Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 10-08-2010 02:57:24

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

la recherche du calendrier parfait.

Ce sujet m'a fait me pencher d'un peu plus près sur les divers calendriers.

A une époque une année valait à peu pres 365.242214 jours le calendrier est passé du Julien avec une moyenne de 365.25 jours par an, au Grégorien avec une moyenne de 365.2425 jours par an.

Et on est passé d'une règle simple pour les années bisextiles (tous les 4 ans) à trois règles:
- tous les 4 ans
- sauf tous les 100 ans
- mais aussi tous les 400 ans.

Comme de nos jours l'année tropicale est de 365.24219 jours, le calendrier grégorien a quand même une erreur de .00008487% ou 0.84ppm.
S'il on vous donner la tâche de définir un calendrier qui soit à la fois plus précis que le calendrier actuel, et avec seulement 2 règles simples, quelles seraient ces 2 règles?

Spoiler : [Afficher le message] Les règles à trouver donnent un calendrier 124 fois plus précis que le calendrier grégorien



Annonces sponsorisées :

Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 10-08-2010 12:06:25

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

A la recheerche du calendrier parfait.

A défaut d’être ultra précise, la solution grégorienne a deux mérites additionnels: une règle relativement facile à appliquer rendant le calcul des années bissextiles aisé. D’autre part, le décalage avec le jour vrai reste minimum.

Comme rappelée dans l’énoncé, la formule donnant la durée d’une année grégorienne est de :
365+1/4-1/100+1/400=365.2425, cette moyenne est réalisée après 400 années. Cette valeur étant légèrement supérieure à une révolution de la terre autour du soleil, le calendrier grégorien diverge inexorablement: 1 jour tous les 1667 ans.

En appliquant cette règle, l’écart maximum avec la date vraie (i.e. : hauteur du soleil dans le ciel) est de 1.1 jour avec un écart-type de 0.43 jour. Les solcistes et équinoxes se produisent à des dates quasi-fixes.

Il est possible de proposer une année calendaire d’une durée moyenne plus proche de l’année céleste ; dans un tel cas, le calendrier nouveau diverge toujours mais plus lentement. Cependant le décalage potentiel entre date écrite et date vraie augmente ainsi que l’écart-type. Le tableau ci-dessous résume trois alternatives calendaires.

calendrier       Grégoire       alternative 1   alternative 2   alternative 3
Règles          +1j / 4 ans     +2j / 7ans      +2j / 9ans      +4j / 17ans
                    -1j / 100ans   -1j / 23ans     +1j / 5ans      +1j / 145ans
                   +1j / 400ans

moyenne      365.2425        365.24224      365.24222      365.24219
max delta     +/-1.1 jour     +/-1.3 jour     +/-1.4 jour     +/-2.4 jour
écart-type     0.43              0.64               0.64               1.19

Ces alternatives ne sont pas idéales d’autant que les modifications n’étant pas synchrones, des années allongées peuvent suivre des années raccourcies ou vice-versa. Voilà, ce n’est qu’un début vers cette nouvelle quête. smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 10-08-2010 12:26:43

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

A la recherche du calendrie rparfait.

Intéressant problème.

Je crois qu'il faudrait fixer les limites de ce que tu cherches, parce qu'on peut trouver des méthodes qui sont bien plus précises que ce que tu demandes :

par exemple la règle :

- année bissextile tous les 4 ans
- sauf tous les 128 ans

conduit à 0% d'erreur au bout de 100000 ans (exactement 365.24219 de moyenne),
mais est par contre strictement égale au bout de 400 ans (365.2425),
mais nettement meilleure au bout de 128 ans (365,2421875)


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #4 - 10-08-2010 12:39:05

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

a la rechercje du calendrier parfait.

Bissextile tous les 4 ans sauf tous les 128 ans.

365+1/4-1/128=365,2421875


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 10-08-2010 15:26:46

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

A la recerche du calendrier parfait.

J'essaie ce calcul :
[TeX]\frac{1}{0.25 - 0.242214} = 128.435654[/TeX]
Il correspond à l'inverse de l'erreur obtenue en mettant un jour de plus une année sur 4, donc au nombre d'années qu'il faut pour que ce calendrier se trompe d'un jour. Je serais donc tenté par les deux règles qui suivent :

- les années divisibles par 4 sont bissextiles,
- sauf celles divisibles par 128.


En 128 ans, on a donc 31 années bissextiles, soit une moyenne de (365 + 31/128) jours par an, soit 365.242188 jours par an. L'année tropicale est de 365.24219 jours, d'où une erreur relative de
[TeX]\frac{365.24219 - 365.242188}{365.24219} = 5.48 \times 10^{-9}[/TeX]
Je dois passer à côté de l'erreur réelle à cause des imprécisions sur les deux nombres, mais j'ai des ordres de grandeurs... et passer d'une erreur en [latex]10^{-7}[/latex] à une erreur en [latex]10^{-9}[/latex], c'est pas mal, non ? smile





Mauvaises valeurs ? Bon, allons-y donc avec plus de précision...

Année tropique donnée par Wikipedia (pour l'an 2000) : 365.242190517 jours
Année de (365 + 31/128) jours : 365.2421875
Erreur relative :
[TeX]\frac{365.242190517 - 365.2421875}{365.242190517} = 8.26 \times 10^{-9}[/TeX]
Et je devrais trouver 6,844 ? Ben zut, je crois que je ne sais plus calculer une erreur relative mad


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 11-08-2010 01:30:15

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

a la recherche du xalendrier parfait.

Pour l'instant, bonnes réponses de schaff60, scrablor et MthS-MlndN qui prennent le podium. Quoique les nombres de MthS-MlndN ne semblent pas exacts...

franck9525 est parti dans une direction légerement différente. Je ne pense pas que ce soit faux, mais c'est n'était pas la réponse simple que j'attendais.

Il reste une cinquante d'heures pour les autres pour contribuer à la redéfinition du calendrier...


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 11-08-2010 14:08:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

a la recherche du camendrier parfait.

Bonjour,

Intéressant comme problème.
Mais d'abord, il faut préciser un peu ce que veut dire "plus précis" car c'est un peu ambigu. "Plus précis" veut dire dans ce contexte: "précis sur le long terme tout en restant localement le plus précis possible", c'est à dire que on ne cherche pas la précision globale sur le très long terme uniquement mais aussi que le calendrier soit en permanence assez précis. Sinon il suffit d'une seule règle: Au bout de 100.000 années de 365 jours on rajoute 24219 jours et l'on tombe sur la meilleure précision possible avec ces données sur le long terme smile .

De plus on cherche une solution assez simple, c'est à dire en rajoutant un nombre entier de jours par année entière.

On cherche donc globalement 2 entiers a et b tels que [latex]\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=0,24219[/latex] ou [latex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0,24219[/latex] ou en tout cas s'en approchent le plus possible. Ces 2 systèmes n'ont pas de solutions entières mais une valeur approchée donne a=4 (ce qui redonnera la première règle des années bisextiles).
On cherche donc b entier tel que [latex]\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{b}\approx 0,24219[/latex]. Il faut noter que le signe est forcément - sinon le résultat est >0,25.
On trouve que b=128 donne la solution entière la plus proche: [latex]\frac{1}{4}-\frac{1}{128}=0,2421875[/latex].
On peut aussi vérifier que [latex]\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{b}\approx 0,24219[/latex] donne une solution moins bonne.

Les 2 règles sont donc les suivantes:
On ajoute un jour tous les 4 ans (comme dans le calendrier grégorien) SAUF tous les 128 ans (au lieu de 100 ans SAUF les 400 dans le grégorien).
A noter que 128 étant un multiple de 4, cela rend la règle simple (On ajoute un jour tous les 4 ans sauf 1 fois sur 32).
Avec ces 2 règles, la précision "locale" est d'une demi-journée maximum d'écart par rapport au calendrier solaire et la précision globale est d'un jour de décalage pour 400.000 ans.

Le calendrier grégorien se décale lui de [latex]\frac{1}{4}-\frac{1}{100}+\frac{1}{400}-0,24219=3,1.10^4[/latex] jours par an soit 1 jour tous les 3226 ans en moyenne. Cela montre donc que ce nouveau calendrier est "124 fois plus précis" (je n'aime vraiment pas cette expression smile ).

Merci pour cette énigme.
PS: Amusante coincidence le role des puissance de 2...

 #8 - 13-08-2010 03:04:04

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

A la recherche du calendrier pafrait.

Voila, le gong a sonné. Bravo également à rivas pour avoir trouvé la solution.

La réponse attendue était bien  :
+1 jour tous les 4 ans
-1 jour tous les 128 ans.
Ce qui est facilement réalisable à partir du calendrier actuel.

Avec un tel calendrier, la moyenne des années sur une période de 128 ans est de 365.2421875, soit 124 fois plus près de 365.24219 que 365.2425 que l'on a avec le calendrier grégorien.

De plus, avec le calendrier Grégorien, l'écart maximal entre les années ou on a pris du retard sur les années bisextiles et les années ou on est en avance est de 2.133330 jours, avec une erreur accumulée au bout de 400 ans de 0.124 jours.

L'écart correspondant, sur ce nouveau calendrier n'est que de 1.695010 jour
et l'erreur accumulée au bout de 128 ans est de 0.000320 jour.

Les solutions de franck9525 sont fort interressantes, mais cet écart se trouve etre plus élevé (3.6 à 4.8 jours selon lui).


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 13-08-2010 20:26:26

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

a la recherche du calendrier parfair.

Je ne suis pas d'accord avec le calcul des erreurs tel qu'il est présenté. On compare des carottes et des navets, parce que les limites de ce que l'on cherche ne sont pas fixées.

Le calendrier grégorien est aussi précis au bout de 128 ans que celui avec la règle des 4 et 128 : on aura eu exactement le même nombre d'années bissextiles dans les 2 cas (tous les 4 ans moins la 100ème dans l'un, moins la 128ème dans l'autre), donc l'erreur relative sera strictement identique, de même au bout de 400 ans( 3 années bissextiles en moins de chaque côté), la différence entre les 2 se fait sur le beaucoup long terme.

Bref pour moi les 0.84 ppm au bout de 128 ans ne sont pas corrects.

Mais quelque chose a pu m'échapper dans votre façon de calculer !!roll


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #10 - 13-08-2010 23:05:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

a la recherche du xalendrier parfait.

En fait, on compte sur du long terme... "Sur une infinité d'années, combien d'erreur aura-t-on en moyenne chaque année ?" (Je mets "infinité" en italique pour faire comprendre que c'est une extrapolation.) Disons le PPCM de 128 et 400, ce qui doit faire 3200, si je ne me trompe pas. Là, tu retombes sur tes pattes smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 14-08-2010 08:28:16

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

a la recherchz du calendrier parfait.

C'est effectivement tous les 3200 ans que l'on va retrouver ces erreurs, mais cela ne veut pas dire que c'est optimal.

Ce qui m'amène à poser les questions subsidiaires :

En prenant la valeur donnée par Mathias : 365.242190517 (j'ai pas vérifié mais j'ai confiance tongue)

* en quelle année du calendrier grégorien sera t'on le plus proche de cette valeur ?
* en quel année du calendrier dhrmien© sera t'on le plus proche de cette valeur ?
* en quelle année les 2 calendriers auront la meilleure même valeur ? (par exemple en 2010, la moyenne est identique dans les 2 calendriers : 365,2422885572, mais ce n'est pas l'optimum)



Spoiler : indice  si on prend la valeur 365.24219, les réponses aux 2 premières questions seront différentes , pour la 2ème j'avais déjà donné la réponse dans mon premier post : 100000 ans)


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #12 - 16-08-2010 13:29:45

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

A la recherche du caelndrier parfait.

Bon, la question subsidiaire n'attirant personne je donne quand même les réponses:

le calendrier grégorien sera le plus précis en 2721 : 365,2421903712 de moyenne
le calendrier dhrmien sera le plus précis en 93220 et 95813
pour les 2 ensemble il faudra attendre 3105 pour avoir 365,2421900161


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)
Calendriers identiques (7) — Calendrier identique (5) — Annee identique (4) — Combien dannees bissextiles dans 1000ans (3) — Calendriers annees identiques (3) — Annees bissextiles synchrones (3) — Calendrier parfait (3) — Duree d une annee (2) — Les solcistes (2) — Calendrier identique annee (2) — 365.24219 (2) — Calendrier identique annees (2) — Recherche jour du calendrier (2) — Calendrier date identique (2) — Date enigme (2) — Sur une periode de 1000 anscombien y-ait il d annees bissextiles? (2) — Calendrier gregorien identique (2) — Jours de retard ou davance sur le calendrier solaire en 1000ans (2) — Annees identiques calendrier (2) — 365.24222 jours= (2) — Calendrier (2) — Calcul de la duree d une annee 365.2425 (1) — Annees calendaires identiques (1) — Hauteur du soleil dans le ciel formule (1) — Enigme avec des dates (1) — Calendrier quelles annees identiques (1) — 365.24219 ~ 365 + ..... / ..... - ..... / 400 (1) — Enigmes avec les dates (1) — Sur une periode de 1000 ans combien annee bissextiles (1) — Calendrier enigme d 1 jour (1) — Annees calendrier identique (1) — Identiques calendriers (1) — Prouver que la somme de trois nombres consecutifs est un multiple de trois (1) — Lequel des mois est le plus long dans l ann?enigmes (1) — Sur 100 ans avance en jours du calendrier calendaire sur le calendrier solaire (1) — Rechercher annee bissextiles (1) — 365.25 ou 365 jours (1) — Enigme date (1) — Alternative au calendrier gregorien (1) — Retrouve un jour precis calendrier (1) — Enigmes difference entre une annee bisextile (1) — Calcul hauteur du soleil dans le ciel (1) — Calendrier annees identiques (1) — Combien d annee faut il pour faire deux calendrier similaire (1) — Sur 1000 ans au clendrier solaire retard (1) — Calcul de date avec 365.2425 (1) — Tous les 3200 ans bissextile (1) — Enigme calendrier (1) — 36524219~365+(.../...)-(.../400) (1) — Formule de calcul des annees bisectiles (1) — Calendrier de n est pas parfait (1) — Calendrier identique tous les (1) — Sur une periode de 1000ans combien de jours le calendrier a-t-il d avance ou de retardsur le calendrier solaire (1) — Montrer que l annee gregorienne a une duree moyenne de 365.2425 jours. (1) — Annees identique calendrier (1) — Recherche des enigmes (1) — Les annees identiques (1) — Calendrier enigmes (1) — Retrouver un calendrier identique (1) — Narration de recherche (1) — Calendrier identique tout les 4ans ? (1) — Annee bissextile 0.124 (1) — Annees au calendriers identiques (1) — Questions subsidiaires (1) — Recherche d un jour preci dans le calendrier (1) — Existe il un calendrier parfait (1) — Annees bissextiles precision (1) — Fonctionnement du calendrier solciste et equinoxe (1) — Combien d annees bissextiles sur 1000 ans (1) — Les enigmes de durer (1) — Listes des annees bissextiles (1) — Solciste et equinoxe (1) — Combien de jours le calendrier d avance ou de retard sur le calendrier solaire (1) — Enigmes calendrier (1) — Recherche formules annees bissextiles (1) — Annee jour identique (1) — Deux calendrier identique (1) — Anees bisextilles regloe (1) — Erreur au calendrier (1) — Enigme precision (1) — Un truisme inepte chamarre d une phraseologie specieuse se diapre subsequemment des apparats d un apophtegme (1) — 365 enigmes mathematique la recherche (1) — Nombre de calendriers identiques (1) — Calcul jours annees identiques (1) — Recherche enigme (1) — Enigme dates annees (1) — Calendrier actuel (1) — Que veut dire? un truisme inepte chamarre d une phraseologie specieuse se diapre subsequemment des apparats d un apophtegme (1) — Duree d une annee 365.2425 (1) — Annees bisextiles (1) — Retard calendrier solaire sur 1000 ans (1) — Calendriers d annees identiques (1) — En math deduire que 365+31/128 (1) — Un calendrier parfait (1) —

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete