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 #1 - 04-12-2018 15:02:10

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

La découpe du parallélograamme

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-20181204_144722.jpg

Un collègue de retour de voyage d'affaires de Chine m'a ramené ça, connaissant mon goût pour les casse tête. Sympa le cadeau chinois 😂.
(Pour augmenter la pression, c'est un concours de collégiens  surdoués; le meilleur aurait trouvé la réponse en moins d'une minute). J'ai pensé à vous.

Le sujet:
ABCD est un parallélogramme. Les aires des parties grises claires sont données. Trouvez l'aire de la partie grise foncée?

Bonne chance
(72h)



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 #2 - 04-12-2018 17:32:42

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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Messages : 535

la dévoupe du parallélogramme

Bonjour,
Spoiler : [Afficher le message] 9, qui valide smile

 #3 - 04-12-2018 19:30:11

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,815E+3

La découpe d parallélogramme

C'est effectivement assez trivial.
79 + 10 + deux zones blanches font la moitié de la surface.
72 + 8 + les mêmes zones blanches + la zone gris foncé aussi.

Donc : 9

 #4 - 04-12-2018 21:46:31

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Laa découpe du parallélogramme

Salut,

il suffit de remarquer que l'aire du triangle qui a la pointe à droite vaut la moitié de l'aire du parallélogramme, tout comme la somme des aires des deux triangles qui ont la pointe en bas.

Donc 79+10+aire(2 morceaux blancs)=72+8+aire(2 morceaux blancs)+?.

Donc ?=9.

 #5 - 04-12-2018 23:09:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

la découpe du parallémogramme

Et bien, trop facile par ici comme je l'imaginais smile
2 réponses argumentées, bravo, et 1 réponse issue visiblement d'un abus de la case de validation lol

 #6 - 05-12-2018 06:43:24

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 535

la découpe du pzrallélogramme

kossi_tg #5 a écrit:

2 réponses argumentées, bravo, et 1 réponse issue visiblement d'un abus de la case de validation

Vu le nombre de réponses qui précèdent, j'en déduis que c'est moi qui suis accusé d'abus.
Eh bien non, absolument pas, la case réponse ne m'a servi que pour vérifier mon résultat !
S'il y avait eu des lettres à toutes les intersections de la figure, j'aurais détaillé, mais là j'avoue avoir eu la flemme…

 #7 - 05-12-2018 13:18:07

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

L adécoupe du parallélogramme

x + 72 + 8 = 79 + 10 => x = 9

 #8 - 05-12-2018 15:12:18

Eric
Visiteur

La découpe du parallélogrmme

Les droites internes sont elles quelconques?

 #9 - 05-12-2018 22:30:39

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

la découpe du parallélogrzmme

Soient E le point sur AB, F celui sur BC, G celui sur DC.
Les aires des triangles  ABF + DCF  =   DGE + GBC
Une fois éliminées les zones communes à ces deux sommes il nous reste :
   x + (72 + 8)  =  (79 + 10) , soit  x = 9

Petit problème très intéressant, sans être très difficile  (puisque à ma portée lol lol !).
Mais j'avoue que j'y ai passé un peu plus d'une minute.
Un grand merci pour ce divertissement smile .

 #10 - 06-12-2018 19:00:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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La découpe du paraallélogramme

Bonjour smile

J'avais cherché des choses compliquées mais c'est très simple quand on a vu l'astuce . L'aire des deux triangles reposant sur la base inférieure est égale à l'aire des deux triangles s'appuyant sur la base supérieures . On fait de même à droite et à gauche et tout se simplifie miraculeusement : x=9 .

Très joli problème !!!

En moins d'une minute je dis bravo , il m'a fallu quelques heures smile

Vasimolo

 #11 - 08-12-2018 23:27:37

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

La découpe du parallélogarmme

Eric a écrit:

Les droites internes sont elles quelconques?

Les droites sont celles qui permettent d'avoir les aires données, sans qu'on ait d'infos supplémentaires.

 #12 - 08-12-2018 23:36:17

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 307
Lieu: Montargis

la découpe du paralléligramme

Merci à tous.
L'astuce est déjà donné. Il faut en effet exploiter la propriété suivante des triangles. Si ABC est un triangle alors il a la même aire que tout autre triangle ABM, pour tout M sur la droite  parallèle à (AB) passant par C. [en d'autre terme, (CM)//(AB)]
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-20181208_235328.jpg

* ADB et ADF ont la même aire, c'est à dire la moitié de ABCD
* EBG et EBD ont la même aire
* aire EBD + aire AED = moitié aire ABCD = aire ADF

On en déduit que ? = 9

Voilà

 #13 - 09-12-2018 15:48:57

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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la découpe du paralléligramme

Trouver, à partir des données, l'aire de la partie gris foncé était facile, mais il me semble que les valeurs de ces données ne sont pas cohérentes.

Les rapports des aires des parties internes ne dépendent ni des longueurs des côtés du parallélogramme, ni du décalage horizontal des côtés haut et bas.
Ces rapports ne dépendent que de la position relative de E sur AB, et de F sur CB (notations de kossi_tg #12).

Je n'ai pas réussi à ajuster ces 2 paramètres, entre 0 et 1, pour que les rapports des aires données soient cohérents.

Je serais curieux de savoir si quelqu'un y arrive, ou si c'est l'énoncé qui est fantaisiste.

 #14 - 09-12-2018 18:48:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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la découpe du paralmélogramme

Je ne vois pas où est le problème .

On construit les triangles 8 et 10 n'importe comment puis la zone 72 . Les directions (AB) et (BC) sont alors fixées . Il n'y a plus qu'à choisir D sur la parallèle à (AB) passant par la pointe basse du triangle 8 pour obtenir le point D et la zone 79 , le reste coule de source smile

Vasimolo

 #15 - 09-12-2018 20:26:50

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 535

La découpe du parllélogramme

@Vasimolo #14 :
Je suis d'accord jusqu'à la construction du point D.
Ensuite, je ne comprends pas pourquoi tu obtiens justement 79, et pourquoi les 3 droites sont concourantes en A.

 #16 - 09-12-2018 21:23:48

Jackv
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la découpe du parallélpgramme

Je me suis moi aussi demandé si les valeurs données pour les aires pouvaient correspondre à un parallélogramme réel, et la réponse est assurément OUI.

Et je me suis demandé encore si ces valeurs conduisaient à un parallélogramme unique, dont on pourrait calculer les dimensions... hmm ?

Et si on pouvait aussi construire un autre parallélogramme en intervertissant par exemple les valeurs des aires de 10 et 72.
Cela conduirait alors à une valeur x = 143, pardon, 133 mad ! ? Cela impliquerait, bien évidemment, de modifier l'allure générale de la figure, tout en lui conservant sa topologie.

Je pense posséder les réponses à ses questions, mais je vous laisse le loisir d'y réfléchir avant de vous les donner.

 #17 - 09-12-2018 21:25:29

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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La découpe du praallélogramme

Je ne suis d'accord ni avec Vasimolo, ni avec enigmatus. Je ne comprends pas la construction de Vasimolo, et pour enigmatus, il y a aussi la position de G sur [CD] qui compte, on n'a jamais dit que (BG)//(ED).

À part ça, oui, j'ai beaucoup d'amis, pourquoi ?

 #18 - 09-12-2018 21:32:15

Jackv
Elite de Prise2Tete
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la déciupe du parallélogramme

C'est vrai, il n'a jamais été dit que (BG)//(ED).
Ce qui compte, encore une fois, c'est la topologie de la figure.
Il faut imaginer que les différents segments sont élastiques, et que tous les angles sont articulés smile .

 #19 - 10-12-2018 18:06:19

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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ka découpe du parallélogramme

J'ai fini par me convaincre, avec difficulté, que Jackv avait raison (hormis sur le fait que x=143 tongue). J'arrive systématiquement à créer une figure avec les proportions attendues avec Geogebra, par une méthode d'essais et erreurs. Mais je serais bien en peine d'en tirer une démonstration propre, pour l'instant.

J'attends de voir la méthode de Jackv, des fois que ça clarifie des choses. Et même si c'est le cas, il reste bien des questions en suspens, comme... quelle est l'aire du parallélogramme ? Une bien belle question soulevée par enigmatus, on peut s'amuser un moment.

 #20 - 10-12-2018 20:11:54

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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L adécoupe du parallélogramme

J'avais effectivement supposé à tort que BG était parallèle à ED.
Je n'arrive cependant pas à trouver une figure dont les aires en gris clair sont proportionnelles aux valeurs données.

 #21 - 10-12-2018 23:24:50

Jackv
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La découpe d parallélogramme

Ebichu :

J'ai fini par me convaincre, avec difficulté, que Jackv avait raison (hormis sur le fait que x=143).

Tu as raison, je suis très mauvais en calcul mental hmm ! J'ai corrigé smile .

 #22 - 11-12-2018 08:52:47

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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La découpe du paallélogramme

Voilà, j'ai obtenu une solution approchée.
En existe-t-il d'autres ? Mystère pour l'instant.

Spoiler : [Afficher le message] Rectangle ABCD de forme quelconque, mais d'aire 359.44 (par exemple AB=26.8120 CD=13.4060)

AE/AB = 0.40960
CF/CB = 0.41608
CG/CD = 0.31896

A79 =  78.999215
A72 =  71.999971
A8  =   7.999978
A10 =  10.000835
?   =    9.000101

On obtient d'autres solutions en décalant AB et CD d'une quantité arbitraire, mais en conservant leur distance.

 #23 - 11-12-2018 10:19:12

Jackv
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la découpe du pzrallélogramme

enigmatus :

En existe-t-il d'autres ? Mystère pour l'instant.

La réponse est OUI.
Spoiler : [Afficher le message] A mon avis, pas loin d'une infinité.
Il suffit pour en trouver d'autres, de modifier les dimensions du rectangle , tout en conservant son aire, quitte à en faire un carré ! Et là la solution devient unique smile .

 #24 - 11-12-2018 10:55:36

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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Messages : 535

Laa découpe du parallélogramme

@Jackv #23 :
C'est aussi ce que j'indique dans ma réponse en #22. Je me demandais s'il existait une série de solutions avec d'autres positions relatives de E, F, G.

 #25 - 11-12-2018 22:30:00

Jackv
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la découpe du parallélogrammz

Tu as raison. Je voulais dire qu'il y a une infinité de rectangles qui correspondent aux 4 valeurs imposées, à condition de respecter les bons rapports AE/AB, CF/CB et CG/CD.

On pouvait le deviner dès le départ : Le parallélogramme était défini par 5 paramètres (ou variables). Si on impose 4 aires (ou équations) le système n'est pa

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