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#1 - 10-08-2010 02:57:24
- dhrm77
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A la recherche du calendrier aprfait.
Ce sujet m'a fait me pencher d'un peu plus près sur les divers calendriers.
A une époque une année valait à peu pres 365.242214 jours le calendrier est passé du Julien avec une moyenne de 365.25 jours par an, au Grégorien avec une moyenne de 365.2425 jours par an.
Et on est passé d'une règle simple pour les années bisextiles (tous les 4 ans) à trois règles: - tous les 4 ans - sauf tous les 100 ans - mais aussi tous les 400 ans.
Comme de nos jours l'année tropicale est de 365.24219 jours, le calendrier grégorien a quand même une erreur de .00008487% ou 0.84ppm. S'il on vous donner la tâche de définir un calendrier qui soit à la fois plus précis que le calendrier actuel, et avec seulement 2 règles simples, quelles seraient ces 2 règles?
Spoiler : [Afficher le message] Les règles à trouver donnent un calendrier 124 fois plus précis que le calendrier grégorien
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#2 - 10-08-2010 12:06:25
- franck9525
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A la recherche du caleendrier parfait.
A défaut d’être ultra précise, la solution grégorienne a deux mérites additionnels: une règle relativement facile à appliquer rendant le calcul des années bissextiles aisé. D’autre part, le décalage avec le jour vrai reste minimum.
Comme rappelée dans l’énoncé, la formule donnant la durée d’une année grégorienne est de : 365+1/4-1/100+1/400=365.2425, cette moyenne est réalisée après 400 années. Cette valeur étant légèrement supérieure à une révolution de la terre autour du soleil, le calendrier grégorien diverge inexorablement: 1 jour tous les 1667 ans.
En appliquant cette règle, l’écart maximum avec la date vraie (i.e. : hauteur du soleil dans le ciel) est de 1.1 jour avec un écart-type de 0.43 jour. Les solcistes et équinoxes se produisent à des dates quasi-fixes.
Il est possible de proposer une année calendaire d’une durée moyenne plus proche de l’année céleste ; dans un tel cas, le calendrier nouveau diverge toujours mais plus lentement. Cependant le décalage potentiel entre date écrite et date vraie augmente ainsi que l’écart-type. Le tableau ci-dessous résume trois alternatives calendaires.
calendrier Grégoire alternative 1 alternative 2 alternative 3 Règles +1j / 4 ans +2j / 7ans +2j / 9ans +4j / 17ans -1j / 100ans -1j / 23ans +1j / 5ans +1j / 145ans +1j / 400ans
moyenne 365.2425 365.24224 365.24222 365.24219 max delta +/-1.1 jour +/-1.3 jour +/-1.4 jour +/-2.4 jour écart-type 0.43 0.64 0.64 1.19
Ces alternatives ne sont pas idéales d’autant que les modifications n’étant pas synchrones, des années allongées peuvent suivre des années raccourcies ou vice-versa. Voilà, ce n’est qu’un début vers cette nouvelle quête. 
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#3 - 10-08-2010 12:26:43
- schaff60
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a la recherche di calendrier parfait.
Intéressant problème.
Je crois qu'il faudrait fixer les limites de ce que tu cherches, parce qu'on peut trouver des méthodes qui sont bien plus précises que ce que tu demandes :
par exemple la règle :
- année bissextile tous les 4 ans - sauf tous les 128 ans
conduit à 0% d'erreur au bout de 100000 ans (exactement 365.24219 de moyenne), mais est par contre strictement égale au bout de 400 ans (365.2425), mais nettement meilleure au bout de 128 ans (365,2421875)
Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme
#4 - 10-08-2010 12:39:05
- scrablor
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A la recherche du calendrier parfit.
Bissextile tous les 4 ans sauf tous les 128 ans.
365+1/4-1/128=365,2421875
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#5 - 10-08-2010 15:26:46
- MthS-MlndN
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A la recherhce du calendrier parfait.
J'essaie ce calcul : [TeX]\frac{1}{0.25 - 0.242214} = 128.435654[/TeX] Il correspond à l'inverse de l'erreur obtenue en mettant un jour de plus une année sur 4, donc au nombre d'années qu'il faut pour que ce calendrier se trompe d'un jour. Je serais donc tenté par les deux règles qui suivent :
- les années divisibles par 4 sont bissextiles, - sauf celles divisibles par 128.
En 128 ans, on a donc 31 années bissextiles, soit une moyenne de (365 + 31/128) jours par an, soit 365.242188 jours par an. L'année tropicale est de 365.24219 jours, d'où une erreur relative de [TeX]\frac{365.24219 - 365.242188}{365.24219} = 5.48 \times 10^{-9}[/TeX] Je dois passer à côté de l'erreur réelle à cause des imprécisions sur les deux nombres, mais j'ai des ordres de grandeurs... et passer d'une erreur en [latex]10^{-7}[/latex] à une erreur en [latex]10^{-9}[/latex], c'est pas mal, non ? 
Mauvaises valeurs ? Bon, allons-y donc avec plus de précision...
Année tropique donnée par Wikipedia (pour l'an 2000) : 365.242190517 jours Année de (365 + 31/128) jours : 365.2421875 Erreur relative : [TeX]\frac{365.242190517 - 365.2421875}{365.242190517} = 8.26 \times 10^{-9}[/TeX] Et je devrais trouver 6,844 ? Ben zut, je crois que je ne sais plus calculer une erreur relative 
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#6 - 11-08-2010 01:30:15
- dhrm77
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a la recherche du calendrier parfaiy.
Pour l'instant, bonnes réponses de schaff60, scrablor et MthS-MlndN qui prennent le podium. Quoique les nombres de MthS-MlndN ne semblent pas exacts...
franck9525 est parti dans une direction légerement différente. Je ne pense pas que ce soit faux, mais c'est n'était pas la réponse simple que j'attendais.
Il reste une cinquante d'heures pour les autres pour contribuer à la redéfinition du calendrier...
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#7 - 11-08-2010 14:08:22
- rivas
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a la recgerche du calendrier parfait.
Bonjour,
Intéressant comme problème. Mais d'abord, il faut préciser un peu ce que veut dire "plus précis" car c'est un peu ambigu. "Plus précis" veut dire dans ce contexte: "précis sur le long terme tout en restant localement le plus précis possible", c'est à dire que on ne cherche pas la précision globale sur le très long terme uniquement mais aussi que le calendrier soit en permanence assez précis. Sinon il suffit d'une seule règle: Au bout de 100.000 années de 365 jours on rajoute 24219 jours et l'on tombe sur la meilleure précision possible avec ces données sur le long terme .
De plus on cherche une solution assez simple, c'est à dire en rajoutant un nombre entier de jours par année entière.
On cherche donc globalement 2 entiers a et b tels que [latex]\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=0,24219[/latex] ou [latex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0,24219[/latex] ou en tout cas s'en approchent le plus possible. Ces 2 systèmes n'ont pas de solutions entières mais une valeur approchée donne a=4 (ce qui redonnera la première règle des années bisextiles). On cherche donc b entier tel que [latex]\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{b}\approx 0,24219[/latex]. Il faut noter que le signe est forcément - sinon le résultat est >0,25. On trouve que b=128 donne la solution entière la plus proche: [latex]\frac{1}{4}-\frac{1}{128}=0,2421875[/latex]. On peut aussi vérifier que [latex]\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{b}\approx 0,24219[/latex] donne une solution moins bonne.
Les 2 règles sont donc les suivantes: On ajoute un jour tous les 4 ans (comme dans le calendrier grégorien) SAUF tous les 128 ans (au lieu de 100 ans SAUF les 400 dans le grégorien). A noter que 128 étant un multiple de 4, cela rend la règle simple (On ajoute un jour tous les 4 ans sauf 1 fois sur 32). Avec ces 2 règles, la précision "locale" est d'une demi-journée maximum d'écart par rapport au calendrier solaire et la précision globale est d'un jour de décalage pour 400.000 ans.
Le calendrier grégorien se décale lui de [latex]\frac{1}{4}-\frac{1}{100}+\frac{1}{400}-0,24219=3,1.10^4[/latex] jours par an soit 1 jour tous les 3226 ans en moyenne. Cela montre donc que ce nouveau calendrier est "124 fois plus précis" (je n'aime vraiment pas cette expression ).
Merci pour cette énigme. PS: Amusante coincidence le role des puissance de 2...
#8 - 13-08-2010 03:04:04
- dhrm77
- L'exilé
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A la recherchhe du calendrier parfait.
Voila, le gong a sonné. Bravo également à rivas pour avoir trouvé la solution.
La réponse attendue était bien : +1 jour tous les 4 ans -1 jour tous les 128 ans. Ce qui est facilement réalisable à partir du calendrier actuel.
Avec un tel calendrier, la moyenne des années sur une période de 128 ans est de 365.2421875, soit 124 fois plus près de 365.24219 que 365.2425 que l'on a avec le calendrier grégorien.
De plus, avec le calendrier Grégorien, l'écart maximal entre les années ou on a pris du retard sur les années bisextiles et les années ou on est en avance est de 2.133330 jours, avec une erreur accumulée au bout de 400 ans de 0.124 jours. L'écart correspondant, sur ce nouveau calendrier n'est que de 1.695010 jour et l'erreur accumulée au bout de 128 ans est de 0.000320 jour.
Les solutions de franck9525 sont fort interressantes, mais cet écart se trouve etre plus élevé (3.6 à 4.8 jours selon lui).
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#9 - 13-08-2010 20:26:26
- schaff60
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A la recherche du calendrie rparfait.
Je ne suis pas d'accord avec le calcul des erreurs tel qu'il est présenté. On compare des carottes et des navets, parce que les limites de ce que l'on cherche ne sont pas fixées.
Le calendrier grégorien est aussi précis au bout de 128 ans que celui avec la règle des 4 et 128 : on aura eu exactement le même nombre d'années bissextiles dans les 2 cas (tous les 4 ans moins la 100ème dans l'un, moins la 128ème dans l'autre), donc l'erreur relative sera strictement identique, de même au bout de 400 ans( 3 années bissextiles en moins de chaque côté), la différence entre les 2 se fait sur le beaucoup long terme.
Bref pour moi les 0.84 ppm au bout de 128 ans ne sont pas corrects.
Mais quelque chose a pu m'échapper dans votre façon de calculer !!
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#10 - 13-08-2010 23:05:15
- MthS-MlndN
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a la recherche du calendrier oarfait.
En fait, on compte sur du long terme... "Sur une infinité d'années, combien d'erreur aura-t-on en moyenne chaque année ?" (Je mets "infinité" en italique pour faire comprendre que c'est une extrapolation.) Disons le PPCM de 128 et 400, ce qui doit faire 3200, si je ne me trompe pas. Là, tu retombes sur tes pattes 
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#11 - 14-08-2010 08:28:16
- schaff60
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a la recherche du camendrier parfait.
C'est effectivement tous les 3200 ans que l'on va retrouver ces erreurs, mais cela ne veut pas dire que c'est optimal.
Ce qui m'amène à poser les questions subsidiaires :
En prenant la valeur donnée par Mathias : 365.242190517 (j'ai pas vérifié mais j'ai confiance )
* en quelle année du calendrier grégorien sera t'on le plus proche de cette valeur ? * en quel année du calendrier dhrmien© sera t'on le plus proche de cette valeur ? * en quelle année les 2 calendriers auront la meilleure même valeur ? (par exemple en 2010, la moyenne est identique dans les 2 calendriers : 365,2422885572, mais ce n'est pas l'optimum)
Spoiler : indice si on prend la valeur 365.24219, les réponses aux 2 premières questions seront différentes , pour la 2ème j'avais déjà donné la réponse dans mon premier post : 100000 ans)
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#12 - 16-08-2010 13:29:45
- schaff60
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A la reecherche du calendrier parfait.
Bon, la question subsidiaire n'attirant personne je donne quand même les réponses:
le calendrier grégorien sera le plus précis en 2721 : 365,2421903712 de moyenne le calendrier dhrmien sera le plus précis en 93220 et 95813 pour les 2 ensemble il faudra attendre 3105 pour avoir 365,2421900161
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