On se place dans C , on suppose que le cercle est de rayon 1 de centre 0 et que tout le monde part de 1 . On note a , b , c l'affixe des trois points après une heure , on a : a+b+c=0 . Une heure plus tard on cherche donc a²+b²+c² .

a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+ac+bc)=-2abc(1/a+1/b+1/c) .

Mais 1/a est le conjugué de a , de même pour b et c... donc
[TeX]a^2+b^2+c^2=-2abc.\bar{a+b+c}=0[/TeX]
Donc il revient à l'origine

Vasimolo

Pour que Serge se retrouve au centre la première fois, il faut que les trois autres se trouvent aux sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle (les vitesses ne sont donc pas totalement choisies au hasard). Il en résulte qu'au bout d'un temps deux fois plus long, ils se retrouveront dans le même genre de configuration et Serge, après son déplacement se retrouvera également au centre.
Facile à voir, mais difficile à expliquer rigoureusement, tel quel.

Pour simplifier, on peut prendre pour unité de longueur, le rayon du cercle. On choisit un repère au centre du cercle et tel que l'on puisse associer à chaque personne un nombre complexe [latex]z_i[/latex], représentant leur trajectoire en fonction du temps, et tel qu'au bout d'une période [latex]T[/latex], on ait: [latex]z_i=e^{i \omega _ i T[/latex].
Au bout d'un temps [latex]2T[/latex], leur position sera donnée par [latex]z_i ^2[/latex].
Le problème se traduit alors par le système suivant:
[TeX]\begin{cases}
&0 &= z_1+z_2+z_3 \\
&z & =z_1 ^2+z_2 ^2+z_3 ^2 \end{cases}[/latex], où [latex]z[/latex] est l'inconnue.
En élevant la première équation au carré, on peut réexprimer [latex]z[/latex] sous la forme:
[latex]z=-2(z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3)[/TeX]
Exprimons alors le module de [latex]z[/latex] (distance de Serge au centre) en le multipliant par son conjugué. Après simplification, on obtient:
[TeX]|z|^2=z\overline z = 4[3+2\mathfrak{Re}(z_1\overline{z_2}+z_1\overline{z_3}+z_2\overline{z_3})][/TeX]
Or, en multipliant la première équation du système par son conjugué, on retrouve ce terme entre crochets, qui est donc nul, soit [latex]|z|=0[/latex], ce qui prouve que le deuxième trajet de Serge le ramène également au centre.

imbitable !

Salut,

Pour que les translations successives SM, SJ et SB ramène Serge au centre, il faut que ces segments forment un triangle, une forme fermée bien comme il faut. Ces segments étant de même longueur puisque Serge est en centre du cercle, le triangle formé est équilatéral. Pour cela, il est indispensable qu'après une heure le triangle formé par Marie, John et Brigitte soit équilatéral lui aussi. Or, si les vitesses relatives de John par rapport à Marie et de Brigitte par rapport à Marie ont permis un éloignement d'un tiers de cercle en une heure, en 2 heures cette éloignement sera de 2 tiers de cercle et le triangle formé par Marie, John et Brigitte sera toujours équilatéral et Serge se retrouvera à nouveau au centre.

La réponse est donc : centre.

Après 3 heures, Marie, John et Brigitte se retrouve en un même point du cercle.

Bonnes réponses de tous ceux qui ont répondu :

La réponse de scrablor ou dhrm77 est la plus simple : elle ne demande que peu de connaissances de maths : au bout d'une heure, le triangle MJB est équilatéral car son centre de gravité est confondu avec le centre de son cercle cironscrit. On en déduit en multipliant par 2 les angles orientés (OI,OM), (OI,OJ) et (OI,OB) on constate qu'au bout de deux heures le triangle est à nouveau équilatéral. Donc sont centre de gravité est le centre de son cercle circonscrit : S=O.

Bonne intuituion pour ceux qui sont passés en complexe, cette enigme est inspirée du problème équivalent suivant : soient x,y,z tels que [latex]e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=0[/latex]. Montrer que [latex]e^{2ix}+e^{2iy}+e^{2iz}=0[/latex]

serieux !!! les gas voila un homme 3 femmes qui jouent a trappe trappe en tournant en rond bien emechés ( marie jeanne et Jonny W...walker) on sait comment cela va finir ! et tous ce vous trouvez à en faire c'est des maths ! je sais que vous allez trouvez mes propos libidineux ( le petit noeud hi hi:D) mais dans cette histoire les maths n'interviennent que pour le X !

et dire que pendant que je blague bon nombre d entre vous etes deja en train de calculer 1 homme 3 femmes combient de possibilité tiens pour le fun des mordus de l enigme mathematique
1 homme + 3 femmes c'est le debut de quoi ? ( âmes sensibles s'abstenir)

"Je fume, je bois, je baise, triangle équilatéral." S. Gainsbourg

(désolé pour ce pretexte d'énginme douteux )

:lol:Adolescent en rut !:lol:Avis a tous macdeux est une femme ( non pas en chaleur quoi que ... mais avouez oh nobles mathematiciens que le choix des intervenants marie jeanne et jonny W n'était pas innocent et je présume que Brigitte était un vieux fantasme, une prof de physique quantique fortement mamelée
ah ça y est la ça devient vulgaire promis jle ferais plus !