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 #1 - 18-06-2011 00:21:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Pour ceux qui ne sont pas nnuls. 1

Le problème est simple :
[TeX]\text{Montrer que : } \forall n>2 \in \mathbb{N} , \text{ } \frac{3^n-2^n}{n} [/latex] [latex]\text{n'est pas entier.}[/TeX]
Amusez-vous bien.
Shadock smile



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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#0 Pub

 #2 - 18-06-2011 03:50:33

safino
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 9

Pour ceux ui ne sont pas nuls. 1

supposons que ce nombre est un entier.
un contre exemple suffirait pour n=3 on a 19/3 n'est pas un entier.
D'ou (3^n-2^n)/n n'est pas un entier

 #3 - 18-06-2011 09:41:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Pour ceux qui ne sont ps nuls. 1

Supposons le contraire.
Soient p premier et k avec p|n et n=kp.
On voit facilement que p est différent de 2.

On a [latex](3^k)^p-(2^k)^p=3^k-2^k[p][/latex] (petit théorème de Fermat)

donc [latex]p|3^k-2^k[/latex]

puisque [latex]p|3^n-2^n[/latex]

on arrive par combinaison linéaire à [latex]p|3^k(3^p-3)-2^k(2^p-3)[/latex]

or par le petit théorème de Fermat [latex]p|3^p-3[/latex] et [latex]p|2^p-2[/latex]

d'où [latex]p|2^k(2^p-3)[/latex] or p premier avec 2 donc
[TeX]p|2^p-3=2^p-2-1[/TeX]
on aurait [latex]p|1[/latex], absurde.cool


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #4 - 18-06-2011 23:44:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Pouur ceux qui ne sont pas nuls. 1

Bravo à Yanyan wink
Safino ce n'est pas une démonstration, on ne peut ici s'appuyer sur un contre exemple smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 21-06-2011 22:35:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Pour ceux qui ne sont pas nuls .1

Je n'ajouterai pas de réponse, Yanyan le fait très bien cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 22-06-2011 01:52:53

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

pour ceux qui nr sont pas nuls. 1

Shadock c'est mis au contrepèterie de bon goût. wink


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #7 - 22-06-2011 10:40:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pour ceux qui ne sont pas nusl. 1

Si on lui parlait de la philanthropie de l'ouvrier charpentier ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 22-06-2011 10:46:54

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

pour ceux qui ne sont pzs nuls. 1

Salut Patrick !


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #9 - 22-06-2011 12:08:29

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Pour cceux qui ne sont pas nuls. 1

Mon prof de maths a montrer bezout. sad
lollol

Bon on arrête parce que sinon cette charmante énigme perd tout son charme et Mathias c'est ce qu'il lui faut ----------------->[]


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