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 #1 - 06-11-2017 18:22:55

zobizob
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 8

Le ssept coins d'un cube

Vous disposez initialement de sept points correspondant à des coins distincts d'un cube de l'espace. Vous pouvez construire de nouveaux points en faisant le symétrique d'un point déjà construit par rapport à un autre point déjà construit.
Question : Est-il possible de construire le coin manquant du cube ?


 
Réponse :
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 #2 - 06-11-2017 18:45:38

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 398

les sept coibs d'un cube

Bonjour,
Soit A = (x,y,z) et B = (x',y',z') deux points.
Le symétrique de A par rapport à B est C = (x' + x' - x, y' + y' - y, z' + z' - z) = (2x' - x, 2y' - y, 2z' - z)
Pour que les 3 coordonnées de C soit simultanément impaires, il faut que x y et z soient simultanément impairs.
Si l'on place notre cube dans un répére orthonormé, en faisant coïncider un sommet avec l'origine et les 3 arêtes qui lui sont liées avec les 3 vecteurs directeurs, si l'on cherche à générer le sommet (1,1,1) à partir des 7 autres sommets, il faut disposer d'un autre point ayant ses 3 coordonnées impaires. Aucun des  7 autres sommets ne vérifie cette propriété,  on ne pourra donc jamais le réaliser.

 #3 - 06-11-2017 21:22:11

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

Les sep tcoins d'un cube

Bonjour zobizob,

la réponse est non : on définit un repère de l'espace de sorte que les coordonnées des sommets du cube soient 0 ou 1, et que le sommet manquant ait pour coordonnées (1;1;1). Or on peut montrer que si deux points A et B ont chacun au moins une coordonnée paire, c'est aussi le cas du symétrique de A par rapport à B. Tous les sommets initiaux ont au moins une coordonnée paire, c'est donc aussi le cas des points construits, on ne peut donc pas construire le sommet manquant.

 #4 - 06-11-2017 21:23:21

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

Les sept coins d'un cue

Sinon tu devrais laisser un peu plus de temps, au minimum 72h : sinon certains n'auront pas le temps de chercher ce qui peut s'avérer frustrant...

 #5 - 07-11-2017 09:20:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Les sept coins d'un cueb

Ce n'est pas possible.

Construire un symétrique C d'un pt A par rapport à un pt B conduit à ce que le pt B soit le milieu des pts A et C, soit la demi somme de chaque coordonnée.

xB = (xC + xA)/2 d'où xC = 2xB - xA.
Et pareil avec les 2 autres coordonnées.

On peut maintenant toujours donner au point manquant du cube les coordonnées (1,1,1) dans un repère orthonormé, son point opposé dans le cube étant en (0,0,0). On remarque alors que les 7 points comportent tous au moins 1 zéro dans leurs coordonnées, il n'y a parmi eux aucun point avec 3 coordonnées impaires. Les symétriques de ces points auront donc forcément au moins une coordonnée paire, d'après le calcul de construction indiqué ci dessus.

On ne peut donc atteindre aucun point à 3 coordonnées impaires, dont (1,1,1).

 

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