Bonjour zobizob,

la réponse est non : on définit un repère de l'espace de sorte que les coordonnées des sommets du cube soient 0 ou 1, et que le sommet manquant ait pour coordonnées (1;1;1). Or on peut montrer que si deux points A et B ont chacun au moins une coordonnée paire, c'est aussi le cas du symétrique de A par rapport à B. Tous les sommets initiaux ont au moins une coordonnée paire, c'est donc aussi le cas des points construits, on ne peut donc pas construire le sommet manquant.

Ce n'est pas possible.

Construire un symétrique C d'un pt A par rapport à un pt B conduit à ce que le pt B soit le milieu des pts A et C, soit la demi somme de chaque coordonnée.

xB = (xC + xA)/2 d'où xC = 2xB - xA.
Et pareil avec les 2 autres coordonnées.

On peut maintenant toujours donner au point manquant du cube les coordonnées (1,1,1) dans un repère orthonormé, son point opposé dans le cube étant en (0,0,0). On remarque alors que les 7 points comportent tous au moins 1 zéro dans leurs coordonnées, il n'y a parmi eux aucun point avec 3 coordonnées impaires. Les symétriques de ces points auront donc forcément au moins une coordonnée paire, d'après le calcul de construction indiqué ci dessus.

On ne peut donc atteindre aucun point à 3 coordonnées impaires, dont (1,1,1).