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 #1 - 22-12-2010 17:16:46

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

esuation avec une somme

Au concours général de mathématiques en 1999, le deuxième exercice était le suivant :

Résolvez dans [latex]\mathbb{N}[/latex] l'équation en n :
[TeX] (n+3)^n = \sum_{k=3}^{n+2} k^n[/TeX]
Bonne résolution smile
Pour la case réponse, si vous trouvez plusieurs réponses ayez soin de les séparer par une vigule : a,b ou a,b,c etc ....



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Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 22-12-2010 18:00:08

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Equation avec une sommme

Les réponses sont 2 et 3.
Pour n supérieur, le membre de gauche est toujours supérieur au membre de droite de sorte qu'il n'y a pas d'autre solution.

 #3 - 22-12-2010 18:52:57

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Equation avec unne somme

Il n'y a que 2 et 3 comme solutions.
Si on appelle [latex]S_n[/latex] la somme, [latex]T_n=\dfrac{S_n}{(n+3)^n}[/latex] semble être décroissante. [latex]T_2\text{ et }T_3[/latex] valent 1 ce qui nous donne nos 2 solutions et ensuite comme la suite semble décroissante on ne peut plus avoir de solutions.

Je n'arrive pas encore à montrer cette décroissance, ni une majoration.
J'encadre avec des intégrales mais ça ne donne rien de probant.

Je continue...

 #4 - 22-12-2010 21:55:12

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Equation aec une somme

Pour [latex]n=3[/latex], l'équation est vérifiée...
[TeX]3$ (3+3)^3 = \sum_{k=3}^{5} k^3 \Leftrightarrow 6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 \Leftrightarrow 216 = 216[/TeX]

 #5 - 22-12-2010 22:11:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Eqution avec une somme

[TeX](n+3)^n = \sum_{k=3}^{n+2} k^n[/TeX]
Elle est jolie, tiens... Déjà, ça ne marche pas pour [latex]n=0[/latex] ([latex]1=0[/latex]), ou [latex]n=1[/latex] ([latex]4=3[/latex]), mais elle est vérifiée pour [latex]n=2[/latex] ([latex]25=25[/latex], soit [latex]5^2=3^2+4^2[/latex]) et pour [latex]n=3[/latex] ([latex]216=216[/latex] soit [latex]6^3=3^3+4^3+5^3[/latex]).

Je pense que, pour tout n plus grand, on aura [latex](n+3)^n > \sum_{k=3}^{n+2} k^n[/latex], sans avoir aucune preuve, et encore moins d'idée pour prouver quoi que ce soit...

La case réponse me confirme en tout cas qu'aucune autre solution n'existe.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 22-12-2010 22:37:20

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Equatoin avec une somme

Pour moi, la seule solution est 2... mais la case réponse me contredit.
J'attends avec impatience la réponse...

Ok j'ai déconné sur n=3... lamentable.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #7 - 22-12-2010 22:59:27

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

equation avec une spmme

Je sais que c'est pas beau, mais c'est bluffant à chaque fois de voir comment on peut maintenant avec les outils du Web savoir sans réfléchir:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … n%2B2}+k^n

Ce qui me permet de répondre en sifflotant 2 et 3.

Et de saluer une nouvelle fois la devise d'O. Wilde que je trimballe en signature depuis des lustres...


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #8 - 23-12-2010 19:13:27

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Equation avec une osmme

Bon allé un peu d'aide smile :

Spoiler : indice 1 Ce n'est pas un problème récurrent, mais le problème se résume en partie à ça, remarquez ensuite que :
Spoiler : indice 2 [latex]f(x)=(x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})[/latex] est dérivable sur, je vous laisse trouver...


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 23-12-2010 21:49:30

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Equation avec unee somme

pour n>3,
[TeX]\sum_{k=3}^{n+2}k^n\leq 3^n+(n-3)(n+2)^n\leq 3^n+(n+2)^n[/TeX]
donc
[TeX]\frac{\sum_{k=3}^{n+2}k^n}{(n+3)^n}\leq \left(\frac 3{n+3}\right)^n+\left(\frac{n+2}{n+3}\right )^n\leq \frac{81}{2401}+\frac{1296}{2401}<1[/TeX]
On a majoré le second membre par sa valeur pour n=4 : c'est le terme général d'une suite strictement décroissante (les deux termes élévés à la puissance n sont décroissants et compris entre 0 et 1).

donc il n'y a pas de soution au dela de 3. On vérifie par le calcul que 2 et 3 conviennent, et pas 1.

 #10 - 26-12-2010 17:09:10

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Equation avec une some

Bravo à Yannek qui as réussit à trouver.smile
Papiauche, merci à toi mais dans ce cas il est préférable de dire : D'après ce site, il est indubitable que : les seules solutions sont 2 et 3 lol

Bon allé voici une solution complète : (je ne sais pas faire le supérieur ou égal donc au lieu d'avoir p >= 5 j'ai simplement laissé > )

Pour [latex]n = 2[/latex] et [latex]n = 3[/latex] l’égalité est vérifiée, mais pas pour [latex]n = 1[/latex].
On remarque que pour [latex]n = 4[/latex] et [latex]n = 5[/latex] , on a: [latex](n+3)^n > 3^n + 4^n +... + (n+2)^n[/latex].

Hypothèse de récurrence [latex] P(p)[/latex] : [latex] 3^p +...+ (p+2)^p < (p+3)^p[/latex], où [latex]p > 5[/latex].

Démontrons alors que cette propriété reste vraie au rang p+1 c-a-d que :
[TeX]P(p+1)[/latex] : [latex] 3^{p+1} + 4^{p+1} +...+ (p+3)^{p+1} < (p+4)^{p+1}[/latex].

Supposons que pour un certain entier [latex] p>5 [/latex] : [latex]3^p+...+(p+2)^p < (p+3)^p[/TeX]
On a en ajoutant [latex](p+3)^p[/latex] à chaque membre:
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+...+ (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p[/TeX]
Ecrivons alors la suite de [latex](p+3)[/latex] inégalités suivantes:
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 ( p+3)^p [/TeX]
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]........ 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]................... 5^p+...+(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]................................(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]................................................(p+3)^p <2 (p +3)^p[/TeX]
En ajoutant toutes ces inégalités (il y a [latex](p+3)[/latex] lignes et chaque terme [latex]k^p[/latex] est présent exactement k fois!)
on obtient :      [latex] 3^{p+1} + 4^{p+1} +...+ (p+3)^{p+1} < 2 (p+3)^{p+1}[/latex]

il y a plus qu’à montrer que [latex]2 (p+3)^{p+1} < (p+4)p^{p+1}[/latex] pour [latex]p>4[/latex], ce qui est équivalent à
[TeX]2<[(p+4)/(p+3)]^{p+1} (car (p+3)^{p+1} >0 )[/TeX]
OR! :

La fonction [latex]f(x)=(x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})[/latex] est dérivable sur sur [5 ; +oo[
On s’intéresse seulement à cet intervalle car p entier > 5 .
[TeX]f'(x)=ln(x+4)-ln(x+3)-\frac{x+1}{(x+3)(x+4)}[/TeX]
et
[TeX]f''(x)=-\frac{x^2-2x+6}{((x+3)(x+4))^2}[/TeX]
Donc [latex]f''(x) < 0[/latex] pour [latex]x > 5[/latex] et [latex]f'(x)[/latex] est décroissante sur [5 ; +oo[.
Sa limite en +oo est = 0+.  Donc [latex]f'(x) >0[/latex].
Donc [latex]f[/latex] est alors croissante sur [5; +oo[ et 5 est le minmum de [latex]f[/latex] sur [5, +oo[.
Or ; [latex]ln(2) < f(5)[/latex] (faire un calcul machine!) donc [latex]ln(2) < f(x)[/latex] pour tout [latex]x > 5[/latex] .
D'où sur [5 ; +oo[ , [latex]ln(2) < (x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})[/latex]

Donc [latex]2 < (\frac{x+4}{x+3})^{x+1}[/latex] d'où [latex]2(x+3)^{x+1} < (x+4)^{x+1}[/latex].

Pour tout p > 5 , si la propriété P(p) est héréditaire.
P(5) est vraie, donc elle est vraie pour tout p > 5 .

CONCLUSION FINALE :
Les seules entiers [latex]n[/latex] vérifiant [latex](n+3)^n = \sum_{k=3}^{n+2} k^n[/latex] sont 2 et 3

Je ne maîtrise pas encore parfaitement les balises latex, si ça peut vous soulager ce n'est pas moi qui est fait cette démonstration mais c'est plus jolie quand c'est bien présenté!! cool

Et à plus pour de nouvelles aventures wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 26-12-2010 18:45:51

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Equationn avec une somme

Ouah. Ca pique, mais c'est beau lol


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 #12 - 26-12-2010 21:33:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

Equation avec une somem

Ouai et encore là c'est compréhensible, parce que j'ai vu certaines corrections d'autres exercices du concours général benh ça fait vraiment très peur; pour imager c'est un peu comme mon orthographe lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 27-12-2010 13:11:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

equation avzc une somme

Ton orthographe va de mieux en mieux ; précise "c'est un peu comme mon orthographe quand je suis arrivé sur P2T" lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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