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 #1 - 18-06-2011 00:21:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Puor ceux qui ne sont pas nuls. 1

Le problème est simple :
[TeX]\text{Montrer que : } \forall n>2 \in \mathbb{N} , \text{ } \frac{3^n-2^n}{n} [/latex] [latex]\text{n'est pas entier.}[/TeX]
Amusez-vous bien.
Shadock smile



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#0 Pub

 #2 - 18-06-2011 03:50:33

safino
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 9

our ceux qui ne sont pas nuls. 1

supposons que ce nombre est un entier.
un contre exemple suffirait pour n=3 on a 19/3 n'est pas un entier.
D'ou (3^n-2^n)/n n'est pas un entier

 #3 - 18-06-2011 09:41:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Pur ceux qui ne sont pas nuls. 1

Supposons le contraire.
Soient p premier et k avec p|n et n=kp.
On voit facilement que p est différent de 2.

On a [latex](3^k)^p-(2^k)^p=3^k-2^k[p][/latex] (petit théorème de Fermat)

donc [latex]p|3^k-2^k[/latex]

puisque [latex]p|3^n-2^n[/latex]

on arrive par combinaison linéaire à [latex]p|3^k(3^p-3)-2^k(2^p-3)[/latex]

or par le petit théorème de Fermat [latex]p|3^p-3[/latex] et [latex]p|2^p-2[/latex]

d'où [latex]p|2^k(2^p-3)[/latex] or p premier avec 2 donc
[TeX]p|2^p-3=2^p-2-1[/TeX]
on aurait [latex]p|1[/latex], absurde.cool


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #4 - 18-06-2011 23:44:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

pour ceux qui be sont pas nuls. 1

Bravo à Yanyan wink
Safino ce n'est pas une démonstration, on ne peut ici s'appuyer sur un contre exemple smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 21-06-2011 22:35:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Pour ceux qui ne sont as nuls. 1

Je n'ajouterai pas de réponse, Yanyan le fait très bien cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 22-06-2011 01:52:53

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

pour ceux qui be sont pas nuls. 1

Shadock c'est mis au contrepèterie de bon goût. wink


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #7 - 22-06-2011 10:40:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pour ceux qui ne son tpas nuls. 1

Si on lui parlait de la philanthropie de l'ouvrier charpentier ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 22-06-2011 10:46:54

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Pour ceux ui ne sont pas nuls. 1

Salut Patrick !


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #9 - 22-06-2011 12:08:29

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

oPur ceux qui ne sont pas nuls. 1

Mon prof de maths a montrer bezout. sad
lollol

Bon on arrête parce que sinon cette charmante énigme perd tout son charme et Mathias c'est ce qu'il lui faut ----------------->[]


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