Belle analyse Dhrm77.
Et encore, j'aurais pu demander 10 000 zéros ou plus...
Sans arithmétique donc, pas moyen de trouver ces résultats.
Voici une solution qui permet de placer des zéros vers la fin, à droite, de la puissance de 2. Cerise sur le gâteau, cette solution dit aussi quelle est exactement cette puissance de 2. On peut aussi, autre méthode comme l'a évoquée Gwen, cumuler les zéros au début de la puissance de 2, au moyen du logarithme (mais ce n'est pas le seul accés). En fait, on peut facilement trouver une puissance de 2 qui commence par n'importe quelle suite de nombres donnée, et donc bien sûr 10000...si on veut.
Bonne lecture et merci à tous pour votre participation.
On peut commencer par prouver, sans faire de calcul, qu'il existe une puissance de 2 avec 2 zéros consécutifs. La généralisation se fera naturellement.
Cherchons d'abord les 3 derniers chiffres des puissances de 2 :
002
004
008
016
032
064
128
256
512
024
024 pour 1024. Observons que 1000 est multiple de 8 (et plus généralement 10^n est multiple de 2^n). Donc chaque fois qu'on limite la puissance de 2 en ôtant 1000 au résultat, le résultat est forcément lui même multiple de 8. Car la soustraction de 2 nombres qui sont tous les 2 au moins multiples de 8 est multiple 8. Donc tous les nombres à 3 chiffres de la liste sont multiples de 8 à partir de 8. Comme la liste des multiples de 8 < 1000 est limitée, cette liste est finie, elle se rebouclera sur elle même.
Peut on, pour un nombre donné de cette liste, trouver l'antécédent ?
L'antécédent de 024 est soit 012 soit 512. mais 012 n'est pas multiple de 8, 512 l'est. L'antécédent de 024 est donc 512. Et il en va de même pour tous les nombres de la liste: La parité du 1er chiffre à gauche décide du sort du nombre modulo 8. On prend soit la moitié entière du chiffre, soit la moitié entière + 5.
Puisque chaque nombre de la liste n'a qu'un seul antécédent multiple de 8, alors 008 fait forcément partie de la liste. En effet, si la liste se rebouclait sans le 008, cela signifierait qu'il existe un nombre de la liste, multiple de 8, avec 2 antécédents multiples de 8, ce qui est impossible, comme montré juste avant. Donc l'entrée dans la boucle se fait 004, qui n'est pas multiple de 8, et c'est le seul accés possible à la boucle.
Il existe donc une puissance de 2 qui finit par 008, et donc qui a 2 zéros consécutifs.
De même, il existe une puissance de 2, supérieure à 0016, et qui finit pas 0016
Plus généralement, il existe une puissance de 2, supérieure à 2^n, qui finit par des zéros puis 2^n. Plus rigoureusement, il existe une puissance de 2, > 2^n qui s'écrit sous la forme k*10^n + 2^n.
Ce qui implique qu'on peut obtenir autant de zéros consécutifs qu'on veut dans une puissance de 2, pourvu qu'on prenne un n suffisamment grand.
Grace à Fermat et Euler, on peut même dire où se trouve cette puissance de 2.
Il existe un thèorème qui dit que a ^ phi(n) = 1 modulo n, si a premier avec n. phi(n) est l'indicatrice d' Euler, elle calcule le nombre de nombres premiers avec n compris entre 1 et n-1. Pour 5 ^ b, phi(n) vaut 4 * 5 ^ (b-1).
Cependant, cette formule ne convient pas directement pour le cas des puissances de 2 modulo une puissance de 10, car 2 n'est pas premier avec 10. Mais on peut s'en arranger en observant que 2^a modulo 10^n équivaut exactement à, pour tout a >= n, à 2^(a-n) modulo 5 ^ n (on divise par 2 ^ n ). Dans la liste du début, on peut diviser toutes les valeurs à partir de 8 par 8, et limiter toutes les puissances de 2 à 125 au lieu de 1000. Le 008 modulo 1000 correspond exactement au 1 modulo 125, le 016 à 2, le 032 à 4, le 024 à 3, etc...
On peut alors prévoir où se trouve les puissances de 2 avec des zéros consécutifs: 2 ^ ( n + 4 * 5 ^ (n-1))
En passant par les log, on peut estimer qu'on peut obtenir m zéros consécutifs avec n = m / 0.7.
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