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 #1 - 23-08-2010 20:17:11

EfCeBa
Administrateur
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Une ddifférence de différence de cube multiple de 6

Un petit problème d'arithmétique sorti d'un classeur de lycée :

Soit un entier naturel N supérieur à 2, la différence entre la différence entre le cube de N et le cube de N+1 et la différence entre le cube de N et le cube de N-1 est un multiple de 6.

Si vous n'avez pas compris l'énoncé, le voici :
[TeX]((N+1)^3-N^3) - (N^3 - (N-1)^3) = 6k, k \in N[/TeX]
Qui peut me le prouver ?

Quelle est la valeur de k ?



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 #2 - 23-08-2010 20:35:06

emmaenne
Elite de Prise2Tete
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une différence de différence de cube miltiple de 6

Code:

((n+1)^3-n^3) - (n^3 - (n-1)^3) =
(n+1-n)((n+1)^2+n^2+n+n^2)-(n-n+1)(n^2+n^2-n+(n-1)^2)=
((n+1)^2+n^2+n+n^2)-(n^2+n^2-n+(n-1)^2)=
n^2+2n+1+n^2+n+n^2-n^2-n^2+n-n^2+2n-1=
2n+n+n+2n= 6n

si je ne me suis pas trompé


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 23-08-2010 20:47:43

scrablor
Expert de Prise2Tete
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ne différence de différence de cube multiple de 6

[TeX](n+1)^3+(n-1)^3-2 n^3=n^3+3n^2+3n+1+n^3-3n^2+3n-1-2n^3=6n[/TeX]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 23-08-2010 22:10:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Un edifférence de différence de cube multiple de 6

Ca doit marcher en développant ?..
[TeX]((N+1)^3 - N^3) - (N^3 - (N-1)^3)
= (N^3 + 3N^2 + 3N + 1 - N^3) - (N^3 - (N^3 - 3N^2 + 3N - 1))
= 6 N^2 + 6N[/TeX]
Donc cette différence est multiple de 6... Elle vaut [latex]6N(N+1)[/latex].

Un peu de détente, ça fait du bien smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 23-08-2010 23:09:39

HAMEL
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

unr différence de différence de cube multiple de 6

Ben il suffit juste de développer et résoudre l'équation, et ça fait 6N .


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #6 - 24-08-2010 00:25:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Une différence de différence de cubee multiple de 6

j'aime bien les trucs reposant pour l'esprit.

Y'a probablement une astuce mais la decomposition des cubes etant si facile que ca vaut me pas le coup de chercher.

(3N^2+3N+1)-(3N^2-3N+1)=6N tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 24-08-2010 00:36:34

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
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Une différence de différence de cube mulitple de 6

ma transcription du texte ne donne pas le même exercice, mais celui ci est faux,
alors que l'équation posé donne k=n.

mais a la lecture, il n'y a pas de raison d'inverser n+1/n et n/n-1.....

 #8 - 24-08-2010 00:42:05

Vasimolo
Le pâtissier
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une différence de différence de cube multiple se 6

Pour la première partie de la question en remarquant que n^3 et n sont congrus modulo 6 la réponse est immédiate . Pour la deuxième partie il faut faire le calcul explicite et on trouve finalement 6n donc k=n smile

Rafraichissant wink

C'est pas comme du ...

Vasimolo lol

 #9 - 24-08-2010 02:32:14

dhrm77
L'exilé
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une différence de différence de cube multiole de 6

Et bien c'est simple, il suffit de factoriser...

Le cube de n+1 est n3+3n2+3n+1
donc la difference avec le cube de n est 3n2+3n+1

Le cube de n-1 est n3-3n2+3n-1
donc la difference avec le cube de n est 3n2-3n+1

donc la difference des differences est (3n2+3n+1)-(3n2-3n+1) = 6n qui est bien  un multiple de 6.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 24-08-2010 03:06:06

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
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Une différence de différence de cube muultiple de 6

Soit :
[TeX]A = ((N + 1)^3 - N^3) - (N^3 - (N-1)^3)
A = N^3 + 3N^2 + 3N + 1 - N^3 - N^3 + N^3 - 3N^2 + 3N - 1
A = 6N[/TeX]
N étant un entier naturel, A sera donc un multiple de 6. Par ailleurs, k prendra la valeur de N.

C'est sympa comme problème ! wink

Alexein41.

 #11 - 24-08-2010 06:47:31

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1747

Une difféérence de différence de cube multiple de 6

Bonjour,

Je pensais à une démonstration par récurrence, mais il suffit de développer l'expression au rang [latex]N[/latex]
[TeX](N+1)^3-2N^3+(N-1)^3=6N[/TeX]
donc l'expression est vérifiée (multiple de 6) avec [latex]k=N[/latex]

A bientôt !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 24-08-2010 07:25:03

scarta
Elite de Prise2Tete
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une différebce de différence de cube multiple de 6

On développe tout simplement et on trouve 6N = 6k

 #13 - 24-08-2010 08:28:39

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

une diffétence de différence de cube multiple de 6

En factorisant grâce aux identités remarquables a^3-b^3 = (a-b)(a²+ab+b²) puis a²-b² = (a-b)(a+b), on trouve, après simplification, k=n

 #14 - 24-08-2010 10:24:47

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 609

une différence de différence de cube multiple dr 6

[TeX]((n+1)^3-n^3))-(n^3-(n-1)^3)
=n^3+3n^2+3n+1-n^3-n^3+n^3-3n^2+3n-1=6n[/TeX]
donc k=n

 #15 - 24-08-2010 16:34:10

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Une difféérence de différence de cube multiple de 6

La façon la plus "brutale" consiste à appliquer l'identité remarquable:
[TeX]a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)[/TeX]
Posons [latex]D(N) = ((N+1)^3-N^3)-(N^3-(N-1)^3)[/latex]

Je détaille les étapes:
[TeX]D(N) = (N-1-N)((N+1)^2+N(N+1)+N^2)
- (N-N+1)(N^2+N(N-1)+(N-1)^2)[/latex] (application de l'identité remarquable)
[latex]D(N) = (N+1)^2 - (N-1)^2 + N(N+1-(N-1))[/latex] (simplification et réordonnement des termes)
[latex]D(N) = 4N + 2N = 6N[/TeX]
Donc D(N) est bien divisible par 6 et k=N

Mais cela n'est pas très "arithmétique".
Si on avait seulement voulu montrer la divisibilité par 6 de façon plus arithmétique, j'aurais procédé comme suit:
La parité de [latex]N^3[/latex] est la même que celle de [latex]N[/latex] (voir le détail pour le raisonnement identique pour 3 ci-dessous)
[TeX]N-1[/latex] et [latex]N[/latex] d'une part et [latex]N[/latex] et [latex]N+1[/latex] d'autre part sont de parités différentes donc:
[latex](N+1)^3-N^3[/latex] et [latex]N^3-(N-1)^3[/latex] sont tous deux impairs donc D(N) est divisible par 2 (pair)
De même, il est assez simple de montrer que [latex]N[/latex] et [latex]N^3[/latex] ont le même reste dans la division par 3 autrement dit que: [latex]N^3 \equiv N [3][/latex] (cela est vrai trivialement pour 0, 1 et 2 et par récurrence en développant [latex](N+3)^3[/latex] on prouve simplement que c'est congru à [latex]N^3[/latex] donc à [latex]N[/latex] donc à [latex]N+3[/latex] modulo 3)
Regardons donc D(N) modulo 3:
D'après ce qui précède:
[latex]D(N) \equiv N+1-N-(N-(N-1)) \equiv 0 [3][/TeX]
Donc D(N) est divisible par 3

Et donc D(N) est toujours divisible par 6.
Il est vrai que cette démonstration ne donne pas 'k' mais je la trouve plus arithmétique et donc je l'aime bien smile

Voila, voila, merci pour cet exercice smile

 #16 - 25-08-2010 17:47:53

Valou1412
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 10

Une différence de différence de cube multiple de

Salut tout le monde
Lorsque l'on développe toute l'expression et que l'on réduit on obtient.
((n+1)^3-n^3)-(n^3-(n-1)^3)= 6n

Donc le résultat de ((n+1)^3-n^3)-(n^3-(n-1)^3) est donc bien toujours un multiple de 6, et k=n. On obtient 6 fois le n utilisé pour cette différence de cubes.

 #17 - 26-08-2010 20:55:34

EfCeBa
Administrateur
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Une différence de différenec de cube multiple de 6

Je dois bien avouer que le plus compliqué était de comprendre l'énoncé littéral, mais j'avais déjà fait le boulot. Le reste était du développement d'équation.

Bravo à tous, mention spéciale pour rivas avec une démonstration arithmétique bien trouvée et à Mths qui a réussi à trouver 6n(n+1) big_smile

 #18 - 26-08-2010 21:43:45

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

une différence de différence de cube lultiple de 6

le minimum est de verifier les equations avec des exemples simples, Ici pour Mths verifier si -1 donne effectivement 0! boooh mad


The proof of the pudding is in the eating.

 #19 - 26-08-2010 23:55:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

yne différence de différence de cube multiple de 6

Tout ça pour une p**ain d'erreur de signe... Vous me faites ch**r, j'ai pas le droit d'être fatigué et/ou inattentif ? lol


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 #20 - 27-08-2010 00:34:41

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Une différence de différence de cub multiple de 6

Merci pour la mention smile et pour l'exercice. C'est bon un peu d'arithmétique. Ca manque parfois un peu smile
Je vais essayer d'en proposer de mon coté.

 #21 - 31-08-2010 22:49:10

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Une diifférence de différence de cube multiple de 6

J'adore les réponses de Vasimolo simples claires(preque congru connais pas mais comme dis si bien Kosmogol GETA) et courtes; pratiques pour économiser de la place sur les forum smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 22-09-2010 07:50:44

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

une différencr de différence de cube multiple de 6

Bjr à tous,
Un peu par hasard ce matin, je viens de découvrir ce forum "prise de tête" smile)
Allez je me lance. Sans regarder vos solutions, voici la mienne.

On a (n+1)³-n³=3n²+3n+1, et n³-(n-1)³=3n²-3n+1
donc en soustrayant, on obtient [(n+1)³-n³] - [n³-(n-1)³] = 6n
Donc qlq soit n choisi, la "différence du pb" donnera toujours 6n
6k=6n, donc k=n...
Comme l'énoncé impose n>2, on peut prendre n=k=3

TiLapiot

 #23 - 22-09-2010 09:23:32

MthS-MlndN
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Lieu: Rouen

Une diffrence de différence de cube multiple de 6

Bienvenue par ici smile

Puis-je te recommander de jeter un oeil aux énigmes officielles ? wink


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