Enigmes

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 #1 - 09-11-2010 16:19:48

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

ceecle vicieux

Aller, une autre, plus accessible :

Marie-Jeanne, Johnnie W. et Brigitte parcourent un cercle en partant du même point, chacun à une vitesse constante de son choix et dans le sens de son choix.

Au bout d'une heure, Serge, partant du centre du cercle, fait instantanément et bout à bout les déplacements qui lui permettrait d'atteindre Brigitte en partant du centre, Marie Jeanne en partant du centre et Johnnie W. en partant du centre. Serge se retrouve à nouveau au centre.
Spoiler : [Afficher le message] Il effectue trois translations successives... Est-ce plus clair ?

Au bout de deux heures, s'il a la même démarche, où Serge va-t-il se retrouver ?

Comme d'habitude, justifier (par des arguments mathématiques, je ne me suis pas trompé de section), c'est mieux...



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 #2 - 09-11-2010 16:25:36

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Cercle viieux

Au bout d'une heure, Serge, partant du centre du cercle, fait instantanément et bout à bout les déplacements qui lui permettrait d'atteindre Brigitte en partant du centre, Marie Jeanne en partant du centre et Johnnie W. en partant du centre. Serge se retrouve à nouveau au centre.

vous pouvez répéter la question ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 09-11-2010 17:36:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Cerce vicieux

On se place dans C , on suppose que le cercle est de rayon 1 de centre 0 et que tout le monde part de 1 . On note a , b , c l'affixe des trois points après une heure , on a : a+b+c=0 . Une heure plus tard on cherche donc a²+b²+c² .

a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+ac+bc)=-2abc(1/a+1/b+1/c) .

Mais 1/a est le conjugué de a , de même pour b et c... donc
[TeX]a^2+b^2+c^2=-2abc.\bar{a+b+c}=0[/TeX]
Donc il revient à l'origine smile

Vasimolo

 #4 - 09-11-2010 18:16:36

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

cerxle vicieux

Je fais le raisonnement suivant:
Il part du centre et se retrouve au centre. Donc ce mouvement au bout d'une heure est un invariant.
Les vitesses étant constantes et la situation identique, 1 heure plus tard l'invariant est respecté et il se retrouve aussi au centre, ce que confirme la case réponse.

J'ai loupé quelque chose?

 #5 - 09-11-2010 18:25:10

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Cercle vcieux

Pour que Serge se retrouve au centre la première fois, il faut que les trois autres se trouvent aux sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle (les vitesses ne sont donc pas totalement choisies au hasard). Il en résulte qu'au bout d'un temps deux fois plus long, ils se retrouveront dans le même genre de configuration et Serge, après son déplacement se retrouvera également au centre.
Facile à voir, mais difficile à expliquer rigoureusement, tel quel.

Pour simplifier, on peut prendre pour unité de longueur, le rayon du cercle. On choisit un repère au centre du cercle et tel que l'on puisse associer à chaque personne un nombre complexe [latex]z_i[/latex], représentant leur trajectoire en fonction du temps, et tel qu'au bout d'une période [latex]T[/latex], on ait: [latex]z_i=e^{i \omega _ i T[/latex].
Au bout d'un temps [latex]2T[/latex], leur position sera donnée par [latex]z_i ^2[/latex].
Le problème se traduit alors par le système suivant:
[TeX]\begin{cases}
&0 &= z_1+z_2+z_3 \\
&z & =z_1 ^2+z_2 ^2+z_3 ^2 \end{cases}[/latex], où [latex]z[/latex] est l'inconnue.
En élevant la première équation au carré, on peut réexprimer [latex]z[/latex] sous la forme:
[latex]z=-2(z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3)[/TeX]
Exprimons alors le module de [latex]z[/latex] (distance de Serge au centre) en le multipliant par son conjugué. Après simplification, on obtient:
[TeX]|z|^2=z\overline z = 4[3+2\mathfrak{Re}(z_1\overline{z_2}+z_1\overline{z_3}+z_2\overline{z_3})][/TeX]
Or, en multipliant la première équation du système par son conjugué, on retrouve ce terme entre crochets, qui est donc nul, soit [latex]|z|=0[/latex], ce qui prouve que le deuxième trajet de Serge le ramène également au centre.

 #6 - 09-11-2010 19:50:39

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

cercle vixieux

L'énoncé tordu signifie que le centre du cercle circonscrit au triangle est centre de gravité de ce triangle. Les 3 compères occupent donc les sommets d'un triangle équilatéral.
Par rapport à la position de départ, ils ont tourné l'un d'un angle a°, un autre de a°+120° et le troisième de a°+240°.
Une heure plus tard, ces angles auront doublé : 2a°, 2a°+240° et 2a°+480° qui coïncide avec 2a°+120° car les 360° comptent pour du beurre.
Ils sont encore en triangle équilatéral, seule l'orientation a changé. Donc le centre de gravité est toujours l'origine...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #7 - 09-11-2010 20:21:10

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Cerlce vicieux

imbitable !


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 09-11-2010 23:52:13

macdeux
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 8

Cercle vicieuux

dans de beau draps  ! coincé entre marie juana et un verre de jonny walker:Dbig_smilebig_smile

 #9 - 10-11-2010 11:27:19

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Ceercle vicieux

Salut,

Pour que les translations successives SM, SJ et SB ramène Serge au centre, il faut que ces segments forment un triangle, une forme fermée bien comme il faut. Ces segments étant de même longueur puisque Serge est en centre du cercle, le triangle formé est équilatéral. Pour cela, il est indispensable qu'après une heure le triangle formé par Marie, John et Brigitte soit équilatéral lui aussi. Or, si les vitesses relatives de John par rapport à Marie et de Brigitte par rapport à Marie ont permis un éloignement d'un tiers de cercle en une heure, en 2 heures cette éloignement sera de 2 tiers de cercle et le triangle formé par Marie, John et Brigitte sera toujours équilatéral et Serge se retrouvera à nouveau au centre.

La réponse est donc : centre.

Après 3 heures, Marie, John et Brigitte se retrouve en un même point du cercle.

 #10 - 10-11-2010 12:39:37

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

ercle vicieux

au centre...
Si les 3 partent du meme point, et apres une heure, arrivent a une position ou la somme de leur vecteurs est nulle, c'est qu'ils forment un triangle equilateral. C'est donc qu'ils ont formé des  angles de 120 degrés entre eux.
Au bout de 2 heures ils auront egalement formé un autre triangle équilatéral mais dans l'autre sens (ou leur ordre est inversé). la somme des angles est donc également nulle et serge se retrouve au centre.
Au bout de 3 heures, ils se retrouvent maintenant au meme endroit (pas forcement la position de départ), et la somme de leurs angles est 3 fois le rayon, et serge se retrouverait a 3 R du centre dans la direction des 3 autres.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #11 - 14-11-2010 19:11:57

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

cercle vicieix

Bonnes réponses de tous ceux qui ont répondu :

La réponse de scrablor ou dhrm77 est la plus simple : elle ne demande que peu de connaissances de maths : au bout d'une heure, le triangle MJB est équilatéral car son centre de gravité est confondu avec le centre de son cercle cironscrit. On en déduit en multipliant par 2 les angles orientés (OI,OM), (OI,OJ) et (OI,OB) on constate qu'au bout de deux heures le triangle est à nouveau équilatéral. Donc sont centre de gravité est le centre de son cercle circonscrit : S=O.

Bonne intuituion pour ceux qui sont passés en complexe, cette enigme est inspirée du problème équivalent suivant : soient x,y,z tels que [latex]e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0[/latex]. Montrer que [latex]e^{2ix}+e^{2iy}+e^{2iz}=0[/latex]

 #12 - 14-11-2010 19:39:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Cercle vciieux

C'est vrai que c'est bien plus simple en remarquant que le triangle est équilatéral mais ça sentait tellement le [latex]\mathbb{C}[/latex] big_smile

Vasimolo

 #13 - 14-11-2010 23:21:24

macdeux
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 8

Cercle vciieux

serieux !!! les gas voila un homme 3 femmes qui jouent a trappe trappe en tournant en rond bien emechés ( marie jeanne et Jonny W...walker) on sait comment cela va finir ! et tous ce vous trouvez à en faire c'est des maths ! je sais que vous allez trouvez mes propos libidineux ( le petit noeud hi hi:Dbig_smilelol) mais dans cette histoire les maths n'interviennent que pour le X ! smile

et dire que pendant que je blague bon nombre d entre vous etes deja en train de calculer 1 homme 3 femmes combient de possibilité tiens pour le fun des mordus de l enigme mathematique
1 homme + 3 femmes c'est le debut de quoi ? ( âmes sensibles s'abstenir)

 #14 - 15-11-2010 00:34:38

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

cercme vicieux

Et il y en a qui me trouvent vulgaires ? (*sifflote*)

En tout cas, il y a de l'adolescent en rut dans le coin. (*sifflote derechef*)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 15-11-2010 00:37:11

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Cecle vicieux

"Je fume, je bois, je baise, triangle équilatéral." S. Gainsbourg

(désolé pour ce pretexte d'énginme douteux roll)

 #16 - 15-11-2010 00:55:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

cercle vixieux

Bah bravo lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 15-11-2010 21:32:16

macdeux
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 8

Cercle viciieux

lollollollollol:lol:Adolescent en rut !lollol:lol:Avis a tous macdeux est une femme ( non pas en chaleur quoi que ...smile mais avouez oh nobles mathematiciens que le choix des intervenants marie jeanne et jonny W n'était pas innocent et je présume que Brigitte était un vieux fantasme, une prof de physique quantique fortement mameléelollol
ah ça y est la ça devient vulgaire promis jle ferais plus !sad

 

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