Enigme Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait @ Prise2Tete

EfCeBa · #1

Un petit exercice trouvé sur un livre de mathématique pour terminale, il utilise les factorielles, il s'agit de prouver que [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = a^2[/latex] avec a entier.

Yannek · #2

Soit a=k²+5k+5. Alors
[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)
=(k+4)(k+1)(k+3)(k+2)
=(k^2+5k+4)(k^2+5k+6)
=(a-1)(a+1)=a^2-1[/TeX]
ce qui équivaut à [latex]\frac{(k+4)!}{k!}+1=a^2[/latex]

shadock · #3

Alors voyons si je peux avoir le niveau
[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}+1[/latex]=[latex](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1[/TeX]
On factorise comme on peut, et on obtient:
[latex]\frac{(k+4)!}{k!}+1[/latex]=[latex](k^2+5k+5)^2[/latex] d'ou [latex]a=k^2+5k+5[/latex] qui est un entier (car k! est définie sur Z) donc :
[latex](k^2+5k+5)^2=\frac{(k+4)!}{k!}+1[/latex] donc, [latex]a^2[/latex] est un carré parfait mais ça ne marche que à partir de a=5 donc le plus petit carré parfait que je trouve est a²=25

Soit (k;a;b) les couples possibles dans N:
Le premier est (0;5;25), le deuxième est (1;11;121)....

Le k-ième couple s'écrit:
[latex](k ; U_k+[6+2k] ; {(U_k+[6+2k])}^2)[/latex] avec U0=5 et U(k+1)=Uk+(6+2k) sauf si je me suis trompé
Voilà c'est tout ce que je peux faire avec mes connaissances

Shadock

luthin · #4

Amusant!
[TeX]\begin{eqnarray}
&\frac{(k+4)!}{k!}+1&=(k+1)(k+4)(k+2)(k+3) +1\\
& &=\left(k+\frac 52-\frac 32\right)\left(k+\frac 52+\frac 32\right)\left(k+\frac 52-\frac 12\right)\left(k+\frac 52 +\frac 12\right) +1\\
& &=\left((k+\frac 52)^2-(\frac 32)^2\right)\left((k+\frac 52)^2-(\frac 12)^2\right)+1 \\
& &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54-1\right)\left((k+\frac 52)^2-\frac 54 +1\right)+1\\
& &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54\right)^2 \\
& &=(k^2+5k+5)^2
\end{eqnarray}[/TeX]
CQFD, merci.

papiauche · #5

[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24

k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24+1= (k(k+5)+5)^2[/TeX]
Donc:
[TeX]a = k(k+5)+5[/TeX]
Et hop!

scarta · #6

[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}[/latex] est le produit de 4 nombres consécutifs.
On va poser k+3 = a
(a-2)(a-1)(a)(a+1) +1 = a^4 -2a^3 -a^2 +2a + 1
Changement de variable a = b+1/2
b^4 -5b^2 / 2 +25/16
Formule de Ferrari
(b^2+c)^2 -5b^2 / 2 +25/16 -2cb^2 -c^2 =
(b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2

On veut (5/2 + 2c).b^2 -25/16 +c^2 carré
ssi delta = -4*(c^2-25/16)(5/2+2c) = 0
donc c = 5/4 ou c = -5/4 (2 fois), mais cette valeur annule tout le polynôme.
On prend donc c = 5/4, le polynôme vaut 5b^2

On reprend notre gros polynôme
(b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2 =
(b^2+5/4)^2 - (b.sqrt(5)) ^2 =
(b^2+5/4 +b.sqrt(5)) (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0
si (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) = 0 ou si (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0
b^2 +/- b.sqrt(5) + 5/4 = 0
delta = 5-5 = 0
Une racine double dans les deux cas: +/- sqrt(5) / 2
Notre polynôme devient alors
(b+sqrt(5)/2)^2 * (b-sqrt(5)/2)^2

On rechange notre variable b en a, b = a-1/2
[latex](a-\frac{1+\sqrt(5)}{2})^2.(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2})^2=\\
((a-\frac{1+\sqrt(5)}{2}).(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2}))^2=\\
(a^2-a-1)^2[/TeX]
C'est un carré, d'un nombre entier.

Pour répondre à l'énoncé donc, [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = (k^2+5k+5)^2[/latex]

Et voilà !!!

PS: je sais bien que niveau terminale, on aurait plutôt essayé de trouver des coefficients A, B et C tels que (Ax^2 + Bx + C)^2 soit égal à x^4 -2x^3 -x^2 +2x + 1 en identifiant les coefficients, mais bon voilà: pas envie :p :p :p

Edit : Ah mais suis-je bête !!! Ca tient en 3 lignes !!!
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+4) . (k+2)(k+3) =
(k^2+5k+4) . (k^2+5k+6) = (Q-1)(Q+1) =Q^2-1
avec Q = k^2+5k+5

scrablor · #7

C'est (k²+5k+5)². Étonnant non ?

franck9525 · #8

on décompose et on obtient:
[TeX]=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1
=[(k+4)(k+1)]\time[(k+2)(k+3)]+1
=(k^2+5k+4)\time(k^2+5k+6)+1[/TeX]
or [latex] n(n+2)+1=(n+1)^2[/latex]
ce qui donne
[TeX](k^2+5k+4)(k^2+5k+6)+1=(k^2+5k+5)^2=a^2[/TeX]

supercab · #9

Calculons tout simplement:
[TeX] \frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+10 k^3 + 35 k^2 + 50 k + 25

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+(10 k^3+10k^2)+25k^2+50k+25

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2)^2+2*k^2*(5k+5) + (5k+5)^2

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2 + 5k + 5)^2
[/TeX]
On a utiliser aux passages des lignes 3 à 4 et 4 à 5 l'identité remarquable:
[TeX](a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2 [/TeX]

McFlambi · #10

Si ca peut etre un carre de [latex]a[/latex], c'est qu'il peut etre de la forme [latex]k^2+bk+c[/latex] comme ci dessous
[TeX]\begin{array}{rl}\frac{(k+4) !}{k!}+1 & = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 \\ & = k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+25 \\ & =a^2 \\ & = (k^2+ b k+ c)^2 \\ & = k^4+ 2bk^3 + (2c+b^2)k^2 + 2bc k + c^2

\end{array}[/TeX]
il semble donc que [latex]b=c=5[/latex] convient... c'est donc bien un carre, et ce carre est
[TeX](k^2+5 k +5)^2[/TeX]

Yanyan · #11

[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=(k^2+3k+2)(k^2+7k+12)+1
=k^4+10k^3+35k^2+50k+25=(k^2+5k+5)^2[/TeX]

rivas · #12

Allez, un petit pour le plaisir. J'en ai raté pas mal ce WE à ce que je vois
[TeX]\dfrac{(k+4)!}{k!}+1=k^4+10k^3+35k^2+50k+25[/TeX]
Puisqu'on veut montrer que c'est un carré, et que le coefficient de k^4 est 1, on essaye de l'écrire de la forme:
[TeX](k^2+ak+b)^2=k^4+a^2k^2+b^2+2ak^3+2abk+2bk^2[/TeX]
L'identification des termes en k^3 donne directement a=5 et b^2 donne b=5. On vérifie que les autres termes sont bien identiques et on en déduit:
[TeX]\dfrac{(k+4)!}{k!}+1=(k^2+5k+5)^2[/TeX]
Cela permet aussi de donner les 2 racines doubles de cette équation de degré 4 (lorsqu'on l'égale à 0).
Sinon, on peut aussi demander à: Wolfram
Moi aussi je m'y mets (mais cela me dérange un peu )

Merci pour cette énigmette

Fireblade · #13

(k+4)!/k!+1=(k²+5k+5)²

VAUTIER · #14

(k+4)!/k! + 1 = (k^2+5k+5)^2
soit a = k^2+5k+5

gabrielduflot · #15

(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1=[latex](k^2+7k+12)(k^2+3k+2)+1[/latex]=[latex]k^4+10k^3+35k^2+50k+25[/latex]=[latex](k^2+5k+5)^2[/latex]

ddpm · #16

En simplifiant on obtient :
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (a+1)(a-1) => [(k+1)(k+4)]*[(k+2)(k+3)] = (a+1)(a-1)
[k^2 + 5k + 4] * [k^2 + 5k + 6] = (a+1)(a-1) =>
[(k^2 + 5k + 5) - 1] * [(k^2 + 5k + 5) +1] = (a+1)(a-1)

Donc a = k^2 + 5k + 5

Milou_le_viking · #17

Salut,
[TeX]\frac{\left ( k+4 \right )!}{k!}+1\,\,\,avec\,k\in\mathbb{N}
\\= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )\left ( k+4 \right )+1
\\= k^{4}+10k^{3}+35k^{2}+50k+25
\\= (k^{2}+5k+5)^{2}
\\=a^{2}
\\\Leftrightarrow
\\a=(k^{2}+5k+5)
\\\Rightarrow
\\a\in \mathbb{Z}
\\\Leftrightarrow
\\a^{2}\in \left \{ ensemble\, des\, carres\, parfaits \right \}
\\
\\
\\C.Q.F.D.[/TeX]

shadock · #18

Je trouve que je m'en suis bien tiré j'ai trouvé la bonne réponse *sentiment de joie* Youpi!!!

MthS-MlndN · #19

Comment ai-je fait pour ne pas aller jusqu'au bout ? En plus, j'avais eu l'idée de rassembler (k+1)(k+4) d'un côté, et (k+2)(k+3) de l'autre, alors pourquoi ai-je eu la flemme de juste écrire ce que ça donnait, p**ain ?

(Je m'en veux à mort )

franck9525 · #20

Y'a vraiment un truc que je pige pas...

Tantôt tu ponds des théories géniales parfaitement démontrées, claires, brillantes...
Tantôt t'as même pas le niveau du boutonneux qui pose une question pour son DM...

MthS-MlndN · #21

Moi aussi, ça m'épate, d'être à la fois aussi brillant et aussi naze. Je n'ai jamais su choisir

engine · #22

Merde j'étais pas si loin.

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#1 - 02-11-2010 21:16:46

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 ets un carré parfait

#0 Pub

#2 - 02-11-2010 21:39:49

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfaiit

#3 - 02-11-2010 21:50:10

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un craré parfait

#4 - 02-11-2010 21:53:32

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 et un carré parfait

#5 - 02-11-2010 21:55:29

Prouver quue (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

#6 - 02-11-2010 22:08:48

rPouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

#7 - 02-11-2010 22:33:36

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parafit

#8 - 02-11-2010 23:02:35

rouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

#9 - 02-11-2010 23:25:00

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un caarré parfait

#10 - 03-11-2010 02:11:36

Prouver que (k+4)!/((k!)+1 est un carré parfait

#11 - 03-11-2010 07:25:15

Prouver que (k+4)!/(kk!)+1 est un carré parfait

#12 - 03-11-2010 10:03:03

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfaitt

#13 - 03-11-2010 11:21:01

Prouver que (k+4!/(k!)+1 est un carré parfait

#14 - 03-11-2010 14:54:20

Prouvre que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

#15 - 03-11-2010 18:27:10

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est ub carré parfait

#16 - 04-11-2010 12:12:31

Prouevr que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

#17 - 05-11-2010 10:40:29

Prouver que (k+4)!/(!k)+1 est un carré parfait

#18 - 06-11-2010 00:36:39

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parrfait

#19 - 06-11-2010 15:04:57

Prouver que (k+4)!/(!k)+1 est un carré parfait

#20 - 06-11-2010 16:38:32

Prouver que (k++4)!/(k!)+1 est un carré parfait

#21 - 06-11-2010 16:49:13

Prouver que (k+4)!/(k!)++1 est un carré parfait

#22 - 06-11-2010 18:28:23

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est in carré parfait

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