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 #1 - 02-11-2010 21:16:46

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Pruover que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

Un petit exercice trouvé sur un livre de mathématique pour terminale, il utilise les factorielles, il s'agit de prouver que [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = a^2[/latex] avec a entier.



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 #2 - 02-11-2010 21:39:49

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Prouver quue (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

Soit a=k²+5k+5. Alors
[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)
=(k+4)(k+1)(k+3)(k+2)
=(k^2+5k+4)(k^2+5k+6)
=(a-1)(a+1)=a^2-1[/TeX]
ce qui équivaut à [latex]\frac{(k+4)!}{k!}+1=a^2[/latex]

 #3 - 02-11-2010 21:50:10

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Prouvver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

Alors voyons si je peux avoir le niveau tongue
[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}+1[/latex]=[latex](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1[/TeX]
On factorise comme on peut, et on obtient:
[latex]\frac{(k+4)!}{k!}+1[/latex]=[latex](k^2+5k+5)^2[/latex] d'ou [latex]a=k^2+5k+5[/latex] qui est un entier (car k! est définie sur Z) donc : 
[latex](k^2+5k+5)^2=\frac{(k+4)!}{k!}+1[/latex] donc, [latex]a^2[/latex] est un carré parfait cool mais ça ne marche que à partir de a=5 donc le plus petit carré parfait que je trouve est a²=25 smile

Soit (k;a;b) les couples possibles dans N:
Le premier est (0;5;25), le deuxième est (1;11;121)....

Le k-ième couple s'écrit:
[latex](k ; U_k+[6+2k] ; {(U_k+[6+2k])}^2)[/latex] avec U0=5 et U(k+1)=Uk+(6+2k) sauf si je me suis trompé tongue
Voilà c'est tout ce que je peux faire avec mes connaissances

                                                                                              Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 02-11-2010 21:53:32

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Prouvver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

Amusant! smile
[TeX]\begin{eqnarray}
&\frac{(k+4)!}{k!}+1&=(k+1)(k+4)(k+2)(k+3) +1\\
& &=\left(k+\frac 52-\frac 32\right)\left(k+\frac 52+\frac 32\right)\left(k+\frac 52-\frac 12\right)\left(k+\frac 52 +\frac 12\right) +1\\
& &=\left((k+\frac 52)^2-(\frac 32)^2\right)\left((k+\frac 52)^2-(\frac 12)^2\right)+1 \\
& &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54-1\right)\left((k+\frac 52)^2-\frac 54 +1\right)+1\\
& &=\left((k+\frac 52)^2-\frac 54\right)^2 \\
& &=(k^2+5k+5)^2
\end{eqnarray}[/TeX]
CQFD, merci.

 #5 - 02-11-2010 21:55:29

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

Prover que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24

k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+24+1= (k(k+5)+5)^2[/TeX]
Donc:
[TeX]a = k(k+5)+5[/TeX]
Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #6 - 02-11-2010 22:08:48

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carr éparfait

[TeX]\frac{(k+4)!}{k!}[/latex] est le produit de 4 nombres consécutifs.
On va poser k+3 = a
(a-2)(a-1)(a)(a+1) +1 = a^4 -2a^3 -a^2 +2a + 1
Changement de variable a = b+1/2
b^4 -5b^2 / 2 +25/16
Formule de Ferrari
(b^2+c)^2 -5b^2 / 2 +25/16 -2cb^2 -c^2 =
(b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2

On veut (5/2 + 2c).b^2 -25/16 +c^2 carré
ssi delta = -4*(c^2-25/16)(5/2+2c) = 0
donc c = 5/4 ou c = -5/4 (2 fois), mais cette valeur annule tout le polynôme.
On prend donc c = 5/4, le polynôme vaut 5b^2

On reprend notre gros polynôme
(b^2+c)^2 -(5/2 + 2c).b^2 +25/16 -c^2 =
(b^2+5/4)^2 - (b.sqrt(5)) ^2 =
(b^2+5/4 +b.sqrt(5)) (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0
si (b^2+5/4 +b.sqrt(5)) = 0 ou si (b^2+5/4 - b.sqrt(5)) = 0
b^2 +/- b.sqrt(5) + 5/4 = 0
delta = 5-5 = 0
Une racine double dans les deux cas: +/- sqrt(5) / 2
Notre polynôme devient alors
(b+sqrt(5)/2)^2 * (b-sqrt(5)/2)^2

On rechange notre variable b en a, b = a-1/2
[latex](a-\frac{1+\sqrt(5)}{2})^2.(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2})^2=\\
((a-\frac{1+\sqrt(5)}{2}).(a-\frac{1-\sqrt(5)}{2}))^2=\\
(a^2-a-1)^2[/TeX]
C'est un carré, d'un nombre entier.

Pour répondre à l'énoncé donc, [latex]\frac{(k+4)!}{k!} + 1 = (k^2+5k+5)^2[/latex]

Et voilà !!!

PS: je sais bien que niveau terminale, on aurait plutôt essayé de trouver des coefficients A, B et C tels que (Ax^2 + Bx + C)^2 soit égal à x^4 -2x^3 -x^2 +2x + 1 en identifiant les coefficients, mais bon voilà: pas envie :p :p :p



Edit : Ah mais suis-je bête !!! Ca tient en 3 lignes !!!
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+4) . (k+2)(k+3) =
(k^2+5k+4) . (k^2+5k+6) = (Q-1)(Q+1) =Q^2-1
avec Q = k^2+5k+5

 #7 - 02-11-2010 22:33:36

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré paefait

C'est (k²+5k+5)². Étonnant non ?


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 02-11-2010 23:02:35

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Prouver qu e(k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

on décompose et on obtient:
[TeX]=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1
=[(k+4)(k+1)]\time[(k+2)(k+3)]+1
=(k^2+5k+4)\time(k^2+5k+6)+1[/TeX]
or [latex] n(n+2)+1=(n+1)^2[/latex]
ce qui donne
[TeX](k^2+5k+4)(k^2+5k+6)+1=(k^2+5k+5)^2=a^2[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 02-11-2010 23:25:00

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 20

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 st un carré parfait

Calculons tout simplement:
[TeX] \frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+10 k^3 + 35 k^2 + 50 k + 25

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = k^4+(10 k^3+10k^2)+25k^2+50k+25

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2)^2+2*k^2*(5k+5) + (5k+5)^2

\frac{(k+4)!}{k!}+1 = (k^2 + 5k + 5)^2
[/TeX]
On a utiliser aux passages des lignes 3 à 4 et 4 à 5 l'identité remarquable:
[TeX](a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2 [/TeX]

 #10 - 03-11-2010 02:11:36

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est ub carré parfait

Si ca peut etre un carre de [latex]a[/latex], c'est qu'il peut etre de la forme [latex]k^2+bk+c[/latex] comme ci dessous
[TeX]\begin{array}{rl}\frac{(k+4) !}{k!}+1 & = (k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1 \\ & = k^4+10 k^3+35 k^2+50 k+25 \\ & =a^2 \\ & = (k^2+ b k+ c)^2 \\ & = k^4+ 2bk^3 + (2c+b^2)k^2 + 2bc k + c^2

\end{array}[/TeX]
il semble donc que [latex]b=c=5[/latex] convient... c'est donc bien un carre, et ce carre est
[TeX](k^2+5 k +5)^2[/TeX]

 #11 - 03-11-2010 07:25:15

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Prouver que (k+4)!/(!k)+1 est un carré parfait

[TeX](k+1)(k+2)(k+3)(k+4)+1=(k^2+3k+2)(k^2+7k+12)+1
=k^4+10k^3+35k^2+50k+25=(k^2+5k+5)^2[/TeX]


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #12 - 03-11-2010 10:03:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carér parfait

Allez, un petit pour le plaisir. J'en ai raté pas mal ce WE à ce que je vois smile
[TeX]\dfrac{(k+4)!}{k!}+1=k^4+10k^3+35k^2+50k+25[/TeX]
Puisqu'on veut montrer que c'est un carré, et que le coefficient de k^4 est 1, on essaye de l'écrire de la forme:
[TeX](k^2+ak+b)^2=k^4+a^2k^2+b^2+2ak^3+2abk+2bk^2[/TeX]
L'identification des termes en k^3 donne directement a=5 et b^2 donne b=5. On vérifie que les autres termes sont bien identiques et on en déduit:
[TeX]\dfrac{(k+4)!}{k!}+1=(k^2+5k+5)^2[/TeX]
Cela permet aussi de donner les 2 racines doubles de cette équation de degré 4 (lorsqu'on l'égale à 0).
Sinon, on peut aussi demander à: Wolfram
Moi aussi je m'y mets (mais cela me dérange un peu smile)

Merci pour cette énigmette smile

 #13 - 03-11-2010 11:21:01

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfaut

(k+4)!/k!+1=(k²+5k+5)²

 #14 - 03-11-2010 14:54:20

VAUTIER
Visiteur

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un catré parfait

(k+4)!/k! + 1 = (k^2+5k+5)^2
soit a = k^2+5k+5

 #15 - 03-11-2010 18:27:10

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 set un carré parfait

(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)+1=[latex](k^2+7k+12)(k^2+3k+2)+1[/latex]=[latex]k^4+10k^3+35k^2+50k+25[/latex]=[latex](k^2+5k+5)^2[/latex]

 #16 - 04-11-2010 12:12:31

ddpm
Visiteur

Prouver ue (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

En simplifiant on obtient :
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (a+1)(a-1) => [(k+1)(k+4)]*[(k+2)(k+3)] = (a+1)(a-1)
[k^2 + 5k + 4] * [k^2 + 5k + 6] = (a+1)(a-1) =>
[(k^2 + 5k + 5) - 1] * [(k^2 + 5k + 5) +1] = (a+1)(a-1)

Donc  a = k^2 + 5k + 5

 #17 - 05-11-2010 10:40:29

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Prouver que (k+4)!/(k!)++1 est un carré parfait

Salut,
[TeX]\frac{\left ( k+4 \right )!}{k!}+1\,\,\,avec\,k\in\mathbb{N}
\\= \left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )\left ( k+3 \right )\left ( k+4 \right )+1
\\= k^{4}+10k^{3}+35k^{2}+50k+25
\\= (k^{2}+5k+5)^{2}
\\=a^{2}
\\\Leftrightarrow
\\a=(k^{2}+5k+5)
\\\Rightarrow
\\a\in \mathbb{Z}
\\\Leftrightarrow
\\a^{2}\in \left \{ ensemble\, des\, carres\, parfaits \right \}
\\
\\
\\C.Q.F.D.[/TeX]

 #18 - 06-11-2010 00:36:39

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfaiy

Je trouve que je m'en suis bien tiré big_smile j'ai trouvé la bonne réponse *sentiment de joie* Youpi!!! tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 06-11-2010 15:04:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

rPouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

Comment ai-je fait pour ne pas aller jusqu'au bout ? En plus, j'avais eu l'idée de rassembler (k+1)(k+4) d'un côté, et (k+2)(k+3) de l'autre, alors pourquoi ai-je eu la flemme de juste écrire ce que ça donnait, p**ain ? mad

(Je m'en veux à mort lol)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #20 - 06-11-2010 16:38:32

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un carré prafait

Y'a vraiment un truc que je pige pas...

Tantôt tu ponds des théories géniales parfaitement démontrées, claires, brillantes...
Tantôt t'as même pas le niveau du boutonneux qui pose une question pour son DM...


The proof of the pudding is in the eating.

 #21 - 06-11-2010 16:49:13

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

prouver que (k+4)!/(k!)+1 est un xarré parfait

Moi aussi, ça m'épate, d'être à la fois aussi brillant et aussi naze. Je n'ai jamais su choisir lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 06-11-2010 18:28:23

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Prouver qeu (k+4)!/(k!)+1 est un carré parfait

Merde j'étais pas si loin.


plouf
 

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