Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #26 - 17-08-2016 08:05:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

des zéros, oyi mais...

gwen27 a écrit:

On peut trouver une puissance de 2 qui commence par n'importe quel nombre.

Pour un nombre N à k chiffres, il suffit que :

N 10^k' < 2^m < (N+1) 10^k' avec k'>k

Avec les logarithmes :

log (N) + k' < m log (2) < log(N+1) + k'
Je ne sais pas le prouver , mais je pense qu'avec m et k' suffisamment grands, ça doit toujours être possible.

Gwen, c'est bien la piste, mais il faut le prouver. Il te faut juste renoncer au logarithme, et fabriquer des outils adéquates simples avec des puissances de 2.

NB: ça marche non seulement avec les puissances de 2, mais avec n'importe quelles puissances.

#0 Pub

 #27 - 17-08-2016 08:13:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Des zéros, ui mais...

Non, ça marche avec le logarithme car dans ce cas , N peut tout simplement être une puissance de 10. Cela revient donc à trouver m tel que m log(2) soit aussi proche que l'on veut d'un nombre entier plus grand que k+x (le nombre de zéros).

C'est toujours possible car log(2) est irrationnel.

 #28 - 17-08-2016 08:51:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Des zéros, ooui mais...

Peux tu faire une réponse complète, Gwen, s'il te plait ?

 #29 - 18-08-2016 04:19:32

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Des zéros, oui mas...

nodgim a écrit:

Oui Francky, mais OEIS trouvera t'il une puissance de 2 avec 1000 zéros consécutifs ?

OEIS est une collabaration entre toutes personne qui le souhaite... Considerant qu'il a fallu 6 mois de calculs pour trouver 18 zeros de suite.. il faudra probablement une éternité pour en trouver 1000 par les moyens courants.
En fait il faut en moyenne 3.23 plus de temps pour trouver le nombre suivant....Donc pour en trouver 1000 on peut estimer qu'il faudra 1.7730280531e+500 années de calculs...
L'univers sera probablement revenu au stade du Bing-colapse avant que ca n'arrive.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #30 - 18-08-2016 08:46:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

es zéros, oui mais...

Belle analyse Dhrm77.
Et encore, j'aurais pu demander 10 000 zéros ou plus...
Sans arithmétique donc, pas moyen de trouver ces résultats.

Voici une solution qui permet de placer des zéros vers la fin, à droite, de la puissance de 2. Cerise sur le gâteau, cette solution dit aussi quelle est exactement cette puissance de 2. On peut aussi, autre méthode comme l'a évoquée Gwen, cumuler les zéros au début de la puissance de 2, au moyen du logarithme (mais ce n'est pas le seul accés). En fait, on peut facilement trouver une puissance de 2 qui commence par n'importe quelle suite de nombres donnée, et donc bien sûr 10000...si on veut.

Bonne lecture et merci à tous pour votre participation. 

On peut commencer par prouver, sans faire de calcul, qu'il existe une puissance de 2 avec 2 zéros consécutifs. La généralisation se fera naturellement.
Cherchons d'abord les 3 derniers chiffres des puissances de 2 :
002
004
008
016
032
064
128
256
512
024

024 pour 1024. Observons que 1000 est multiple de 8 (et plus généralement 10^n est multiple de 2^n). Donc chaque fois qu'on limite la puissance de 2 en ôtant 1000 au résultat, le résultat est forcément lui même multiple de 8. Car la soustraction de 2 nombres qui sont tous les 2 au moins multiples de 8 est multiple 8. Donc tous les nombres à 3 chiffres de la liste sont multiples de 8 à partir de 8. Comme la liste des multiples de 8 < 1000 est limitée, cette liste est finie, elle se rebouclera sur elle même.

Peut on, pour un nombre donné de cette liste, trouver l'antécédent ?
L'antécédent de 024 est soit 012 soit 512. mais 012 n'est pas multiple de 8, 512 l'est. L'antécédent de 024 est donc 512. Et il en va de même pour tous les nombres de la liste: La parité du 1er chiffre à gauche décide du sort du nombre modulo 8. On prend soit la moitié entière du chiffre, soit la moitié entière + 5. 
Puisque chaque nombre de la liste n'a qu'un seul antécédent multiple de 8, alors 008 fait forcément partie de la liste. En effet, si la liste se rebouclait sans le 008, cela signifierait qu'il existe un nombre de la liste, multiple de 8, avec 2 antécédents multiples de 8, ce qui est impossible, comme montré juste avant. Donc l'entrée dans la boucle se fait 004, qui n'est pas multiple de 8, et c'est le seul accés possible à la boucle.
Il existe donc une puissance de 2 qui finit par 008, et donc qui a 2 zéros consécutifs.

De même, il existe une puissance de 2, supérieure à 0016, et qui finit pas 0016
Plus généralement, il existe une puissance de 2, supérieure à 2^n, qui finit par des zéros puis 2^n. Plus rigoureusement, il existe une puissance de 2, > 2^n qui s'écrit sous la forme k*10^n + 2^n.
Ce qui implique qu'on peut obtenir autant de zéros consécutifs qu'on veut dans une puissance de 2, pourvu qu'on prenne un n suffisamment grand. 

Grace à Fermat et Euler, on peut même dire où se trouve cette puissance de 2.

Il existe un thèorème qui dit que a ^ phi(n) = 1 modulo n, si a premier avec n. phi(n) est l'indicatrice d' Euler, elle calcule le nombre de nombres premiers avec n compris entre 1 et n-1. Pour 5 ^ b, phi(n) vaut 4 * 5 ^ (b-1).
Cependant, cette formule ne convient pas directement pour le cas des puissances de 2 modulo une puissance de 10, car 2 n'est pas premier avec 10. Mais on peut s'en arranger en observant que 2^a modulo 10^n équivaut exactement à, pour tout a >= n, à 2^(a-n) modulo 5 ^ n (on divise par 2 ^ n ). Dans la liste du début, on peut diviser toutes les valeurs à partir de 8 par 8, et limiter toutes les puissances de 2 à 125 au lieu de 1000. Le 008 modulo 1000 correspond exactement au 1 modulo 125, le 016 à 2, le 032 à 4, le 024 à 3, etc...

On peut alors prévoir où se trouve les puissances de 2 avec des zéros consécutifs: 2 ^ ( n + 4 * 5 ^ (n-1))

En passant par les log, on peut estimer qu'on peut obtenir m zéros consécutifs avec n = m / 0.7.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
02-07-2013 Enigmes Mathématiques
01-09-2013 Enigmes Mathématiques
08-02-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Combien de zéros? par papiauche
01-09-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 99 par Vasimolo
13-06-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Poker tricks : le shuffle par L00ping007
31-01-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Le jeu du 1 par Yannek
21-11-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Problème zoologique par vercingetorix
15-02-2008 Enigmes Mathématiques
31-08-2010 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete