Enigme Mathématiques pour les nuls 28 (Somme des motifs d'un nombre) @ Prise2Tete

shadock · #1

Bonjour tout le monde !

Définition : On appelle motif d'un nombre N (ne commençant pas par 0) et ayant n>1 chiffres, tous les nombres lu de gauche à droite (dans N) ayant au maximum n-1 chiffres.

Ex : Si N=1203, alors l'ensemble M de ses motifs est M={1,2,0,3,12,20,03,120,203}. Le cardinal de cet ensemble est noté m.

Attention : On ne peut pas lire le nombre de manière cyclique. Par exemple 312 n'est pas un motif de 1203.

On notera [latex]\sigma[/latex] la notation "motif de". On cherche donc à déterminer ici de manière générale
[TeX]\sum_{i=1}^m \sigma_i(N)[/TeX]
La case réponse valide le résultat de la somme des motifs de 123456789.

NB :
* En étant méthodique on réalise la somme des motifs d'un nombre de 20 chiffres à la main en moins de dix minutes.
* Vous pouvez aussi chercher la formule générale pour calculer cette somme. Je suis curieux de voir la mise en forme des formules que vous pourrirez trouver. La mienne est délicate à démontrer pour un nombre "n" de chiffres. Mais je l'ai vérifié à la main jusqu'à l'ordre 9, et je n'ai pas trop d'idée de code en Python ou autre. S'il y en a qui on une idée on pourrait vérifier la formule à plus grande échelle.

Bon courage !

PS : Cette énigme n'est pas bêta-testée

Spirou · #2

Pour le code python je dirais:

Code:

def trouveSommeMotif(nb):
    nombre = str(nb)
    somme = 0
    nombreDeLettre = len(nombre)
    for nombre2 in range(nombreDeLettre):
        for nombre3 in range(nombreDeLettre-nombre2):
            somme+=int(nombre[nombre3:nombre3+nombre2+1])
    print(somme-nb)

J'ai vérifié avec quelques nombres et ca a l'air de marché.
Par contre sans le programme je n'ai pas encore trouvé comment faire pour calculer la somme de tous les motif d'un nombre. Je continu de chercher...

Spirou

caduk · #3

Bonjour,
Pour le calcul de la somme des motifs de 123456789, je procède de la manière suivante:
45+36*11+8+28*111+12*7+21*1111+123*6+15*11111+1234*5+10*111111+12345*4+6*1111111+123456*3+3*11111111+1234567*2 = 44200536

ce qui nous donne la formule: [latex]\sum \limits_{i=2}^{n} \left[\dfrac{i(i+1)}{2}\times \dfrac{10^{n-i+1}-1}{9}+n\sum \limits_{j=1}^{n-i+1}j\times 10^{n-i-j+1}\right][/latex]
Cette formule vient des différentes suites arithmétiques observée pour chaque taille de motif...

Edit: La formule générale:
n est le nombre, j est la taille du motif, i est l'index du motif
[TeX]\sum \limits_{j=1}^{n-1}\sum \limits_{i=0}^{n-j+1}\lfloor\dfrac{n}{10^i}\rfloor-\lfloor\dfrac{n}{10^{i+j}}\rfloor\times10^{j}[/TeX]
Edit:
Il y a en fait beaucoup plus simple:
Si [latex]n = i_{t-1}i_{t-2}...i_0[/latex] alors on obtient:
[TeX]\sum_{k=0}^{t-1} \left[(t-k+1)\dfrac{10^{t-k+1}-1}{9}i_k\right]-n[/TeX]

enigmatus · #4

Bonsoir,
Voici le code en python qui calcule la somme des motifs (fournir le nombre N en argument). Le résultat est 364 pour 1203 et valide la case réponse pour 123456789.

Code:

import sys
N=sys.argv[1]

n=len(N)
som=0
for l in range(1,n):
   for k in range(n-l+1):
      som+=int(N[k:k+l])
print(som)

Sydre · #5

Salut,

La réponse à la question initiale est [latex]44200536[/latex]

Concernant la formule générale, j'ai réussi à démontrer l'expression suivante pour un nombre [latex]n[/latex] en base 10 :
[TeX]\sum_{i=1}^{\lfloor \mathbb{log}_{10}(n) \rfloor +1}\sum_{j=1}^i \lfloor \{\frac{n}{10^i}\}10^j \rfloor - n[/TeX]
Avec [latex]\lfloor \cdot \rfloor[/latex] la fonction partie entière et [latex]\{ \cdot \}[/latex] la fonction partie fractionnaire.

Un problème intéressant

nobodydy · #6

Salut

Je valide la case réponse 44200536
pour le reste ....

nodgim · #7

Il y a plusieurs présentations possibles de cette formule, selon les goûts de chacun. Voici celle que je préfère:

Si le nombre s'écrit abcde.... et comporte n chiffres, alors la somme des motifs vaut :
((a+2b)*10^(n-1) + 3c*10^(n-2) + 4d*10^(n-3)+....-(a+2b+3c+4d+...))/9 - le nombre bcde...

Pour le nombre 123456789, la somme demandée vaut 44200536.

enigmatus · #8

Autre façon de calculer, par exemple avec 1203 et 123456789

Code:

  1 × 1111 = + 1111
  2 ×  222 = +  444
  3 ×   00 = +    0
  4 ×    3 = +   12
             - 1203
     Total =    364

  1 × 111111111 = + 111111111
  2 ×  22222222 = +  44444444
  3 ×   3333333 = +   9999999
  4 ×    444444 = +   1777776
  5 ×     55555 = +    277775
  6 ×      6666 = +     39996
  7 ×       777 = +      5439
  8 ×        88 = +       704
  9 ×         9 = +        81
                  - 123456789
          Total =    44200536

Voici le script python :

Code:

import sys
N=sys.argv[1]

n=len(N)
m=s=0
print('N=%s'%N)
for l in range(1,n):
   for k in range(n-l+1):
      m+=1
      s+=int(N[k:k+l])
      print("%8d %*s"%(m,n,N[k:k+l]))
print('%6s = %*d'%('Total',n,s))
print('')

s=0
print('N=%s'%N)
for k in range(n):
   repet=N[k]*(n-k)
   ds=(k+1)*int(repet)
   s+=ds
   print('%3d x %*s = + %*d'%(k+1,n,repet,n,ds))
s-=int(N)
print('%*s- %*s'%(n+9,'',n,N))
print('%*s = %*d'%(n+6,'Total',n+2,s))

Édité :
Regroupement des 2 méthodes de calcul dans le même script.

Ebichu · #9

Si on note c1, c2,... cn les chiffres du nombre N, j'obtiens la formule :
[TeX]\left(\sum_{k=1}^n k.c_k.\frac{10^{n+1-k}-1}{9}\right)-N[/TeX]
Ce qui permet d'obtenir rapidement la réponse (44 200 536) avec un tableur.

geolle · #10

Bonjour suite logique : 1-2, 3-5, 5-4, 6-3, 9...?
un-deux, trois-cinq, cinq-quatre, six-trois, Neuf-?

shadock · #11

Bon alors on a tous le même résultat mais pas la même représentation de la formule. La mienne est un peu compliquée à vrai dire et je ne sais pas quelle tête elle aurait pour des nombres de plus de dix chiffres.

Merci à Enigmatus pour ses jolis programmes !

masab · #12

La somme des motifs de 123456789 est 44200536 .

On appelle motif une sous-chaîne de "123456789".
Posons
ch = "123456789"
ch1 = "12345678"
ch2 = "23456789"

On a la formule de récurrence entre ENSEMBLES :

motifs (ch) = {ch1, ch2} union motifs(ch1) union motifs(ch2)

En prenant des chaînes, on distingue ainsi "3" et "03",
alors que 3 = 03 en tant que nombres !

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