Intéressant problème.

Je crois qu'il faudrait fixer les limites de ce que tu cherches, parce qu'on peut trouver des méthodes qui sont bien plus précises que ce que tu demandes :

par exemple la règle :

- année bissextile tous les 4 ans
- sauf tous les 128 ans

conduit à 0% d'erreur au bout de 100000 ans (exactement 365.24219 de moyenne),
mais est par contre strictement égale au bout de 400 ans (365.2425),
mais nettement meilleure au bout de 128 ans (365,2421875)

J'essaie ce calcul :
$$\frac{1}{0.25 - 0.242214} = 128.435654$$
Il correspond à l'inverse de l'erreur obtenue en mettant un jour de plus une année sur 4, donc au nombre d'années qu'il faut pour que ce calendrier se trompe d'un jour. Je serais donc tenté par les deux règles qui suivent :

- les années divisibles par 4 sont bissextiles,
- sauf celles divisibles par 128.

En 128 ans, on a donc 31 années bissextiles, soit une moyenne de (365 + 31/128) jours par an, soit 365.242188 jours par an. L'année tropicale est de 365.24219 jours, d'où une erreur relative de
$$\frac{365.24219 - 365.242188}{365.24219} = 5.48 \times 10^{-9}$$
Je dois passer à côté de l'erreur réelle à cause des imprécisions sur les deux nombres, mais j'ai des ordres de grandeurs... et passer d'une erreur en $10^{-7}$ à une erreur en $10^{-9}$, c'est pas mal, non ?





Mauvaises valeurs ? Bon, allons-y donc avec plus de précision...

Année tropique donnée par Wikipedia (pour l'an 2000) : 365.242190517 jours
Année de (365 + 31/128) jours : 365.2421875
Erreur relative :
$$\frac{365.242190517 - 365.2421875}{365.242190517} = 8.26 \times 10^{-9}$$
Et je devrais trouver 6,844 ? Ben zut, je crois que je ne sais plus calculer une erreur relative

Bonjour,

Intéressant comme problème.
Mais d'abord, il faut préciser un peu ce que veut dire "plus précis" car c'est un peu ambigu. "Plus précis" veut dire dans ce contexte: "précis sur le long terme tout en restant localement le plus précis possible", c'est à dire que on ne cherche pas la précision globale sur le très long terme uniquement mais aussi que le calendrier soit en permanence assez précis. Sinon il suffit d'une seule règle: Au bout de 100.000 années de 365 jours on rajoute 24219 jours et l'on tombe sur la meilleure précision possible avec ces données sur le long terme .

De plus on cherche une solution assez simple, c'est à dire en rajoutant un nombre entier de jours par année entière.

On cherche donc globalement 2 entiers a et b tels que $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=0,24219$ ou $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0,24219$ ou en tout cas s'en approchent le plus possible. Ces 2 systèmes n'ont pas de solutions entières mais une valeur approchée donne a=4 (ce qui redonnera la première règle des années bisextiles).
On cherche donc b entier tel que $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{b}\approx 0,24219$. Il faut noter que le signe est forcément - sinon le résultat est >0,25.
On trouve que b=128 donne la solution entière la plus proche: $\frac{1}{4}-\frac{1}{128}=0,2421875$.
On peut aussi vérifier que $\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{b}\approx 0,24219$ donne une solution moins bonne.

Les 2 règles sont donc les suivantes:
On ajoute un jour tous les 4 ans (comme dans le calendrier grégorien) SAUF tous les 128 ans (au lieu de 100 ans SAUF les 400 dans le grégorien).
A noter que 128 étant un multiple de 4, cela rend la règle simple (On ajoute un jour tous les 4 ans sauf 1 fois sur 32).
Avec ces 2 règles, la précision "locale" est d'une demi-journée maximum d'écart par rapport au calendrier solaire et la précision globale est d'un jour de décalage pour 400.000 ans.

Le calendrier grégorien se décale lui de $\frac{1}{4}-\frac{1}{100}+\frac{1}{400}-0,24219=3,1.10^4$ jours par an soit 1 jour tous les 3226 ans en moyenne. Cela montre donc que ce nouveau calendrier est "124 fois plus précis" (je n'aime vraiment pas cette expression ).

Merci pour cette énigme.
PS: Amusante coincidence le role des puissance de 2...

Je ne suis pas d'accord avec le calcul des erreurs tel qu'il est présenté. On compare des carottes et des navets, parce que les limites de ce que l'on cherche ne sont pas fixées.

Le calendrier grégorien est aussi précis au bout de 128 ans que celui avec la règle des 4 et 128 : on aura eu exactement le même nombre d'années bissextiles dans les 2 cas (tous les 4 ans moins la 100ème dans l'un, moins la 128ème dans l'autre), donc l'erreur relative sera strictement identique, de même au bout de 400 ans( 3 années bissextiles en moins de chaque côté), la différence entre les 2 se fait sur le beaucoup long terme.

Bref pour moi les 0.84 ppm au bout de 128 ans ne sont pas corrects.

Mais quelque chose a pu m'échapper dans votre façon de calculer !!

C'est effectivement tous les 3200 ans que l'on va retrouver ces erreurs, mais cela ne veut pas dire que c'est optimal.

Ce qui m'amène à poser les questions subsidiaires :

En prenant la valeur donnée par Mathias : 365.242190517 (j'ai pas vérifié mais j'ai confiance )

* en quelle année du calendrier grégorien sera t'on le plus proche de cette valeur ?
* en quel année du calendrier dhrmien© sera t'on le plus proche de cette valeur ?
* en quelle année les 2 calendriers auront la meilleure même valeur ? (par exemple en 2010, la moyenne est identique dans les 2 calendriers : 365,2422885572, mais ce n'est pas l'optimum)



Spoiler : indice  si on prend la valeur 365.24219, les réponses aux 2 premières questions seront différentes , pour la 2ème j'avais déjà donné la réponse dans mon premier post : 100000 ans)