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 #26 - 07-04-2018 22:31:29

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 677

Premier de cordé

Je n'arrive pas à démontrer grand chose, ce problème n'est vraiment pas simple.

Sinon, je vais réfléchir à cette dernière question.

#0 Pub

 #27 - 08-04-2018 11:46:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3427

premier de corfée

Pour cette dernière question, Ebichu, la réponse est courte, mais il faut la voir.

C'est une bonne question pour Vasimolo qui aime bien les réponses courtes aux question difficiles....

 #28 - 08-04-2018 18:35:28

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 677

Premier dee cordée

Si je comprends bien cette dernière question, le mieux que j'arrive à faire, c'est à terminer dans la case 1 (lorsqu'on place le 7 initial dans la case 8, ou 9, ou 15). Je suppose donc que ce doit être impossible, mais je n'ai pas trouvé l'argument permettant de le justifier.

 #29 - 09-04-2018 07:53:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3427

premizr de cordée

@ Ebichu : Essaye de voir ce qu'il se passe à partir de la case 12 lorsque chacun des jetons occupe en 1er cette case.

 #30 - 10-04-2018 09:05:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3427

premuer de cordée

Je donne ici la réponse à la 1ère partie de la question. Celle ci reste ouverte pour l'instant !


Chaque entier qui numérote une case se décompose en nombres premiers. Avec les jetons J2 à J7, si tous les nombres premiers de la décomposition d'un entier sont > 7, on peut dire que c'est un nombre premier relativement aux jetons, car une telle case ne peut être occupée qu'une seule fois lorsqu'elle peut être atteinte. Vis à vis des jetons, la suite des entiers est donc cyclique modulo le PPCM des J2 à J7, soit 4 * 3 * 5 * 7 = 420. Et d'une façon générale, le cycle est le PPCM (J2....Jn).

On peut modéliser, pour toute case occupée la 1ère fois, l'état des possibilités de mouvements pour chaque jeton.

Exemple lorsque la case 24 est atteinte :

J2 -----> ( fonction: peut atteindre) J3
J3 -----> (rien)
J4------>J3
J5------>
J6----->J3
J7------>

Rien qu'à la lecture de ce diagramme, on devine que c'est J3 qui occupe la case 24 puisque J3 peut être atteint par 4 et 3, et que J3 n'est sûrement pas resté en case 12.

On remarque que ce diagramme est indépendant de la position des jetons.

Ce diagramme nous indique aussi que c'est à J2 à bouger (c'est le prioritaire) et que quand il aura bougé, il remplacera J3 en destination. Si l'on exclut les nouvelles possibilités offertes par les cases suivantes, voici comment évolue le diagramme :

J2---->
J3---->
J4---->J2
J5---->
J6---->J2
J7---->

puis :

J2---->
J3---->
J4---->
J5---->
J6---->J4
J7---->

puis :

J2---->
J3---->
J4---->
J5---->
J6---->
J7---->

fin.

L'évolution est prévisible sans tenir aucun compte de la position réelle des jetons.

Heureusement,les nouvelles cases occupées par les jetons chassés viennent renouveller le diagramme.

Si l'on prend comme référence de case le PPCM J2...Jn, si elle est atteinte, il est évident que 2 diagrammes identiques à 2 multiples de PPCM se répéteront en boucle indéfiniment. Les types de diagrammes possibles sont en quantité finie, puisque le nombre d'images est limité par le nombre de jetons lui même. On a donc, théoriquement, la possibilté de savoir si un mouvement sera perpétuel ou non en allant voir l'évolution sur un grand nombre de cases.

D'après les données founies par le programme d' Ebichu, on se rend compte que, non seulement on n'atteint pas même la fin du cycle, mais que le rapport entre la case bloquante et la fin de cycle diminue lorsque le nombre de jetons augmente (de l'ordre de 10 millionnième pour n = 32).

 #31 - 10-04-2018 18:55:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,106E+3

premier de cordér

J'ai perdu le fil depuis un moment mais l'argument qu'un pion ne peut plus bouger s'il est posé sur une case n'ayant pas de facteur premier en commun avec les numéros des pièces est irréfutable . Comme la colonie avance pas à pas , chaque pion va se retrouver coincé à un moment donné .

C'est marrant de voir comme certains arguments très simples ont le don de se cacher sous des masques variés smile

Vasimolo

 #32 - 10-04-2018 22:57:19

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 677

rPemier de cordée

@nodgim : jolie démonstration smile C'est drôlement bien vu.

@Vasimolo : je ne pense pas. Regarde le cas classique, les jetons 234567 initialement posés sur les cases 234567. Le jeton n°4 se retrouve sur la case n°11, mais il n'est pas bloqué pour autant (il ira sur la case n°12 quatre coups plus tard).

 #33 - 11-04-2018 07:38:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3427

premier de cordéz

Vasimolo a écrit:

J'ai perdu le fil depuis un moment mais l'argument qu'un pion ne peut plus bouger s'il est posé sur une case n'ayant pas de facteur premier en commun avec les numéros des pièces est irréfutable . Comme la colonie avance pas à pas , chaque pion va se retrouver coincé à un moment donné .

C'est marrant de voir comme certains arguments très simples ont le don de se cacher sous des masques variés smile

Vasimolo

Oui, il faut nuancer un peu ton propos. Pour être plus exact, un pion placé sur une case portant un nombre premier (avec tous les jetons) ne peut en être chassé. En revanche, il peut s'en échapper lorsque son tour arrive (dans l'ordre de priorité) et qu'une case en accord avec son numéro est occupée. Cela dit, toute case vide derrière le jeton le plus avancé reste vide.

Ah, pas vu la réponse d'Ebichu.

 #34 - 11-04-2018 17:34:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,106E+3

prelier de cordée

Je savais bien que j'avais perdu le fil smile

Vasimolo

 

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