Les réponses sont 2 et 3.
Pour n supérieur, le membre de gauche est toujours supérieur au membre de droite de sorte qu'il n'y a pas d'autre solution.

Pour $n=3$, l'équation est vérifiée...
$$3$ (3+3)^3 = \sum_{k=3}^{5} k^3 \Leftrightarrow 6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 \Leftrightarrow 216 = 216$$

Pour moi, la seule solution est 2... mais la case réponse me contredit.
J'attends avec impatience la réponse...

Ok j'ai déconné sur n=3... lamentable.

Bon allé un peu d'aide :

Spoiler : indice 1 Ce n'est pas un problème récurrent, mais le problème se résume en partie à ça, remarquez ensuite que :
Spoiler : indice 2 $f(x)=(x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})$ est dérivable sur, je vous laisse trouver...

Bravo à Yannek qui as réussit à trouver.
Papiauche, merci à toi mais dans ce cas il est préférable de dire : D'après ce site, il est indubitable que : les seules solutions sont 2 et 3

Bon allé voici une solution complète : (je ne sais pas faire le supérieur ou égal donc au lieu d'avoir p >= 5 j'ai simplement laissé > )

Pour $n = 2$ et $n = 3$ l’égalité est vérifiée, mais pas pour $n = 1$.
On remarque que pour $n = 4$ et $n = 5$ , on a: $(n+3)^n > 3^n + 4^n +... + (n+2)^n$.

Hypothèse de récurrence $P(p)$ : $3^p +...+ (p+2)^p < (p+3)^p$, où $p > 5$.

Démontrons alors que cette propriété reste vraie au rang p+1 c-a-d que :
$$P(p+1)[/latex] : [latex] 3^{p+1} + 4^{p+1} +...+ (p+3)^{p+1} < (p+4)^{p+1}[/latex]. Supposons que pour un certain entier [latex] p>5 [/latex] : [latex]3^p+...+(p+2)^p < (p+3)^p$$
On a en ajoutant $(p+3)^p$ à chaque membre:
$$3^p + 4^p + 5^p+...+ (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p$$
Ecrivons alors la suite de $(p+3)$ inégalités suivantes:
$$3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 ( p+3)^p$$
$$3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p$$
$$3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p$$
$$........ 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p$$
$$................... 5^p+...+(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p$$
$$................................(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p$$
$$................................................(p+3)^p <2 (p +3)^p$$
En ajoutant toutes ces inégalités (il y a $(p+3)$ lignes et chaque terme $k^p$ est présent exactement k fois!)
on obtient :      $3^{p+1} + 4^{p+1} +...+ (p+3)^{p+1} < 2 (p+3)^{p+1}$

il y a plus qu’à montrer que $2 (p+3)^{p+1} < (p+4)p^{p+1}$ pour $p>4$, ce qui est équivalent à
$$2<[(p+4)/(p+3)]^{p+1} (car (p+3)^{p+1} >0 )$$
OR! :

La fonction $f(x)=(x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})$ est dérivable sur sur [5 ; +oo[
On s’intéresse seulement à cet intervalle car p entier > 5 .
$$f'(x)=ln(x+4)-ln(x+3)-\frac{x+1}{(x+3)(x+4)}$$
et
$$f''(x)=-\frac{x^2-2x+6}{((x+3)(x+4))^2}$$
Donc $f''(x) < 0$ pour $x > 5$ et $f'(x)$ est décroissante sur [5 ; +oo[.
Sa limite en +oo est = 0+.  Donc $f'(x) >0$.
Donc $f$ est alors croissante sur [5; +oo[ et 5 est le minmum de $f$ sur [5, +oo[.
Or ; $ln(2) < f(5)$ (faire un calcul machine!) donc $ln(2) < f(x)$ pour tout $x > 5$ .
D'où sur [5 ; +oo[ , $ln(2) < (x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})$

Donc $2 < (\frac{x+4}{x+3})^{x+1}$ d'où $2(x+3)^{x+1} < (x+4)^{x+1}$.

Pour tout p > 5 , si la propriété P(p) est héréditaire.
P(5) est vraie, donc elle est vraie pour tout p > 5 .

CONCLUSION FINALE :
Les seules entiers $n$ vérifiant $(n+3)^n = \sum_{k=3}^{n+2} k^n$ sont 2 et 3

Je ne maîtrise pas encore parfaitement les balises latex, si ça peut vous soulager ce n'est pas moi qui est fait cette démonstration mais c'est plus jolie quand c'est bien présenté!!

Et à plus pour de nouvelles aventures

Ouai et encore là c'est compréhensible, parce que j'ai vu certaines corrections d'autres exercices du concours général benh ça fait vraiment très peur; pour imager c'est un peu comme mon orthographe