaiseP · #1

Soit (1): x² + x + 1 = 0
On fait passer le x² à droite
(2) : x + 1 = - x²
mais aussi (1) peut s'écrire :
(3) : x(x + 1) + 1 = 0
on utilise (2) pour remplacer le (x + 1) par - x²
(4) : x(-x²) + 1 = 0
(5) : - x³ = -1
(6) : x³ = 1
racine réelle évidente : x=1
on fait x = 1 dans (1) et ça donne 1 + 1 + 1 = 0, soit 3 = 0

Cherchez l'erreur !!!

P.S. le post d'origine est :
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=271

portugal · #2

Ce que tu dis est vrai x solution IMPLIQUE x^3=1

La réciproque st fausse car quand tu injecte (2) dans (3) tu "perds de la contrainte"

On le comprend immédiatement car dans C, une équation du 2eme degré a 2 racines alors que l'equation du 3eme degré que tu obtiens en a 3

Ainsi tu démontre q'il ya 3 solutions possibles our le problème exp( k pi i / 3 ) avec k = 1,2,3

k=3 (x=1 ) ne marche pas quand on vérifie vu que 3 est rarement égal à 0 (sauf modulo 3... )

Les 2 autres solutions marchent donc forcement sans avoir besoin de les vérifier vu que l'on sait avoir 2 solutions...

masab · #3

L'erreur provient de ce que
[TeX]x^3-1=(x-1)\,(x^2+x+1)[/TeX][TeX]x^3=1\Longleftrightarrow x\in\{1,\,j,\,j^2\}[/TeX][TeX]x^2+x+1=0\Longleftrightarrow x\in\{j,\,j^2\}[/TeX]

Smok2k · #4

Voilà ce qui se passe quand on utilise des équivalences à tout va et non pas des implications.

gwen27 · #5

On peut tout prouver en partant d'une fausse hypothèse..

x+1=x

donc
0=1
et 2 = 1

C'est même prouvé puisque en additionnant on a bien 0+2 = 1+1

Bien sûr, comme x n'est pas égal à x+1, c'est faux. 2 n'est donc pas égal à 2, c'est logique.

BlaiseP · #6

@portugal :
peux-tu détailler ce que tu veux dire avec
"La réciproque st fausse car quand tu injecte (2) dans (3) tu "perds de la contrainte""
Je demande juste "où est l'erreur ?". Les calculs présentés ne font rien d'interdit !
Ou alors, il faut expliquer clairement ce qui n'est pas correct.

@masab : Comme 1 est racine, bien sûr on peut mettre (x-1) en facteur.
Mais tu n'expliques pas où est l'erreur dans les calculs présentés.
.
@gwen27 :[tu ne réponds pas du tout à ma question.
Je ne prouve rien du tout, et je ne fais aucune hypothèse. Je présente un calcul qui a l'air correct. mais il y a un bug dedans, il faut expliquer ce qui ne va pas.

portugal · #7

"on utilise (2) pour remplacer le (x + 1) par - x² " est une implication, pas une bijection

C'est comme si tu disais :

x=-1
on élève au carré
x^2=1
on a donc comme racine évidente
donc x=1
et donc -1 = 1

gwen27 · #8

Tu prouves quelque chose, si, si...

Tu prouves que SI x^2+x+1 = 0, ALORS x = 1 ce qui est vrai.

Mais c'est juste un raisonnement par l'absurde.
Ta conclusion, par contre est totalement fausse.

En fait il faudrait dire : on arrive à 3=0 donc, l'hypothèse est fausse.

En partant d'une hypothèse fausse, on arrive à une conclusion fausse. Je persiste dans mes propos.

Mais c'est parfaitement valide pour prouver que l'hypothèse est fausse.

portugal · #9

@Gwen Tu dis:

Tu prouves que SI x^2+x+1 = 0, ALORS x = 1 ce qui est vrai.

Ce n'est pas ca imho

Il prouve que ca implique x^3=1 ce qui ouvre la voie à 3 solutions complexes possibles sous réserve de vérification

Alors il pioche alors la seule solution qui ne marche pas et l'appelle vite fait la racine évidente...

Ta critique ne me semble ainsi pas fondé vu qu'en plus il existe des solutions certes complexes au problème.

gwen27 · #10

Je ne sais pas ce que veux dire imho, mais oui, j'ai négligé le "dans R".

Effectivement, on a des solutions dans C , mais elles vérifient x^3=1.
La condition nécessaire est donc bien prouvée et sa validité n'est qu'un critère à vérifier au même titre que l'équation de départ, pas une conclusion en soi.
Dans C elle a des solution : l'hypothèse est vraie.

Il ne pioche pas la seule solution qui ne marche pas, il prend la seule qui marche dans R.
Dans R elle n'en a pas : l'hypothèse est fausse dans R

BlaiseP · #11

portugal a écrit:
"on utilise (2) pour remplacer le (x + 1) par - x² " est une implication, pas une bijection
C'est comme si tu disais :
x=-1 on élève au carré x^2=1
on a donc comme racine évidente
donc x=1
et donc -1 = 1

Il n'y a pas d'élévation au carré.

Il y juste une expression (x+1) qui est remplacée par une expression (-x²) qui lui est égale. C'est une pratique courante, que je sache, en calcul algébrique.

J'ai du mal à comprendre ton utilisation des mots 'implication' et 'bijection'.
Je pense que le mot 'implication' a trait à la logique, alors que le mot 'bijection' se rapporte aux applications et s'appuie sur la théorie des ensembles.

BlaiseP · #12

gwen27 a écrit:
Tu prouves quelque chose, si, si...
Tu prouves que SI x^2+x+1 = 0, ALORS x = 1 ce qui est vrai.
Mais c'est juste un raisonnement par l'absurde.
Ta conclusion, par contre est totalement fausse.
En fait il faudrait dire : on arrive à 3=0 donc, l'hypothèse est fausse.
En partant d'une hypothèse fausse, on arrive à une conclusion fausse. Je persiste dans mes propos.
Mais c'est parfaitement valide pour prouver que l'hypothèse est fausse.

Désolé, je répète ma question : qu'est-ce qui ne va pas dans le calcul effectué ?

Ton argumentation a un défaut.
En effet, (1) a bel et bien deux solutions dans le corps des complexes.
Si je te suis, la conclusion X=1 est alors correcte.
Par conséquent, 3=0 dans le corps des complexes :-)

ça se saurait !

BlaiseP · #13

Je ne suis pas certains que le post d'origine ait été relu.
Pour mémoire, je pense avoir répondu correctement :
======================================
on multiplie (2) par x pour obtenir (3)
Ensuite, on soustrait (2) pour obtenir (4)
Résumé : on a multiplié par (x-1), ce qui introduit la racine x=1
pour (4), et donc pour (5). Mais ce n'est pas une racine de (1).
Autrement dit, (1) n'est pas vérifiée pour x=1.
P.S. les 2 racines complexes de (1) sont aussi racines de (5).
======================================
Je montre assez clairement comment la racine x=1 a été introduite
au cours du calcul.

Mais dans la présente discussion, je ne sais pas en faire autant.
J'attends impatiemment que quelqu'un le fasse de manière convaincante.

gwen27 · #14

Si je te suis, la conclusion X=1 est alors correcte.
Par conséquent, 3=0 dans le corps des complexes :-)

Non elle est nécessaire.

Reste à vérifier chacune des 3 racines (quel que soit le corps que tu choisis)

Et la racine "1" n'est valable dans aucun et infirme l'hypothèse.
Les deux autres ne sont pas valables dans R donc impossible dans R.
Par contre elles sont valable dans C donc l'hypothèse admet ces deux solutions dans C.

Après , je sens que tu veux faire dire ce qui TE semble LA réponse à ce faux paradoxe.
Plusieurs personnes ont exposé des contredits valables. Il en existe sûrement d'autres et le tien est peut-être plus simple... mais ça n'infirme pas ce qui t'a été répondu (à part une erreur sur "R" pour moi

De plus, en posant que la racine cubique de -1 est -1 , tu te places dans le corps des réels.

BlaiseP · #15

gwen27 a écrit:
...
Tu prouves que SI x^2+x+1 = 0, ALORS x = 1 ce qui est vrai.
...

Je ne connais pas de critère pour dire si une équation est VRAIE ou FAUSSE.
Une équation n'est pas un prédicat.

C'est le cas pour x²+x+1=0 comme pour n'importe quelle autre équation.

Je persiste écrire que je présente un CALCUL algébrique avec un résultat faux dans N, Z, Q, R et C, pour ne citer que ces ensembles là.

Je n'ai pas encore vu d'explication sur ce qui ne va pas dans ce calcul.
Décomposons la question :
- Le passage de (1) à (2) est-il contestable ? si oui, pourquoi
- Le passage de (1) à (3) est-il contestable ? si oui, pourquoi
- Remplacer (x+1) dans (3) conformément à (2) est-il contestable ?
Portugal semble avoir des doutes, malheureusement, je ne comprends pas son
argumentation. A mon avis, c'est bien là qu'il faut creuser.
Une fois qu'on a (4), c'est trop tard, la racine 1 est apparue mystérieusement.

Franky1103 · #16

x² + x + 1 = (x³ - 1) / (x - 1) mais seulement pour x différent de 1

nodgim · #17

Pour l'instant, je ne comprends pas vraiment ce qu'il se passe. Sauf peut être que quand on a écrit x(x+1)+1=0 et -x²=x+1, d'où découle x^3=1, ça me semble assez normal de vérifier que 1 est bien solution des 2 égalités origine.

Dans la bagarre, on aurait pu écrire aussi:
-x²=x+1 ===> x<= -1 et
x(x+1)=-1 ====> -1 <= x <= 0
ce qui clôt le débat, vu que la seule possiblité x=-1 ne convient pas

Mais ça reste troublant...

Klimrod · #18

Il n'y a rien de troublant !

De l'étape 1 à l'étape 6, tout est correct.

Tu as simplement démontré que si x est racine de l'équation x²+x+1=0, alors x est également racine de l'équation x³=1. Et c'est vrai.

En revanche, tu n'as pas démontré l'inverse, à savoir que si x est racine de x³=1, alors x est aussi racine de x²+x+1=0. Et pour cause, puisque c'est faux.

Exemple : la valeur 1 affectée à la variable x est racine de l'équation x³=1, mais n'est pas racine de l'équation x²+x+1=0.

Où est-ce troublant ?
Klim.

PS. Allons un petit peu plus loin. Il faut différencier le signe égal dans une équation du signe égal d'affectation d'une valeur à une variable.
x=1 dans une équation est équivalent à la même équation x-1=0.
x=1 dans une affectation signifie qu'on donne la valeur 1 à la variable x. Et ça n'est pas pareil que x-1=0 car on n'affecte pas la valeur 0 à la variable x-1.
Je suis sûr que tu vois bien que ceci est faux : x³-1=0 => x-1=0. Ca montre bien que, après l'étape 6, ton raisonnement est faux.

golgot59 · #19

En gros tu écris :

Soit (1): 1 + 1 + 1 = 0
On fait passer le 1 à droite
(2) : 1 + 1 = -1
mais aussi (1) peut s'écrire :
(3) : 1(1 + 1) + 1 = 0
on utilise (2) pour remplacer le (1 + 1) par -1
(4) : 1(-1) + 1 = 0
(5) : -1 = -1
Même pas besoin du (6)...
(5) est vrai donc (1) est vrai !

Et ben non. Tous les arguments donnés par mes camarades sont bons, je ne comprends pas pourquoi tu ne les comprends pas.

Tu te sers de ton égalité fausse de départ pour la réintroduire au milieu de ta démo pour aboutir à un truc vrai, ça ne marche pas :

Je suppose que 3=19 (1)
or 19=3 d'après (1)
Donc 3=3
CQFD !

BlaiseP · #20

Franky1103 a écrit:
x² + x + 1 = (x³ - 1) / (x - 1) mais seulement pour x différent de 1

effectivement, il ne faut pas diviser par 0, sous peine de résultat incohérent.

mais masab à déjà écrit :
x³ −1=(x−1)(x² +x+1)

mais ça ne fait guère avancer le schmilblick !

BlaiseP · #21

golgot59 a écrit:
Tu te sers de ton égalité fausse de départ pour la réintroduire au milieu de ta démo pour aboutir à un truc vrai, ça ne marche pas :
:

Pardon, l'expression de départ (1) n'est pas "fausse".
C'est une équation, elle n'est ni "vraie", ni "fausse".

Cette équation n'a pas de racine dans R, elle a deux racines dans C.

Cependant, tu fais une remarque intéressante "pour la réintroduire ...".

En effet, dans le calcul, on utilise (2) comme une égalité pour procéder à
une substitution dans (3).
C'est l'égalité (2) qui pose problème : (2) est vérifié UNIQUEMENT pour les deux racines complexes de (1).
Sinon et en particulier dans R, elle n'est jamais vérifiée.
Le reste du calcul produit x=1.
Cette valeur n'est pas compatible avec l'égalité (2).
Une vérification s'impose donc.
La vérification nous apprend que 1 n'est pas une racine de (1).

BlaiseP · #22

Klimrod a écrit:
Il n'y a rien de troublant !

De l'étape 1 à l'étape 6, tout est correct.

Tu as simplement démontré que si x est racine de l'équation x²+x+1=0, alors x est également racine de l'équation x³=1. Et c'est vrai.

En revanche, tu n'as pas démontré l'inverse, à savoir que si x est racine de x³=1, alors x est aussi racine de x²+x+1=0. Et pour cause, puisque c'est faux.

Exemple : la valeur 1 affectée à la variable x est racine de l'équation x³=1, mais n'est pas racine de l'équation x²+x+1=0.

Où est-ce troublant ?
Klim.

PS. Allons un petit peu plus loin. Il faut différencier le signe égal dans une équation du signe égal d'affectation d'une valeur à une variable.
x=1 dans une équation est équivalent à la même équation x-1=0.
x=1 dans une affectation signifie qu'on donne la valeur 1 à la variable x. Et ça n'est pas pareil que x-1=0 car on n'affecte pas la valeur 0 à la variable x-1.
Je suis sûr que tu vois bien que ceci est faux : x³-1=0 => x-1=0. Ca montre bien que, après l'étape 6, ton raisonnement est faux.

En te lisant, je me suis dit que tu avais du faire de la programmation ;-)
Je ne suis pas d'accord avec "ton raisonnement est faux".
je n'ai écrit aucun raisonnement, seulement des calculs.

Grace à ton post et celui de golgot59, j'ai trouvé une explication :
J'utilise 2 comme une égalité. Et sa validité est .. très restreinte.
L'erreur se trouve donc dans la phrase
"on utilise (2) pour remplacer le (x + 1) par - x²"

Klimrod · #23

Comme tu veux...
Si cette explication te convient, c'est bien.

nodgim · #24

Y a quand même quelque chose qu'on peut trouver bizarre.

Soit le système de 2 équations:
-x²=x+1
x(x+1)=-1

Si on ne se rend pas compte qu'il s'agit de la même équation, on résout par substitution, comme on fait d'habitude, et on plonge.

Je ne me souviens pas qu'avoir à résoudre un système par substitution pouvait ne pas marcher dans tous les cas !

NB: ce défaut se retrouve pour tout polynome à coeff 1, c'est à dire 1+x+x²+..x^n

BlaiseP · #25

Klimrod a écrit:
Comme tu veux...
Si cette explication te convient, c'est bien.

Pas vraiment. Ce n'est pas d'une grande clarté.

Beaucoup de contributions considèrent qu'il s'agit d'un raisonnement, et que ce raisonnement est faux. Il y a en gros deux techniques :

1- l'hypothèse de départ est fausse.
2- c'est une chaîne de conditions nécessaires (mais pas suffisantes).

Ce faisant, la question posée est totalement évacuée.
De ce fait, ces contributions sont "hors sujet".

Rappel de la question posée :
qu'est-ce qui ne va pas dans le calcul ?

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#1 - 16-02-2016 13:43:39

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#6 - 16-02-2016 23:13:26

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