Enigmes

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 #1 - 19-12-2016 11:07:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Nmobre parfait

Bonjour à tous.

Un nombre parfait n est un nombre qui est égal à la somme Sn de ses diviseurs (excepté le diviseur n). Sn/n = 1.

On ne connait aujourd'hui que des nombres parfaits pairs ( 6 par exemple).

On peut cependant trouver des nombres impairs dont Sn/n est aussi proche qu'on veut de 1.

Sauriez vous construire efficacement de tels nombres ?
J'en connais un par exemple pour lequel Sn / n = 0,9999999844...

Pouvez vous dire mieux ?

Bonne recherche.



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 #2 - 19-12-2016 14:45:59

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Nombre parfati

Si je comprends bien, on cherche des nombres "presque" parfaits...
Parce que, sinon, il n'y a pas plus proche de 1 que 1 lui-même, et les nombres parfaits, on les connait.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 19-12-2016 15:35:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

nomvre parfait

Oui, Dhrm, on connait une série de nombres parfaits, qui obéissent à une règle bien définie, et facile à montrer. En revanche, on ne connait pas de nombres parfaits qui échappent à cette règle, dont les entiers impairs.

D'où la question qui porte sur les entiers impairs.

 #4 - 19-12-2016 20:18:02

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Nombre parfaitt

Je propose
xxxx

[me suis bidonné lorsque j'ai relu ce que j'avais écrit
...
effectivement je proposais des nombres pairs.

J'y retourne...]


[bon tout ]


Du fagot des Nombreux

 #5 - 19-12-2016 22:07:11

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 453

Nobre parfait

J'ai l'impression que tu as proposé : 3*5*7*11*389*29959=13460428905.

Je réponds en retour : 3*5*7*11*389*29959*128194589=1725554151240195045 qui donne environ 0,999999999999996.

Expliquons l'idée sur un exemple plus petit. On part de n=3*5*7*11=1155, pour lequel S1155=1149 (on a donc (S1155/1155)<1 mais proche de 1).

On pose ensuite N=1155*p, où p est un nombre premier. Les diviseurs de N sont les diviseurs de 1155, ainsi que les nombres de la forme d*p où d est un diviseur de 1155. SN vaut donc 1149+1155+1149*p.

Puisqu'on veut que SN/N soit <1 mais proche de 1, il faut que 1155*p-(1149+1155+1149*p) soit >0 mais proche de 0. Ainsi, on choisit pour p le plus petit nombre premier supérieur à (1155+1149)/(1155-1149), c'est-à-dire 389.

 #6 - 20-12-2016 08:44:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Nombre pafrait

@ Aunryz : Je demandais plutôt un entier impair. Pour les entiers pairs que tu donnes, je doute de la véracité de tes résultats (à vrai dire je suis sûr qu'il sont faux).

Même si tu trouves un nombre meilleur que le mien, je répondrais immédiatement par un autre encore plus proche de 1. Donc, tu l'as compris, il faut chercher à comprendre la construction d'un tel nombre. Évidemment, ça passe par la décomposition en facteurs premiers.

@ Ebichu: apparemment, tu as suivi la même démarche que la mienne, aussi es tu arrivé à deviner mon nombre et à y trouver une suite. Bravo !

 #7 - 20-12-2016 09:57:43

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,661E+3

nombre patfait

En ajustant un produit de nombres premiers :

3
puis 3*5 = 15 ( 1/3 +1/5 + 1/15 )
puis 3 * 5 * 7 = 105 ( 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/21 + 1/15 + 1/35 + 1/105)

.... sans jamais dépasser la valeur 1 (on peut rajouter une fraction aussi petite que l'on veut et tendre vers 1 )

3*5*7*11 = 1155 (0,9948...)
3*5*7*11*389 = 449295 (0,9999332....)
3 * 5 * 7 * 11 * 389 * 29959 = 13460428905  ( ratio : 0,999999984... )

Le suivant , mon tableur est dépassé big_smile

 #8 - 20-12-2016 10:25:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Nombre parfati

Oui, c'est bien ça Gwen, bravo !
Sans doute pourrais tu trouver un calcul plus rapide pour ces résultats successifs, et justifier la convergence ?

 #9 - 20-12-2016 13:33:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,661E+3

Nombre paarfait

Je ne comprends pas trop cette histoire de convergence... On se rapproche autant qu'on veut par valeur supérieure ou inférieure, ça ne suffit pas ?

 #10 - 20-12-2016 16:45:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

nomvre parfait

@ Gwen : Ce que tu n'expliques pas dans ton message 7, c'est comment tu arrives à choisir un nombre premier suivant qui va te rapprocher de 1 par défaut.
Puisque tu évoques aussi l'approche du 1 par excès, il faudrait donner la méthode, si tu en as une.

 #11 - 20-12-2016 19:49:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,661E+3

Nobmre parfait

Par dichotomie...

En rajoutant un facteur N , on rajoute 1/N + somme des 1/Nm (facteur de chaque multiple précédent)  au ratio.

C'est décroissant. Donc avec N suffisamment grand, on repasse sous le ratio 1. C'est donc borné par 1 et un nombre de plus en plus proche de 1...

En gros, pour dégrossir la recherche de N, il manque 2/N au ratio vu que la somme précédente tendait vers 1.

3*5*7 ratio 87/105  N voisin de 11,6 justement, 11 fonctionne...

3 * 5 * 7 * 11 ratio : 1149/1155 qui mène aux environs de 385 on tombe sur 389

3 * 5 * 7 * 11 *389 ratio 449265/449295 qui donne 29953 on tombe sur 29959

Le suivant devrait se situer très près de 127587003, je mise sur 127587017 ce qui donnerait :
3*5*7*11*389*449295*127587017 = 25 755 480 394 150 624 425

 #12 - 21-12-2016 07:33:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

nombre paefait

@ Gwen: pas encore bien propre, tout ça.

 #13 - 21-12-2016 17:42:51

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Nombe parfait

Pourrais tu ralonger le temps, que ca me donne le temps de chercher...

Merci


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 #14 - 22-12-2016 00:23:11

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 189

Nobmre parfait

Bonjour, soit n un nombre impair, et p un nombre premier n'apparaissant pas dans la décomposition de n.
Soit s la somme des diviseurs de n (excepté n)
le quotient s'écrit s/n
la somme des diviseurs de np est s(1+p) + n
le quotient se réécrit [ s(1+p) + n]/np = (s/n)(1+1/p) + 1/p
En prenant p suffisamment grand, on peut se débrouiller pour que le nouveau nombre soit toujours inférieur à 1. Il est évident que le nouveau nombre est plus grand que le précédent.
On peut donc utiliser un algorithme glouton.
De plus, on sait que la somme des inverses de p, p premier diverge. On pourra donc se rapprocher de 1 grâce à cet algorithme.
Exemple d'exécution:
départ:
n = 3
Q(quotient) = 1/3
p = 5
Q = 1/3(1+1/5) + 1/5 = 9/15
p = 7
Q = 9/15(1+1/7) + 1/7 = 87/105
p = 11
Q = 1149/1155
p = 13
Q = 17241/15015 on prend pas
p = 17 pas bon
p = 19 pas bon
p = 23

On s'aperçoit que tester un à un n'est pas efficace, on cherche Q < 1 soit p > (n+s)/(n-s)

Ici, (n+s)/(n-s) = 384
p = 389
Q = 449265/449295

(n+s)(n-s) = 29952
p = 29959
Q = 13460428695/13460428905 = 0.99999998439871
Yesss...

Juste pour battre nodgim:
(n+s)(n-s) = 128 194 560
p = 128194589
Q = 1725554151240189000/1725554151240195000 = 0.99999999999999652285615279725438554426651711853168259146

(n+s)/(n-s) = 4 962 561 881 437 094 634 624
Euh, j'ai plus de table de nombres premier assez grande là... lol

 #15 - 22-12-2016 08:02:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Nomre parfait

@ Caduk : parfait, rien à dire (est ce que je dis ça parce que tu as fait exactement comme moi ? ). Bravo !

On peut maintenant s'interroger sur la fait qu'on n'a pas trouvé un seul entier impair parfait, et se faire une opinion s'il y a une chance pour qu'il en existe un ou pas.

 #16 - 22-12-2016 19:31:24

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Nobre parfait

(nodgim)
Je t'ai proposé une méthode pour donner des nombres pairs qui satisfont
les conditions que tu donnes (mais qui sont pair (sourire)²)
("parfait" x "grand nombre premier")


tu écris
"Même si tu trouves un nombre meilleur que le mien, je répondrais immédiatement par un autre encore plus proche de 1."

Peux-tu confirmer cet "immédiatement" (c'est à dire  par exemple "moins d'un jour" ) ?

[pas d'internet ces prochains jours - gros travaux - , mais j'essaierai de voir ta réponse]

bon tout (soir, matin, nuit ...)


Du fagot des Nombreux

 #17 - 23-12-2016 08:54:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Nomber parfait

@ Aunryz : Oui, bien sûr, à la seule condition d'avoir une liste de nombres premiers, ou un algo de décomposition en facteurs premiers.

 #18 - 25-12-2016 03:01:11

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Nmbre parfait

(sourire)²
ma question concernait bien ce conditionnel

J'ai une suite (mais à peaufiner)
qui utilise les nombres premiers
et qui permet de générer des "presque parfaits" impair
elle utilise des nombres premiers de grande taille


pour donner un nombre "plus parfait encore"
elle a besoin d'un nombre premier supérieur à celui utilisé
précédemment.

Si la tienne est du même genre
et que l'on utilise le plus grand nombre premier connu
alors
tu ne peux pas immédiatement fournir un nombre "plus parfait" que celui proposé.

c'était le sens de ma question.
...
je n'ai pas tout à fait la réponse (sourire)²

Bonne ... (je vérifie l'heure) .... nuit !
et joyeux Noël
à toi et aux participants de ton défi.


Du fagot des Nombreux

 #19 - 26-12-2016 11:16:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

nombre paefait

Le temps est écoulé maintenant. Pas grand chose à ajouter à ce qui a été écrit, voir par exemple les explications de Caduk.

Juste un petit truc qui ne semble pas avoir été dit :
S(p^k) = 1 + p + p² + ...p^(k-1) = ( p^k - 1 ) / ( p - 1 )

Si a et b sont premiers entre eux, l'opération, qu'on peut symboliser par **, qui donne S(ab), vaut :

S(ab) / ab = S(a) / a ** S(b) / b = (S(a) * S(b) + a * S(b) + b * S(a) ) / ab.

On peut remarquer que S(ab)/ab > max (S(a) ; S(b) )

Donc appliquer l'opération ** plusieurs fois de suite revient à établir une suite strictement croissante. Pour ne pas dépasser 1 , il suffit de choisir un facteur premier p tel que 1/p < (n-Sn) / (n + Sn).

Pour espérer trouver un entier impair parfait, il faut :
(n-Sn) / ( n + Sn) = (p^k-1) / ( p^k ( p - 1 ) )

 

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