Enigme Mathématiques pour ceux qui s'ennuient @ Prise2Tete

shadock · #1

Hello,

En stage certes, mais toujours présent, flânant sur le forum, c'est l'été il y a moins de gens, je vous propose une petite récréation mathématiques qui ne devrait pas vous demander plus de 10 minutes si vous utilisez Wolfram et quelques heures de calcul sinon

Prenez un carré de côté 1. Quelle est en moyenne la distance entre deux points se situant à l'intérieur et/ou sur le bord de ce carré?

Bonne recherche et à bientôt ! La case réponse valide les 10 premières décimales sans le 0 ni la virgule.

Shadock

PS: Je mets volontairement plus de temps puisque tout le monde n'est pas là et puis ce n'est pas évidant même si on peut ruser pour trouver la réponse autrement que par le calcul seul

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NickoGecko · #2

Salut

Avec 10000 couples aléatoires sur excel on trouve 0,52 ..... 262024720873

Il faut passer par des intégrales ....

J'essaie de revenir !

.... Wolfram alpha capitule devant mon intégrale ....

(de même que la version "application payante" sur mon téléphone)

En passant par la recherche en anglais on trouve une explication très pédagogique:

(' sont forts ces anglo-saxons ...)

et retour sur Wolfram avec la recherche http://mathworld.wolfram.com/HypercubeLinePicking.html

on trouve de quoi satisfaire la case réponse !

Merci pour cet intermède !
A+

Franky1103 · #3

Je ne sais pas me servir de Wolfram, mais Maple calcule très bien des intégrales:
Dmoy = (2 + V2) / 15 + ln(1 + V2) / 3 = 0,5214054331 env.

Vasimolo · #4

Je trouve [latex]\frac{2+\sqrt{2}}{15}+\frac{\ln{(1+\sqrt{2})}}{3}[/latex] dont la valeur approchée n'est pas validée par la case réponse .

Vasimolo

shadock · #5

Vasimolo, ta réponse est juste tu n'as pas du rentrer ce qu'il faut dans la case réponse

Franky c'est ça et Nicko il manque quelques décimales mais tu as le bon début

Sydre · #6

Après quelques sommations de Riemann et passages à la limite j’obtiens :
[TeX]\frac{1}{2}\int_0^1\int_0^C\int_0^C\int_0^1\sqrt{y^2t^2+x^2}+\sqrt{(C-y) ^2t^2+x^2}\,\mathbb{d}t\,\mathbb{d}x\,\mathbb{d}y\,\mathbb{d}C[/TeX]
Ne compte pas sur moi pour calculer ce monstre

shadock · #7

Sydre utilise les coordonnées polaires c'est utile ici !
Je l'ai fais ça marche, mais je m'y suis repris à plusieurs fois

Smok2k · #8

[TeX]\frac{2+\sqrt{2}}{15}+\frac{1}{3}ln(1+\sqrt{2})[/TeX]
Après un calcul d'intégrale quadruple plutôt laborieux...

shadock · #9

Je vois que Nicko à trouver de quoi faire la même chose dans un hypercube de dimension n

masab · #10

La moyenne des distances entre deux points d'un carré de coté 1 est
[TeX](2+\sqrt{2}+5\,\mathrm{Argsh}(1))/15 = 0.52140543316…[/TeX]

shadock · #11

Bravo masab, il fallait voir qu'on pouvait écrire la réponse avec Argsh

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#1 - 07-07-2016 19:40:19

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#2 - 07-07-2016 22:06:10

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#3 - 08-07-2016 10:18:13

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#4 - 08-07-2016 10:46:17

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#6 - 08-07-2016 19:22:32

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#10 - 09-07-2016 22:19:37

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#11 - 10-07-2016 10:40:17

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