Effectivement,lLa probabilité reste à 1/10

On prend un chapeau au hasard puis une personne au hasard et on cherche la probabilité que les deux se correspondent.

Salut enigmatus, comme la plupart des énigmes celle ci n est pas totalement explicite, j en convient.
A mon sens francky1103 a répondu exactement selon moi à ta proposition de question numero 1
La réponse à la proposition numero 3 est 0,63 mais je ne maitrise pas l utilisation des transposition au niveau des permutations. Il me faut me rencarder sur cette théorie
Quant à la proposition numero 2, je  vais y réfléchir et proposer une solution

Merci à tous

En utilisant la formule de Poincaré que je n'écrirai pas, on montre "aisément" que la probabilité qu'une seule personne parmi [latex]n[/latex] retrouve son chapeau du premier coup est:
[TeX]P(n)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}[/TeX]
C'est pas très difficile mais il faut prendre son temps et on abouti au résultat.

Dans notre cas P2 = 0.3678794...

EDIT : De manière générale la formule donnée sur wiki donne la probabilité que k personnes retrouvent leur chapeau du premier coup.

@shadock #9

La formule que tu donnes est la probabilité qu'aucun ne récupère son chapeau, mais la différence est minime, et n'apparaît que sur la 7ème décimale.

Voici mes résultats complets, calculés de deux façons différentes.

On passe en revue toutes les permutations
    0 => 16481/44800 0.367879464286    1334961
    1 => 16687/45360 0.367879188713    1334960
    2 => 2119/11520  0.183940972222     667485
    3 => 103/1680    0.0613095238095    222480
    4 => 53/3456     0.0153356481481     55650
    5 => 11/3600     0.00305555555556    11088
    6 => 1/1920      0.000520833333333    1890
    7 => 1/15120     6.61375661376e-05     240
    8 => 1/80640     1.24007936508e-05      45
    9 => 0           0.0                     0
   10 => 1/3628800   2.7557319224e-07        1
Total => 1           1.0               3628800
  >=1 => 28319/44800 0.632120535714    2293839

Utilisation de la formule : (1/k!)somme_pour_0<=j<=N-k((-1)**j/(j!))
    0 => 16481/44800 0.367879464286   
    1 => 16687/45360 0.367879188713     P2
    2 => 2119/11520  0.183940972222   
    3 => 103/1680    0.0613095238095  
    4 => 53/3456     0.0153356481481  
    5 => 11/3600     0.00305555555556 
    6 => 1/1920      0.000520833333333
    7 => 1/15120     6.61375661376e-05
    8 => 1/80640     1.24007936508e-05
    9 => 0           0.0              
   10 => 1/3628800   2.7557319224e-07 
Total => 1           1.0              
  >=1 => 28319/44800 0.632120535714     P3

La probabilité que chacun parte avec un mauvais chapeau n'est d'ailleurs pas strictement décroissante: P(2k-1)<P(2k), cela n'est pas intuitif a priori