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 #1 - 31-07-2011 11:49:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3556

multuple de 7 parfait

Trouver s'il existe le plus petit multiple de 7 comportant une fois et une seule chaque chiffre du système décimal.

Usage de l'informatique ou de la calculette interdit (donc justifier la méthode).

Bon amusement.

NB: Comme ça devrait être vite trouvé, même question avec 11.



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 #2 - 31-07-2011 23:15:12

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1586

multople de 7 parfait

On commence par écrire le plus petit possible: 1023456789
Ce n'est pas un multiple de 7
Par contre, 10234 l'est; de même 56 et 7. 89 n'en est pas un, mais 98 oui
La réponse est donc 1023456798

Pour 11, on va procéder différemment: la somme des chiffres d'indices pairs moins celle des chiffres d'indices impairs doit être un multiple de 11. Autrement dit; on aurait
x+y = 45
x-y = 0 (ou 11 ou -11 ou 22 ou -22 etc...)
x+y est impair: x et y n'ont pas la même parité; on va donc chercher les différences impaires uniquement
Pour une différence de +/- 33, x ou y vaudrait 6; c'est impossible, le plus petit étant 0+1+2+3+4 = 10

On va donc chercher x-y=11; autrement dit x=28 et y = 17
Le plus petit nombre possible commencerait par 102: il serait donc de bon ton de mettre 1 et 2 dans le même groupe, et 0 dans l'autre.
Avec 1+2+a+b+c, on totalise un maximum de 27: le groupe qui contient 1 et 2 devra donc faire 17 et celui qui contient 0 devra faire 28.
Là, on a que 2 possibilités: 1,2,3,5,6 / 0,4,7,8,9 ou 1,2,3,4,7 / 0,5,6,8,9
Les nombres correspondants sont:
1024375869 ou 1025364879
Le plus petit est donc 1024375869

 #3 - 01-08-2011 14:33:17

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

multople de 7 parfait

Me voici de retour de vacances. Il est temps de reprendre un peu d'exercice pour pour fin août smile

Je trouve plus facilement pour 11 que pour 7.
En effet, le critére de divisibilité par 11 est plus simple: la somme des termes de rangs pair (que je note p) doit être égale à la somme des termes de rang impair (i).
On cherche p et i chacun somme de 5 chiffres (entiers naturels inférieurs à 10 pour Mathias smile) distincts tels que:
p+i=45
p-i=0 ou |p-i|=11 ou |p-i| ne peut pas être > 15 donc les cas 22, 33, ... sont exclus.
p-i=0 est impossible à cause de la parité.
On cherche donc p-i=11. On verra ensuite p-i=-11.
On cherche donc p=28 et i=17.
On cherche un nombre de la forme 10.... (0 ne peut être en premiere position d'après l'énoncé).
On place 0 dans p, 1 dans i puis on essaye de placer alternativement dans i et p pour que les premiers chiffres soient les plus petits possibles.
Je trouve: 1024375869. Mais comme je n'ai pas écrit de petit bout de programme, je ne suis pas du tout sûr que ça soit le plus petit...

Je vais regarder pour 7.

Edit: Pour 7, j'utilise un autre méthode que ci dessus.
Le critère de divisibilité pour 7 est en partant de la droite:
1 3 2 -1 -3 -2 ...
Je divise le plus petit nombre de 10 chiffres différents: 1023456789 par 7. Le reste vaut 5.
J'en déduit qu'il faut ajouter 2 au critère de divisibilité.
En échangeant tout simplement le 8 et le 9 on passe de 1x9+3x8=33 à 1x8+3*9=35. Sans toucher aux positions des autres chiffres je viens bien d'augmenter de 2 le critère de divisibilité et donc je suis sûr que
1023456798 est divisible par 7 et est le plus petit.

 #4 - 01-08-2011 21:07:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Multiiple de 7 parfait

Question subsidiaire pour les + courageux:
Quel est le plus petit nombre qui ne peut diviser ce nombre parfait (composé des 10 chiffres représentés une seule fois) ?

 #5 - 01-08-2011 21:55:35

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Multiple de 7 parrfait

J'ai doublé le '6'. Voila que je bégaye maintenant smile
Merci pour la note, c'est corrigé.

 #6 - 02-08-2011 16:01:18

scarta
Elite de Prise2Tete
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Mltiple de 7 parfait

Pour la question subsidiaire, je dirais 100: il est en effet impossible de générer un tel nombre avec 2 zéros.
Quant à savoir si c'est le plus petit possible; c'est plus chaud: faut tout tester. Je compléterai la liste ci-dessous à l'occasion

Code:

2: 1234567890
3: 1234567890
4: 1235678904
5: 1234567890
6: 1234567890
7: 1023456798
8: 2345789016
9: 1234567890
10: 1234567890
11: 1024375869
12: 1235678904
13: 1023456798 (la réponse de 7 marche aussi, coup de pot; du coup on s'en rappellera pour 91)
14: 1023456798
15: 1234567890
16: 3456790128
17: 1023458769 (102 et 34 sont multiples de 17, avec les chiffres restants on a peu de choses à tester; par ailleurs c'est aussi un multiple de 19, 31 et 41)
18: 1234567890
19: 1023458769
20: 1345678920
21: 1023456798
22: 1924375860
23: 1380469752 (138 et 46 sont multiples de 23; et 9752 aussi)
24: 2345789016
25: 1234678950
26: 1023456798
27: 1234567980
28: 1023479856
29: 1458726390 (145, 0 et 87 sont multiples de 29; et 2639 aussi)
30: 1234567890
31: 1023458769
32: 3457960128
33: 1024375869
34: 5876910234 (on réarrange la réponse 17)
35: 1023476895 (10234 et 7 sont multiples de 7; on en cherche un dernier qui finit par 5)
36: 1235678904
37: 1483752096 (148 et 37 sont des multiples de 37; et 52096 aussi)
38: 1520476938 (152 et 38 sont des multiples de 38; et 4769 un multiple de 19)
39: 1023456798
40: 2345789160
41: 1023458769 (cf. 17)
42: 1023456798
43: 1293876450 (129, 387 et 645 sont des multiples de 43)
44: 1024375968
45: 1234567890
46: 1380469752
47: 9423517860 (94, 235 et 1786 sont multiples de 47)
48: 3456790128
49: 1023479856 (à tatons)
50: 1234678950
51: 1023458769
52: 1023457968 (à tatons)
53: 1597468230 (159 et 742 sont des multiples de 53, ainsi que 4823)
54: 1234567980
55: 1924375860
56: 1023479856
57: 1023458769
58: 1458726390
59: 
60: 1345678920
61:
62: 
63: 1023456798
64: 3457960128
65: 
66: 1924375860
67: 
68: 
69: 1380469752
70: 
71:
72: 2345789016
73:
74: 1483752096
75: 1234678950
76: 4769380152 (on réarrange la réponse 38)
77:
78: 1023456798
79:
80: 3456781920
81: 1234567980
82: 
83:
84: 1023479856
85:
86: 1293876450
87: 1458726390
88: 1924385760
89:
90: 1234567890
91: 1023456798
92: 1380469752
93: 1023458769
94: 9423517860
95: 
96: 3457960128
97: 
98: 1023479856
99: 1024375869
100: impossible

 #7 - 02-08-2011 17:54:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Multiple ed 7 parfait

Bien vu Scarta. Même analyse que la tienne, et sans avoir tout tester, c'est à peu près certain que les nombres inférieurs divisent au moins une fois le "parfait". A suivre...

 #8 - 02-08-2011 21:01:26

Franky1103
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Multiple de parfait

Bonjour,
J'avais l'intention de décomposer ce nombre de 10 chiffres (tous différents) en, par exemple, 5 sous-groupes de 2 chiffres (avec chaque nombre résultant des 2 chiffres, multiple de 7).
Mais, je me dis que, même si j'y arrive (et ce n'est pas gagné), le nombre final obtenu de 10 chiffres sera forcément multiple de 7, sans avoir cependant la certitude que c'est le plus petit.
Je dois donc trouver une autre méthode, mais je sèche un peu.
Bonne soirée.
Frank

 #9 - 03-08-2011 00:21:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Mltiple de 7 parfait

Rebonjour,

Bon, j'ai cherché un peu et je pense avoir trouvé la solution par "tatonnements".
Le plus petit nombre avec des chiffres tous différents, en s'interdisant le 0 en première place, est: 1023456789, qui n'est pas divisible par 7 car congru à 5 modulo 7. Si j'inverse le 8 et le 9, je "gratte" 98 - 89 = 9 qui rajouté au 5 donne 14 divisible par 7: gagné: réponse = 1023456798.

Comme je connais le caractère de divisibilité par 11, j'ai appliqué une méthode moins empirique pour la dernière question. La somme des 10 chiffres est 45, que je dois scinder en 2 groupes où la différence de la somme est divisible par 11. La relation 28 - 17 = 11 avec 28 + 17 = 45 semble parfaite. Je prends donc 12356 et 04789 et la réponse est 1024375869.

Bonne soirée.
Frank

 #10 - 03-08-2011 08:49:32

nodgim
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muktiple de 7 parfait

C'est OK Francky

 #11 - 03-08-2011 09:03:34

scarta
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multiple de 7 paefait

Question tordue++: quel est le plus petit premier qui ne divise aucun nombre écrit avec les chiffres de 0 à 9 utilisés une et une seule fois ?

 #12 - 03-08-2011 09:06:49

nodgim
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multiple de 7 paefait

Très bonne question! As tu la réponse ?

 #13 - 03-08-2011 10:11:49

Franky1103
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multiple de 7 oarfait

Bonjour nodgim,
Avec 11, ma solution était assez méthodique, donc j'ai trouvé sans surprise.
Par contre, avec 7, elle était très empirique: j'ai trouvé un peu par hasard.
Y a t-il une solution avec 7 plus structurée ?
Le caractère de divisibilité par 7 semble plus difficile à mettre en oeuvre que celui par 11.
Merci et bonne journée.
Frank

 #14 - 03-08-2011 11:42:27

scarta
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Mutiple de 7 parfait

Oui smile

 #15 - 03-08-2011 13:20:09

nodgim
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Multpile de 7 parfait

Franky1103 a écrit:

Bonjour nodgim,
Avec 11, ma solution était assez méthodique, donc j'ai trouvé sans surprise.
Par contre, avec 7, elle était très empirique: j'ai trouvé un peu par hasard.
Y a t-il une solution avec 7 plus structurée ?
Le caractère de divisibilité par 7 semble plus difficile à mettre en oeuvre que celui par 11.
Merci et bonne journée.
Frank

Perso, je n'ai pas de solution intelligente pour trouver la divisibilité par 7 avec ce nombre à 10 chiffres différents. Il existe des critères de divisibilité par 7, mais je ne pense qu'il puisse être efficace pour, par exemple, trouver tous les nombres divisibles par 7 dans le cadre de ce sujet. Ce n'était pas au départ le but de la question, mais on peut toujours y réfléchir.

 #16 - 03-08-2011 13:20:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Multipl de 7 parfait

scarta a écrit:

Oui smile

trouvé par l'analyse ?

 #17 - 04-08-2011 08:56:10

scarta
Elite de Prise2Tete
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multiple de 7 parfaot

Pour la division par 7 (et pour quasiment tous les nombres que j'ai donné sauf cas particuliers), la méthode est la même:  écrire une liste des petits multiples de 7, essayer ensuite d'en composer un certain nombre avec des chiffres tous différents.

Pour la "question++", j'ai trouvé un résultat par analyse avec un PC pour aider quand même (ne serait-ce que pour avoir une liste de premiers); mais j'ai quand même utilisé un PC ensuite pour vérifier que ce résultat était le plus petit possible.
L'idée était la suivante: si j'ai un premier avec un nombre important de 1 successifs (par rapport à la taille du nombre), j'ai de fortes chances pour que ses multiples aient des chiffres similaires (à condition qu'il y ait plus de 1 successifs que de chiffres dans le nombre avec lequel je multiplie).
Des premiers avec que des 1 dans la limite qui nous intéresse, il n'y a que 11 (le suivant est 1111111111111111111; trop long)
Du coup, je cherchais les nombres Z de la forme "1Nfois puis X" tels que N soit supérieur ou égal au nombre de chiffres de 987654321/Z. J'ai donc pu voir que N devait valoir au moins 5. Comme on cherche le plus petit, j'ai démarré avec N=5; et j'ai trouvé un nombre premier qui marche : 111119
J'ai ensuite vérifié par ordinateur que c'était bien une bonne solution et qu'elle était bien la plus petite.

 #18 - 04-08-2011 09:47:52

rivas
Elite de Prise2Tete
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Multiple e 7 parfait

Je n'ai toujours pas compris l'énoncé de la question subsidiaire sad
Y a-t-il une âme charitable pour tenter de m'expliquer la question?

Merci d'avance.

 #19 - 04-08-2011 10:22:03

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Multiple de 7 pparfait

Pour généraliser la question ++ j'aurai besoin de calculer : [latex]\prod_{\sigma \in S_{n}} P_{\sigma}[/latex] où [latex]S_n[/latex] est le

groupe symétrique d'ordre n,  [latex]P[/latex] est un polynôme de degré n et [latex]P_{\sigma}[/latex] désigne le

polynôme dont les coefficients sont ceux de [latex] P[/latex] permutés par [latex]\sigma[/latex].

Je ne suis pas certain que cela aboutisse mais c'est intéressant.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #20 - 04-08-2011 10:24:49

rivas
Elite de Prise2Tete
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Multiple de 7 parfai

Merci pour la clarification et bon courage smile

 #21 - 04-08-2011 10:25:47

nodgim
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Multiplee de 7 parfait

Pour rivas: la question subsidiaire est claire, on demande quel est le plus petit nombre qui ne peut pas diviser ce nombre composé des 10 chiffres différents représentés une seule fois (quel que soit l'ordre), et comme pour diviser par 100, il faut 2 zéros à la fin....

 #22 - 04-08-2011 10:29:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
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mulriple de 7 parfait

Yanyan a écrit:

Pour généraliser la question ++ j'aurai besoin de calculer : [latex]\prod_{\sigma \in S_{n}} P_{\sigma}[/latex] où [latex]S_n[/latex], est le

groupe symétrique d'ordre n  [latex]P[/latex] est un polynôme de degré n et [latex]P_{\sigma}[/latex] désigne le

polynôme dont les coefficients sont ceux de [latex] P[/latex] permutés par [latex]\sigma[/latex].

Je suis pas certain que cela aboutisse mais c'est intéressant.

Je pense que Scarta a dû avoir recours à un petit programme pour en venir à boût. N'étant pas du tout féru d'informatique, j'attends avec curiosité ce nombre mystère. Je soupçonne qu'il est à au moins 4 chiffres mais...

 #23 - 04-08-2011 10:46:02

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

multiplz de 7 parfait

Si quelqu'un est doué en informatique, il peut nous donner les valeurs du produit pour n petit.
Merci.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #24 - 04-08-2011 12:15:09

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
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multiple de 7 paefait

J'espère ne pas m'être trompé dans mon algo, j'ai fais ca en vitesse ...
j'ai pris les 1000 premiers premier donnés par wikipedia, et j'ai calculé bruteforce les plus petits 'parfait', il en existe apparemment pour chacun d'eux smile
si quelqu'un a la liste des premiers suivants, le calcul pour ces 1000 la a été instantané sur un portable moyenâgeux.

EDIT :
j'ai trouvé la liste des premiers jusque 50ooo, (49999 smile ) et pour tous il y a un nombre.

j'ai supprimé la liste, 1ooo lignes c'était beaucoup, et maintenant c'est pire smile
j'ai donc upload un fichier avec les valeurs :
http://www.prise2tete.fr/upload/Bamby2- … t_prem.txt

si quelqu'un a la liste des premiers suivants, le calcul pour ces 5133 la a été quasi instantané sur un portable moyenâgeux.

 #25 - 04-08-2011 13:00:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
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multiple de 7 parfaot

Je suis épaté par la perf, c'est un bon algo, comment marche t il ?
Sinon ici tu devrais trouver des nb premiers plus grands:
http://nombrespremiersliste.free.fr/

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