Enigme Découpe de cercle (simple ?) @ Prise2Tete

yanbena · #1

Bonsoir,

Alors, je me suis donné un petit problème de géométrie plane que je pensais résoudre en 5min, mais qui en réalité, me semble assez tordu. Je pense qu'il faut "voir le truc", mais au bout d'une heure, toujours rien. Je n'ai trouvé ce problème nulle part sur internet, j'avais juste besoin de calculer ces aires pour un programme

Bref, voici la chose :

Prenons un carré de coté 2r et traçons son cercle inscrit (de rayon r ducoup). On coupe ce carré en 9 parties égales.

Question : Quelles sont les aires de l'intersection des petits carrés et des portions de cercle ? Par exemple, pour le carré central, puisque l'intersection est le petit carré, l'aire est de 4/9 * r^2.

Ebichu · #2

En 30 secondes, je dirais qu'on peut s'en tirer en intégrant racine(1-x^2). Si ça ne t'aide pas, je peux détailler.

yanbena · #3

Ah parfait merci J'avais pas pensé a considérer les séparations comme des cordes ^^ Bon, peut être a cause de l'heure x)

enigmatus · #4

Bonsoir,
L'idée simple d'Ebichu en #2 est quand même assez laborieuse à mettre en forme.
Notations :

Code:

sq2=sqrt(2)
ang1=asin(1/3)
ang2=asin(2*sq2/3)

Résultats :

Code:

centre=4*r*r/9
cote  =r*r*(sin(2*ang1)/2+ang1-2/9)
diago =r*r/4*(sin(2*ang2)+2*ang2-sin(2*ang1)-2*ang1-4*((2*sq2-1))/9)

Valeurs numériques, pour r=1 :

Code:

centre=0.4444444444444444
cote  =0.4318843677592542
diago =0.24240268452708305

On vérifie que :
centre + 4*(cote+diago) = pi

Édité : Simplification
En fait, ang1 et ang2 sont complémentaires, et on peut simplifier les formules.

Code:

centre=4*r*r/9
cote  =r*r*(2*(sq2-1)/9+ang1)
diago =r*r*(pi/4-(2*sq2-1)/9-ang1)

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#1 - 06-05-2018 00:27:38

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