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 #1 - 23-08-2010 20:17:11

EfCeBa
Administrateur
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une différence fe différence de cube multiple de 6

Un petit problème d'arithmétique sorti d'un classeur de lycée :

Soit un entier naturel N supérieur à 2, la différence entre la différence entre le cube de N et le cube de N+1 et la différence entre le cube de N et le cube de N-1 est un multiple de 6.

Si vous n'avez pas compris l'énoncé, le voici :
[TeX]((N+1)^3-N^3) - (N^3 - (N-1)^3) = 6k, k \in N[/TeX]
Qui peut me le prouver ?

Quelle est la valeur de k ?



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 #2 - 23-08-2010 20:35:06

emmaenne
Elite de Prise2Tete
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une différence de différence de cube multiplr de 6

Code:

((n+1)^3-n^3) - (n^3 - (n-1)^3) =
(n+1-n)((n+1)^2+n^2+n+n^2)-(n-n+1)(n^2+n^2-n+(n-1)^2)=
((n+1)^2+n^2+n+n^2)-(n^2+n^2-n+(n-1)^2)=
n^2+2n+1+n^2+n+n^2-n^2-n^2+n-n^2+2n-1=
2n+n+n+2n= 6n

si je ne me suis pas trompé


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 23-08-2010 20:47:43

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Une différence de différnece de cube multiple de 6

[TeX](n+1)^3+(n-1)^3-2 n^3=n^3+3n^2+3n+1+n^3-3n^2+3n-1-2n^3=6n[/TeX]


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 23-08-2010 22:10:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Une différence de différence de cube mulitple de 6

Ca doit marcher en développant ?..
[TeX]((N+1)^3 - N^3) - (N^3 - (N-1)^3)
= (N^3 + 3N^2 + 3N + 1 - N^3) - (N^3 - (N^3 - 3N^2 + 3N - 1))
= 6 N^2 + 6N[/TeX]
Donc cette différence est multiple de 6... Elle vaut [latex]6N(N+1)[/latex].

Un peu de détente, ça fait du bien smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 23-08-2010 23:09:39

HAMEL
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Une différence de diffférence de cube multiple de 6

Ben il suffit juste de développer et résoudre l'équation, et ça fait 6N .


-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !

 #6 - 24-08-2010 00:25:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

une différence de différence de cube multiplr de 6

j'aime bien les trucs reposant pour l'esprit.

Y'a probablement une astuce mais la decomposition des cubes etant si facile que ca vaut me pas le coup de chercher.

(3N^2+3N+1)-(3N^2-3N+1)=6N tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 24-08-2010 00:36:34

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 152

Une ddifférence de différence de cube multiple de 6

ma transcription du texte ne donne pas le même exercice, mais celui ci est faux,
alors que l'équation posé donne k=n.

mais a la lecture, il n'y a pas de raison d'inverser n+1/n et n/n-1.....

 #8 - 24-08-2010 00:42:05

Vasimolo
Le pâtissier
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une différence de différencr de cube multiple de 6

Pour la première partie de la question en remarquant que n^3 et n sont congrus modulo 6 la réponse est immédiate . Pour la deuxième partie il faut faire le calcul explicite et on trouve finalement 6n donc k=n smile

Rafraichissant wink

C'est pas comme du ...

Vasimolo lol

 #9 - 24-08-2010 02:32:14

dhrm77
L'exilé
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une différence dr différence de cube multiple de 6

Et bien c'est simple, il suffit de factoriser...

Le cube de n+1 est n3+3n2+3n+1
donc la difference avec le cube de n est 3n2+3n+1

Le cube de n-1 est n3-3n2+3n-1
donc la difference avec le cube de n est 3n2-3n+1

donc la difference des differences est (3n2+3n+1)-(3n2-3n+1) = 6n qui est bien  un multiple de 6.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 24-08-2010 03:06:06

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
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Une différene de différence de cube multiple de 6

Soit :
[TeX]A = ((N + 1)^3 - N^3) - (N^3 - (N-1)^3)
A = N^3 + 3N^2 + 3N + 1 - N^3 - N^3 + N^3 - 3N^2 + 3N - 1
A = 6N[/TeX]
N étant un entier naturel, A sera donc un multiple de 6. Par ailleurs, k prendra la valeur de N.

C'est sympa comme problème ! wink

Alexein41.

 #11 - 24-08-2010 06:47:31

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1787

une différence de différence de cybe multiple de 6

Bonjour,

Je pensais à une démonstration par récurrence, mais il suffit de développer l'expression au rang [latex]N[/latex]
[TeX](N+1)^3-2N^3+(N-1)^3=6N[/TeX]
donc l'expression est vérifiée (multiple de 6) avec [latex]k=N[/latex]

A bientôt !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 24-08-2010 07:25:03

scarta
Elite de Prise2Tete
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Une différence de diféfrence de cube multiple de 6

On développe tout simplement et on trouve 6N = 6k

 #13 - 24-08-2010 08:28:39

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

une difdérence de différence de cube multiple de 6

En factorisant grâce aux identités remarquables a^3-b^3 = (a-b)(a²+ab+b²) puis a²-b² = (a-b)(a+b), on trouve, après simplification, k=n

 #14 - 24-08-2010 10:24:47

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une différence de différence dde cube multiple de 6

[TeX]((n+1)^3-n^3))-(n^3-(n-1)^3)
=n^3+3n^2+3n+1-n^3-n^3+n^3-3n^2+3n-1=6n[/TeX]
donc k=n

 #15 - 24-08-2010 16:34:10

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

une différence de diffétence de cube multiple de 6

La façon la plus "brutale" consiste à appliquer l'identité remarquable:
[TeX]a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)[/TeX]
Posons [latex]D(N) = ((N+1)^3-N^3)-(N^3-(N-1)^3)[/latex]

Je détaille les étapes:
[TeX]D(N) = (N-1-N)((N+1)^2+N(N+1)+N^2)
- (N-N+1)(N^2+N(N-1)+(N-1)^2)[/latex] (application de l'identité remarquable)
[latex]D(N) = (N+1)^2 - (N-1)^2 + N(N+1-(N-1))[/latex] (simplification et réordonnement des termes)
[latex]D(N) = 4N + 2N = 6N[/TeX]
Donc D(N) est bien divisible par 6 et k=N

Mais cela n'est pas très "arithmétique".
Si on avait seulement voulu montrer la divisibilité par 6 de façon plus arithmétique, j'aurais procédé comme suit:
La parité de [latex]N^3[/latex] est la même que celle de [latex]N[/latex] (voir le détail pour le raisonnement identique pour 3 ci-dessous)
[TeX]N-1[/latex] et [latex]N[/latex] d'une part et [latex]N[/latex] et [latex]N+1[/latex] d'autre part sont de parités différentes donc:
[latex](N+1)^3-N^3[/latex] et [latex]N^3-(N-1)^3[/latex] sont tous deux impairs donc D(N) est divisible par 2 (pair)
De même, il est assez simple de montrer que [latex]N[/latex] et [latex]N^3[/latex] ont le même reste dans la division par 3 autrement dit que: [latex]N^3 \equiv N [3][/latex] (cela est vrai trivialement pour 0, 1 et 2 et par récurrence en développant [latex](N+3)^3[/latex] on prouve simplement que c'est congru à [latex]N^3[/latex] donc à [latex]N[/latex] donc à [latex]N+3[/latex] modulo 3)
Regardons donc D(N) modulo 3:
D'après ce qui précède:
[latex]D(N) \equiv N+1-N-(N-(N-1)) \equiv 0 [3][/TeX]
Donc D(N) est divisible par 3

Et donc D(N) est toujours divisible par 6.
Il est vrai que cette démonstration ne donne pas 'k' mais je la trouve plus arithmétique et donc je l'aime bien smile

Voila, voila, merci pour cet exercice smile

 #16 - 25-08-2010 17:47:53

Valou1412
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 10

une différence de différence de cube mumtiple de 6

Salut tout le monde
Lorsque l'on développe toute l'expression et que l'on réduit on obtient.
((n+1)^3-n^3)-(n^3-(n-1)^3)= 6n

Donc le résultat de ((n+1)^3-n^3)-(n^3-(n-1)^3) est donc bien toujours un multiple de 6, et k=n. On obtient 6 fois le n utilisé pour cette différence de cubes.

 #17 - 26-08-2010 20:55:34

EfCeBa
Administrateur
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Messages : 22×7×223

Une différence de différence de cue multiple de 6

Je dois bien avouer que le plus compliqué était de comprendre l'énoncé littéral, mais j'avais déjà fait le boulot. Le reste était du développement d'équation.

Bravo à tous, mention spéciale pour rivas avec une démonstration arithmétique bien trouvée et à Mths qui a réussi à trouver 6n(n+1) big_smile

 #18 - 26-08-2010 21:43:45

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Une différence de différnece de cube multiple de 6

le minimum est de verifier les equations avec des exemples simples, Ici pour Mths verifier si -1 donne effectivement 0! boooh mad


The proof of the pudding is in the eating.

 #19 - 26-08-2010 23:55:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Une différencce de différence de cube multiple de 6

Tout ça pour une p**ain d'erreur de signe... Vous me faites ch**r, j'ai pas le droit d'être fatigué et/ou inattentif ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #20 - 27-08-2010 00:34:41

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Une différence dde différence de cube multiple de 6

Merci pour la mention smile et pour l'exercice. C'est bon un peu d'arithmétique. Ca manque parfois un peu smile
Je vais essayer d'en proposer de mon coté.

 #21 - 31-08-2010 22:49:10

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Une diféfrence de différence de cube multiple de 6

J'adore les réponses de Vasimolo simples claires(preque congru connais pas mais comme dis si bien Kosmogol GETA) et courtes; pratiques pour économiser de la place sur les forum smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 22-09-2010 07:50:44

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

une différenve de différence de cube multiple de 6

Bjr à tous,
Un peu par hasard ce matin, je viens de découvrir ce forum "prise de tête" smile)
Allez je me lance. Sans regarder vos solutions, voici la mienne.

On a (n+1)³-n³=3n²+3n+1, et n³-(n-1)³=3n²-3n+1
donc en soustrayant, on obtient [(n+1)³-n³] - [n³-(n-1)³] = 6n
Donc qlq soit n choisi, la "différence du pb" donnera toujours 6n
6k=6n, donc k=n...
Comme l'énoncé impose n>2, on peut prendre n=k=3

TiLapiot

 #23 - 22-09-2010 09:23:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Une ifférence de différence de cube multiple de 6

Bienvenue par ici smile

Puis-je te recommander de jeter un oeil aux énigmes officielles ? wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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(1) — N au cube moins n est divisible par 3 (1) — Enigme la difference (1) — Montrer que pour tout entier naturel n le nombre 3n2+3n+6 multiple de 6 (1) — Developper une difference de cubes (1) — Les 7 premier multiple du nombre 6 (1) — N au cube - n divisible par 6 (1) — (1) — Le cube math developper (1) — Mathematique : le cube d une difference (1) — Expression litterale la difference entre 12 et le cube de a (1) — Ncube - n multiple de 6 (1) — Cubes multiples de 6 (1) — (1) — Demontrer que 3n2+3n+6 est multiple de 6 (1) — Difference cubes enigmes (1) — Identites remarquables cube d une difference demonstration (1) — Enigme mathematique identites remarquables (1) — (1) — 3n1 calcul litteral identite remarquable (1) — N3-3n2+2n multiple de 6 (1) — Des devinettes sur les identites remarquables (1) — 3n2+3n+6=6k (1) — (1) — (1) — Demontrer que n(n?+5) est divisible par 3 (1) — Identites remarquables cube (1) — Sn =3n2+4n (1) — Identite remarquable devinette (1) — Demonstration n3 - n est un multiple de 6 (1) — (1) — (1) — N au cube e - n est toujours divisible par 6 (1) — Demonstration identite remarquable cube (1) — (1) — Enigme des cubes maths (1) — Un+1=un+3n2-3n+1 (1) — Difference de cube mathematique (1) — (1) — Devolpper des expression a 3 multiple (1) — N au cube moins n est toujours divisible par 6 (1) — Montre la difference du cube 10 et du cube 6 (1) — Demontrer que 3n2+3n+6 multiple de 6 (1) — Trouver des devinettes avec des multiple (1) — Reduire l expression litterale (n+1)n+(n+3) (1) — Developper une diference au cube (1) — Developper une expression au cube (1) — Les multiple de six (06) (1) — (1) — Developpement equation au cube (1) — 3n2%2b3n%2b7 (1) — (1) — Cube multiple de 2 (1) — Demontrer que 3n^2+3n+6 est un multiple de 6 par recurrence (1) — Verifier que pour tout entier n different 0 un+1/un =(n+1)3/3n3 (1) — Demonstration par recurrence au cube (1) — Difference de deux cubes entiers (1) — (1) — N cube - n multiples de 6 (1) — La difference de deux nombre au cube formule (1) — Enigmes sur les identites remarquables (1) — Demontrer par recurrence que le nombre 3n^2+3n+6 est un multiple de 6 (1) — Les identites remarquables au cube (1) — Exercice les multiples devinette (1) — Developpement de difference au cube (1) — Montrer que pour tout entier naturel n le nombre 3n2 + 3n 6 est multiple de 9 (1) — (1) — Montrez que ncube-n est divisible par 6 (1) — Maths devinettes d identite remarquable (1) — Montrer que pour tout entier naturel n 3n2+3n+6 est multiple de 6 pas par recurrence (1) — A au cube multiplie par b au cube (1) — Difference cube (1) — Demonstration par recurrence 5^n=> 4^n +3n (1) — Difference de deux cubes en math (1) — Math difference au cube (1) — (1) — Montrer que quel que soit l entier naturel n le nombre n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6 (1) — (1) — -2n3+3n2+3n+1 (1) — Exercice difference de a et b au cube (1) — Devinettes mathematiques: identite remarquable (1) — Identite remarquable resultats multiple de 8 (1) — (1) — Cube multipe de 2 (1) — Montrer que 5n cube +n est multiple de 6 (1) — Identite remarquable le cube de la difference (1) — Montrer que pour tout entier n le nombre 3n2+3n+6 est un multiple de 6 (1) — Developper (a+b)^3 montrer divisible par 3 (1) — Recurrence 3(n+1)3<3n3 (1) — Devinette avec identite remarquable (1) — (1) — Difference d un cube (1) — Un +1/un = n+1 au cube/ (1) — N(n+1)(2n+1) multiple de 6 (1) — Montrer que (n+3)3= n3+3n2+3n+1 (1) — Recurrence divisibilite (1) — Montrer en equation que le resultat est un multiple (1) — (1) — Exercices logique maths montrer que n au cube moins n est un multiple de 3 (1) — K=(3n+2)(3n-2)+1 montrez la parite dee k (1) — N^3-n multiple de 6 (1) — Recurrence 3n^2+3n+6 divisible (1) —

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