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 #1 - 11-06-2019 19:20:59

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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duels ebtre gentlemen 3

Un petit troisième pour la route.

Dans ce nouvel opus, on reste sur notre duel à trois, version ‘le bon, la brute et le truand’. Entre gentlemen. Toutefois, revenons à la réalité, tous les tireurs n’ont pas la même précision :
-    Blondin touche sa cible à chaque coup. C’est pour ça qu’on l’aime.
-    Sentenza fait mouche dans 80% des cas. Sans états d’âme.
-    Tuco, sans doute en petite forme, n’atteint que dans 50% des cas.

Chacun connait sa précision et celle des autres, et choisi sa cible en conséquence. Et tous sont d’excellents statisticiens (ce qui est flagrant dans le film).

Comme dab, chacun tire dans l’ordre issu d’un tirage au sort.

Question : lequel de nos 3 protagonistes a la meilleure chance de s’en sortir, et quelle doit être sa stratégie ?



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 #2 - 11-06-2019 22:58:43

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 827

duels entre gebtlemen 3

On commence par déterminer les probabilité de gain de chacun en cas de duel. En notant Blondin, Sentenza et Tuco respectivement A, B et C, seuls deux cas sont non triviaux : B vs C donne des probas de victoire de 8/9 et 1/9 pour B et C ; et C vs B donne des probas de victoire de 4/9 et 5/9 pour B et C.

Si le tirage au sort donne ABC ou ACB, A commence par abattre B, son opposant le plus dangereux, et ça se termine en CA (c'est du 50-50).

Dans les autres cas, le premier tireur vise systématiquement A, car s'il se retrouvait face à lui en duel, il serait certain d'y laisser sa peau.

BAC donne comme probas de victoire 1/10 ; 16/45 ; 49/90 pour respectivement A, B et C.
CAB donne 1/4 ; 4/9 ; 11/36.
BCA donne 1/20 ; 4/9 ; 91/180.
CBA donne 1/20 ; 28/45 ; 59/180.

En moyenne, cela donne 29/120 ; 14/45 ; 161/360 en supposant les six ordres de départ équiprobables, c'est-à-dire que plus le tireur est mauvais, plus il a de chances de survivre.

On peut enfin remarquer que si les tireurs avaient la possibilité de rater leur coup exprès (= passer leur tour), Blondin et Sentenza ne devraient jamais le faire, tandis qu'au contraire, Tuco devrait systématiquement le faire tant que personne n'est mort. Mais il est probablement trop idiot pour y avoir pensé...

 #3 - 11-06-2019 23:02:11

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 697

Duuels entre gentlemen 3

Je me rappelle avoir lu ce problème dans un "jeu et stratégie" qui a quasiment mon age smile

Bref, c'est évidement tuco qui a le plus de chance de rester en vie, attendant la mort de l'un des deux premiers protagonistes (et donc, de tirer en l'air si c'est son tour de tirer) pour tenter un pile ou face (légèrement améliorer contre sentenza).
Cela lui assure plus de 50% de chance de rester en vie smile

 #4 - 12-06-2019 00:08:48

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 44

duels rntre gentlemen 3

Ebichu, Godisdead, dans le mille.

Ebichu, je ne sais pas si Tuco y aurait pensé. mails il n'aurait pas résisté à l'envie de tirer (marre de jouer de la pelle)...
Godisdead, vieux J&S tu dis? c'est bien possible :-)

 #5 - 12-06-2019 13:46:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2934
Lieu: Luxembourg

Duels entr egentlemen 3

Blondin commence
Blondin vise Sentenza (car il est plus dangereux que Tuco) qu’il tue
Puis Tuco tue Blondin à 50% et s’il rate Blondin le tue
Chances de survie : Blondin = 50% / Sentenza = 0% / Tuco = 50%

Sentenza commence
Sentenza vise Blondin (car il est plus dangereux que Tuco) qu’il tue à 80%, puis c’est un duel entre Tuco (qui commence) et Sentenza conformément à l’opus 1
Pour les 20% restants, Blondin vise et tue Serenza, puis Tuco tue Blondin à 50% et s’il rate Blondin le tue
Chances de survie : Blondin = 10% / Sentenza = 44,44 35,56% / Tuco = 45,56 54,44%

Tuco commence
Tuco vise Blondin (car il est plus dangereux que Serenza) qu’il tue à 50%, puis c’est un duel entre Sentenza (qui commence) et Tuco conformément à l’opus 1
Pour les 50% restants, Blondin vise et tue Serenza, puis Tuco tue Blondin à 50% et s’il rate Blondin le tue
Chances de survie : Blondin = 25% / Sentenza = 44,44% / Tuco = 30,56%

Conclusion 1
Blondin a intérêt à commencer à tirer (chances de survie = 50%)
Sentenza a intérêt à ce que lui-même ou Tuco commence à tirer (chances de survie = 45,56%), mais surtout pas Blondin (auquel cas il se fait descendre)
Tuco a aussi intérêt (curieusement) à ce que Blondin commence à tirer (chances de survie = 50%)

Sentenza a intérêt à ce Tuco commence à tirer (chances de survie = 44,44%), mais surtout pas Blondin (auquel cas il se fait descendre)
Tuco a intérêt à ce que Sentenza commence à tirer (chances de survie = 54,44%)

Si on tire au sort celui qui commence à tirer
Je fais la moyenne des trois possibilités
Chances de survie : Blondin = 28,33% / Sentenza = 26,67% / Tuco = 45%

Conclusion 2
C'est Tuco (le plus mauvais tireur) qui a le plus de chances de s'en sortir: résultat anti-intuitif (au premier abord, j'aurais pensé exactement l'inverse)

 #6 - 12-06-2019 15:35:41

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 44

Duels entre gentemen 3

Franky1103,
ton premier cas me va bien.
Pour le deuxième cas, pas sûr de valider les stats des 3 protagonistes (Tuco me parait faible)
Pour le troisième cas, c'est le moins favorable à ton premier tireur... N'aurait-il pas sérieusement intérêt à se ramener aux 2 cas précédents :-)?

 #7 - 12-06-2019 20:22:04

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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durls entre gentlemen 3

Bonsoir,
Voici quelques résultats, mais j'attends de savoir s'ils sont plausibles avant d'en donner d'autres.

Je n'ai pas cherché à simplifier les formules, et ai programmé directement le calcul.
Dans ce calcul chaque tireur choisit sa victime potentielle équitablement.

Les 3 premières colonnes du tableau sont les probabilités respectives de chaque tireur de rester vivant.
La 4ème colonne est la somme des 3 premières.
p : Probabilité, pour chaque tireur, de faire mouche (dans l'ordre où ils tirent)
c : Probabilité, pour chaque tireur, de choisir comme cible le suivant dans l'ordre de tir

Code:

X1              X2              X3              S
0.3500=7/20     0.4000=2/5      0.2500=1/4      1  p=(1   4/5 1/2) c=(1/2 1/2 1/2) 
0.3500=7/20     0.2500=1/4      0.4000=2/5      1  p=(1   1/2 4/5) c=(1/2 1/2 1/2) 
0.2578=58/225   0.4700=47/100   0.2722=49/180   1  p=(4/5 1   1/2) c=(1/2 1/2 1/2) 
0.2622=59/225   0.2528=91/360   0.4850=97/200   1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(1/2 1/2 1/2) 
0.1528=11/72    0.4250=17/40    0.4222=19/45    1  p=(1/2 1   4/5) c=(1/2 1/2 1/2) 
0.1639=59/360   0.3511=79/225   0.4850=97/200   1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(1/2 1/2 1/2)

Il est curieux de constater qu'il semble préférable de tirer en dernier, et le premier a du mouron à se faire.

À suivre…

 #8 - 12-06-2019 20:49:25

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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duels entre genylemen 3

Enigmatus,

Ton modèle est juste. Mais tu pars visiblement dans ton calcul sur l"hypothèse que chaque tireur choisit sa victime équitablement.

Ce qui est un scénario différent de celui où chacun connait la précision des 3 tireurs, et choisit sa cible pour maximiser son espérance propre... La recherche d'un 'équilibre de Nash' avec peu de joueurs (on peut envisager les cas 1 par 1, il n'y en a pas trop).

Et pour la recherche de l'optimum dans ce cas précis, pas sûr qu'un programme soit meilleur que le raisonnement humain. Enfin faudra demander à Watson ou AlphaGo pour voir :-)

 #9 - 12-06-2019 21:38:47

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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Duels entrre gentlemen 3

Voici la totalité des résultats, avec choix systématique de la cible. Les lignes se terminant par > sont celles où chacun choisit de tirer sur le meilleur tireur, et celles se terminant par < celles où chacun vise le plus maladroit.

Code:

X1              X2              X3              S
0.2000=1/5      0.8000=4/5      0.0000=0        1  p=(1   4/5 1/2) c=(0   0   0  ) 
0.2000=1/5      0.8000=4/5      0.0000=0        1  p=(1   4/5 1/2) c=(0   0   1  ) 
0.2000=1/5      0.8000=4/5      0.0000=0        1  p=(1   4/5 1/2) c=(0   1   0  ) <
0.2000=1/5      0.8000=4/5      0.0000=0        1  p=(1   4/5 1/2) c=(0   1   1  ) 
0.5000=1/2      0.0000=0        0.5000=1/2      1  p=(1   4/5 1/2) c=(1   0   0  ) 
0.5000=1/2      0.0000=0        0.5000=1/2      1  p=(1   4/5 1/2) c=(1   0   1  ) >
0.5000=1/2      0.0000=0        0.5000=1/2      1  p=(1   4/5 1/2) c=(1   1   0  ) 
0.5000=1/2      0.0000=0        0.5000=1/2      1  p=(1   4/5 1/2) c=(1   1   1  ) 
0.5000=1/2      0.5000=1/2      0.0000=0        1  p=(1   1/2 4/5) c=(0   0   0  ) 
0.5000=1/2      0.5000=1/2      0.0000=0        1  p=(1   1/2 4/5) c=(0   0   1  ) >
0.5000=1/2      0.5000=1/2      0.0000=0        1  p=(1   1/2 4/5) c=(0   1   0  ) 
0.5000=1/2      0.5000=1/2      0.0000=0        1  p=(1   1/2 4/5) c=(0   1   1  ) 
0.2000=1/5      0.0000=0        0.8000=4/5      1  p=(1   1/2 4/5) c=(1   0   0  ) 
0.2000=1/5      0.0000=0        0.8000=4/5      1  p=(1   1/2 4/5) c=(1   0   1  ) 
0.2000=1/5      0.0000=0        0.8000=4/5      1  p=(1   1/2 4/5) c=(1   1   0  ) <
0.2000=1/5      0.0000=0        0.8000=4/5      1  p=(1   1/2 4/5) c=(1   1   1  ) 
0.0000=0        0.9000=9/10     0.1000=1/10     1  p=(4/5 1   1/2) c=(0   0   0  ) 
0.0000=0        0.9000=9/10     0.1000=1/10     1  p=(4/5 1   1/2) c=(0   0   1  ) 
0.1600=4/25     0.8400=21/25    0.0000=0        1  p=(4/5 1   1/2) c=(0   1   0  ) 
0.1600=4/25     0.8400=21/25    0.0000=0        1  p=(4/5 1   1/2) c=(0   1   1  ) <
0.3556=16/45    0.1000=1/10     0.5444=49/90    1  p=(4/5 1   1/2) c=(1   0   0  ) >
0.3556=16/45    0.1000=1/10     0.5444=49/90    1  p=(4/5 1   1/2) c=(1   0   1  ) 
0.5156=116/225  0.0400=1/25     0.4444=4/9      1  p=(4/5 1   1/2) c=(1   1   0  ) 
0.5156=116/225  0.0400=1/25     0.4444=4/9      1  p=(4/5 1   1/2) c=(1   1   1  ) 
0.4356=98/225   0.4444=4/9      0.1200=3/25     1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(0   0   0  ) 
0.3556=16/45    0.4944=89/180   0.1500=3/20     1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(0   0   1  ) 
0.5244=118/225  0.4556=41/90    0.0200=1/50     1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(0   1   0  ) 
0.4444=4/9      0.5056=91/180   0.0500=1/20     1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(0   1   1  ) >
0.0800=2/25     0.0000=0        0.9200=23/25    1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(1   0   0  ) <
0.0000=0        0.0500=1/20     0.9500=19/20    1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(1   0   1  ) 
0.1689=38/225   0.0111=1/90     0.8200=41/50    1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(1   1   0  ) 
0.0889=4/45     0.0611=11/180   0.8500=17/20    1  p=(4/5 1/2 1  ) c=(1   1   1  ) 
0.0000=0        0.6000=3/5      0.4000=2/5      1  p=(1/2 1   4/5) c=(0   0   0  ) 
0.0000=0        0.6000=3/5      0.4000=2/5      1  p=(1/2 1   4/5) c=(0   0   1  ) <
0.2500=1/4      0.7500=3/4      0.0000=0        1  p=(1/2 1   4/5) c=(0   1   0  ) 
0.2500=1/4      0.7500=3/4      0.0000=0        1  p=(1/2 1   4/5) c=(0   1   1  ) 
0.0556=1/18     0.1000=1/10     0.8444=38/45    1  p=(1/2 1   4/5) c=(1   0   0  ) 
0.0556=1/18     0.1000=1/10     0.8444=38/45    1  p=(1/2 1   4/5) c=(1   0   1  ) 
0.3056=11/36    0.2500=1/4      0.4444=4/9      1  p=(1/2 1   4/5) c=(1   1   0  ) >
0.3056=11/36    0.2500=1/4      0.4444=4/9      1  p=(1/2 1   4/5) c=(1   1   1  ) 
0.1056=19/180   0.4444=4/9      0.4500=9/20     1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(0   0   0  ) 
0.0556=1/18     0.5244=118/225  0.4200=21/50    1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(0   0   1  ) 
0.3278=59/180   0.6222=28/45    0.0500=1/20     1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(0   1   0  ) >
0.2778=5/18     0.7022=158/225  0.0200=1/50     1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(0   1   1  ) 
0.0500=1/20     0.0000=0        0.9500=19/20    1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(1   0   0  ) 
0.0000=0        0.0800=2/25     0.9200=23/25    1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(1   0   1  ) <
0.2722=49/180   0.1778=8/45     0.5500=11/20    1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(1   1   0  ) 
0.2222=2/9      0.2578=58/225   0.5200=13/25    1  p=(1/2 4/5 1  ) c=(1   1   1  )

 #10 - 13-06-2019 08:37:57

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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duels entre hentlemen 3

Enigmatus, pas sûr d'arriver à lire 'dans la matrice'... Tu en déduis un vainqueur statistiquement, et une stratégie associée?

 #11 - 13-06-2019 21:02:41

Franky1103
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duelq entre gentlemen 3

Pour plus de lisibilité, j'ai directement changé mon premier post ci-dessus.

 #12 - 13-06-2019 23:35:35

TOUFAU
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duzls entre gentlemen 3

Franky1103, ton 'gagnant' est le bon! mais il a encore moyen d'améliorer ses stats. En cherchant toujours à revenir aux configurations (que tu décris bien) qui lui sont le plus favorable.

 #13 - 14-06-2019 07:14:15

enigmatus
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Duels enter gentlemen 3

@TOUFAU #10 :
Une fois que l'ordre des tireurs est décidé, la seule variable d'ajustement pour chacun est le choix de sa cible (variables c en #7). Je peux obtenir des résultats pour des valeurs c1, c2, c3 quelconques, mais ne sais pas comment en déduire une stratégie.

 #14 - 14-06-2019 15:59:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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duzls entre gentlemen 3

J'ai effectivement raisonné dans l'intérêt de celui qui (dans l'enchaînement des tireurs) va tirer, mais pas forcément dans celui qui a tiré en premier.

 #15 - 14-06-2019 20:07:41

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Duels entre gentlemen

Donc comme certains d’entre vous l’ont bien exprimé, c’est Tuco, le plus mauvais tireur, qui a de loin les meilleures chances de l’emporter (plus de 50%).
Ça me rappelle certains premiers tours d’élections présidentielles 😊

Ce résultat est dû au fait que Blondin et Sentenza, les meilleurs tireurs, vont se neutraliser l’un l’autre pour maximiser leurs propres chances de survie. Ils n’ont pas d’autre choix rationnel.

Tuco à sacrément intérêt à ne pas les perturber pendant cette « phase du jeu », où il ne risque rien, pour être sûr d’être premier tireur lorsque le duel à 2 va commencer. Il doit donc tirer volontairement à côté tant que tout le monde est vivant. Ce qui peut arriver dans deux cas : s’il est premier tireur au tirage au sort, ou second si Sentenza est premier tireur et loupe Blondin.
Dans ces deux cas apparaît donc pour Tuco un choix de cible inattendu mais cohérent en terme d’espérance de gain, à savoir « aucun des deux autres tireurs »

Dès que Blondin ou Sentenza atteint sa cible, un duel à deux commence dans lequel Tuco est toujours premier tireur grâce à cette stratégie, avec 50% de chances contre Blondin (son premier et seul tir) et un peu plus de 50% contre Sentenza, qui peut louper aussi.
Donc peu importe l’ordre des tireurs, Tuco a une espérance d’au moins 50% s’il réfléchit bien. Ce qui finalement reste l’hypothèse la plus douteuse de cette histoire, comme l’a remarqué Ebichu.

Comme aurait dit Cyclopède, étonnant, non ?

 

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