Enigmes

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 #1 - 28-06-2016 09:21:27

bobodiak
Amateur de Prise2Tete
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enigme drs chapeaux

10 hommes ont laissé leur chapeau au vestiaire d un théatre
En reprenant un chapeau au hasard quelle est la probabilité qu une personne tombe sur son prope chapeau?



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 #2 - 28-06-2016 09:59:52

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Enigme des chpaeaux

1ère personne: 1/10 = 10%
2ème personne: (1/10)x0 + (9/10)x(1/9) = 1/10 = 10%
3ème personne: (2/10)x0 + (8/10)x(1/8) = 1/10 = 10%
.....
10ème personne: (9/10)x0 + (1/10)x1 = 1/10 = 10%

 #3 - 28-06-2016 14:17:46

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Enigme des cahpeaux

Effectivement,lLa probabilité reste à 1/10


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 28-06-2016 18:46:02

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

Engme des chapeaux

Bonjour,
Quelle est la question ?

1) Probabilité pour une personne donnée de tomber sur son chapeau
Spoiler : [Afficher le message] 1/10 = 10 %

2) Probabilité qu'une seule personne tombe sur son chapeau
Spoiler : [Afficher le message] 16687/45360 = 36.79 %

3) Probabilité qu'au moins une personne tombe sur son chapeau
Spoiler : [Afficher le message] 28319/44800 = 63.21 %

 #5 - 28-06-2016 18:48:31

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3314

enigme des chapzaux

On prend un chapeau au hasard puis une personne au hasard et on cherche la probabilité que les deux se correspondent.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 28-06-2016 19:31:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Enigme des chapeau

enigmatus a écrit:

3) Probabilité qu'au moins une personne tombe sur son chapeau
Spoiler : [Afficher le message] 28319/44800 = 63.21 %

Non, un peu plus...

 #7 - 28-06-2016 21:28:20

bobodiak
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Enigme es chapeaux

Salut enigmatus, comme la plupart des énigmes celle ci n est pas totalement explicite, j en convient.
A mon sens francky1103 a répondu exactement selon moi à ta proposition de question numero 1
La réponse à la proposition numero 3 est 0,63 mais je ne maitrise pas l utilisation des transposition au niveau des permutations. Il me faut me rencarder sur cette théorie
Quant à la proposition numero 2, je  vais y réfléchir et proposer une solution

Merci à tous

 #8 - 28-06-2016 21:44:52

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Enigme des chpeaux

@gwen27 #6

Combien obtiens-tu ?

Il s'agit du problème de Montmort; voir le début de cet article :
http://digitalcommons.calpoly.edu/cgi/v … t=math_fac

J'ai aussi vérifié le résultat en passant en revue toutes les permutations et en comptant les correspondances chapeau-propriétaire (pas à la main, bien sûr, mais en python).

 #9 - 29-06-2016 00:16:18

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3314

EEnigme des chapeaux

En utilisant la formule de Poincaré que je n'écrirai pas, on montre "aisément" que la probabilité qu'une seule personne parmi [latex]n[/latex] retrouve son chapeau du premier coup est:
[TeX]P(n)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}[/TeX]
C'est pas très difficile mais il faut prendre son temps et on abouti au résultat.

Dans notre cas P2 = 0.3678794...

EDIT : De manière générale la formule donnée sur wiki donne la probabilité que k personnes retrouvent leur chapeau du premier coup.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 29-06-2016 07:46:18

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Enimge des chapeaux

J'obtiens 65,1...%

La probabilité de n'avoir aucun chapeau de bon est 0,9^10=0,3486...
Celle d'en avoir au moins 1 est donc 0,651...

 #11 - 29-06-2016 09:19:18

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Enigme des chapeeaux

@shadock #9

La formule que tu donnes est la probabilité qu'aucun ne récupère son chapeau, mais la différence est minime, et n'apparaît que sur la 7ème décimale.

Voici mes résultats complets, calculés de deux façons différentes.

Code:

On passe en revue toutes les permutations
    0 => 16481/44800 0.367879464286    1334961
    1 => 16687/45360 0.367879188713    1334960
    2 => 2119/11520  0.183940972222     667485
    3 => 103/1680    0.0613095238095    222480
    4 => 53/3456     0.0153356481481     55650
    5 => 11/3600     0.00305555555556    11088
    6 => 1/1920      0.000520833333333    1890
    7 => 1/15120     6.61375661376e-05     240
    8 => 1/80640     1.24007936508e-05      45
    9 => 0           0.0                     0
   10 => 1/3628800   2.7557319224e-07        1
Total => 1           1.0               3628800
  >=1 => 28319/44800 0.632120535714    2293839

Utilisation de la formule : (1/k!)somme_pour_0<=j<=N-k((-1)**j/(j!))
    0 => 16481/44800 0.367879464286   
    1 => 16687/45360 0.367879188713     P2
    2 => 2119/11520  0.183940972222   
    3 => 103/1680    0.0613095238095  
    4 => 53/3456     0.0153356481481  
    5 => 11/3600     0.00305555555556 
    6 => 1/1920      0.000520833333333
    7 => 1/15120     6.61375661376e-05
    8 => 1/80640     1.24007936508e-05
    9 => 0           0.0              
   10 => 1/3628800   2.7557319224e-07 
Total => 1           1.0              
  >=1 => 28319/44800 0.632120535714     P3

 #12 - 29-06-2016 11:54:25

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Enigme de chapeaux

gwen27 #10 a écrit:

La probabilité de n'avoir aucun chapeau de bon est 0,9^10=0,3486...

Ce n'est pas aussi simple. Si tu appliques le même raisonnement à 2 personnes et 2 chapeaux, tu vas trouver comme probabilité de n'avoir aucune correspondance : (1/2)^2=1/4
alors que la bonne valeur est 1/2.

 #13 - 29-06-2016 18:47:08

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Enigme des chhapeaux

La probabilité que chacun parte avec un mauvais chapeau n'est d'ailleurs pas strictement décroissante: P(2k-1)<P(2k), cela n'est pas intuitif a priori


The proof of the pudding is in the eating.
 

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