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 #1 - 07-06-2019 18:59:10

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Duels ente gentlemen 2

Compliquons un peu, pour épicer la situation décrite dans le premier opus de nos aventures.

On traverse l’atlantique, et on se retrouve un peu plus d’un siècle plus tard. En pleine guerre de sécession. Dans « Le bon, la brute et le truand » pour être exact. Le fameux duel à 3 dans le cimetière. La musique lancinante. Les plans de plus en plus serrés. Les regards de gauche et de droite comme à Rolland Garros. Vous me voyez venir là…

Mais on modifie un peu la situation par rapport au western en question :
-    Tous appliquent la règle de l’élégance britannique décrite dans le premier post (je sais c’est dur à croire). Un tirage au sort désigne les tireurs successifs : a, b puis c.
-    Tuco, le truand, a un revolver chargé ce coup-ci, comme les deux autres.
-    Exceptionnellement, Blondin n’est pas le meilleur tireur. Chacun tire aussi bien que les deux autres. On a qu’à dire qu’ils touchent leur cible avec une probabilité p.
-    Sentenza n’est pas le plus détesté des 3. Chacun déteste également les deux autres. Ils tirent d’ailleurs avec la même probabilité sur chacun des deux autres quand c’est leur tour (0,5 donc). Ce qui est cohérent car ils savent que la précision de feu des deux autres est identique.

Du coup question : quelle est la probabilité pour le premier tireur d'en sortir vivant ?

Et dans la foulée une autre : Si on ne tire pas au sort l’ordre des tireurs mais que vous, un des protagonistes, pouvez décider votre ordre de passage, quel choix faites-vous ?

Dans le duel à 2 il est définitivement préférable de tirer en premier. Qu’en est-il dans un duel à 3…



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 #2 - 07-06-2019 20:48:34

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Duels entre genntlemen 2

Quand on tire on raconte pas sa vie...

 #3 - 07-06-2019 21:45:53

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Duels etnre gentlemen 2

;-)

 #4 - 07-06-2019 22:51:35

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 843

Deuls entre gentlemen 2

On va réutiliser le résultat du problème précédent. Le tireur A a la probabilité p de réussir son coup, il se retrouve alors en deuxième position du problème précédent, et il a donc la probabilité (1-p)/(2-p) de gagner ; sinon, il a la probabilité (1-p) de rater son coup, il se retrouve alors en troisième position du problème actuel.

Pour le tireur B, au premier tir, il y a la probabilité p/2 qu'il meure ; p/2 que C meure, il se retrouve alors en première position du problème précédent, et il a donc la probabilité 1/(2-p) de gagner ; et (1-p) qu'il se retrouve en première position du problème actuel.

Pour le tireur C, au premier tir, il y a la probabilité p/2 qu'il meure ; p/2 que B meure, il se retrouve alors en première position du problème précédent, et il a donc la probabilité 1/(2-p) de gagner ; et (1-p) qu'il se retrouve en deuxième position du problème actuel.

En notant a, b et c les probabilités de victoire des 3 joueurs, on a donc les relations :

a = p(1-p)/(2-p) + (1-p)c
b = p/2(2-p) + (1-p)a
c = p/2(2-p) + (1-p)b

Ce qui donne les solutions sur la capture d'écran ci-après. La capture nous permet accessoirement d'observer quel tireur est favorisé selon la valeur de p. La valeur où intervient le croisement est p=1/2, ce qui se vérifie facilement par le calcul.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-billcarson.png

 #5 - 07-06-2019 23:30:55

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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duels entre gentkemen 2

Chapeau! ça c'est ce qui s'appelle dégainer rapidement. Et tirer juste :-)

 #6 - 08-06-2019 18:24:21

enigmatus
Expert de Prise2Tete
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duels entre gentlelen 2

Bonjour,

x1, x2, x3 sont les probabilités respectives des tireurs 1, 2, 3 d'être le dernier survivant.
p est la probabilité de faire mouche pour un tireur, et q = 1-p la probabilité de tirer à côté.

En posant
D = 2*(1+q)*(1+q+q**2)
j'obtiens
x1 = q*(3+q) / D
x2 = (1+3*q**2) / D
x3 = (1+q+2*q**3) / D


D étant toujours positif, on montre facilement que :
x2<x1 et x3<x2 pour p<1/2
x2=x1 et x3=x2 pour p=1/2
x2>x1 et x3>x2 pour p>1/2

Il vaut donc mieux être le premier tireur si p<1/2, le dernier si p>1/2, et peu importe si p=1/2.

Les formules sont exactes quand p tend vers 0, mais pour p rigoureusement égal à 0, il est évident que tout le monde reste vivant.

Remarque : Pour ce qui est du choix aléatoire de la personne visée, j'aurais personnellement tendance à choisir le maladroit qui aurait essayé de me tuer….

Voici quelques valeurs numériques :

Code:

p     x1       x2       x3
0.000 0.333333 0.333333 0.333333 
0.100 0.340843 0.333074 0.326083
0.200 0.346084 0.332423 0.321494
0.300 0.347838 0.331722 0.320441
0.400 0.344388 0.331633 0.323980
0.500 0.333333 0.333333 0.333333
0.600 0.311355 0.338828 0.349817
0.700 0.273935 0.351411 0.374654
0.800 0.215054 0.376344 0.408602
0.900 0.126945 0.421785 0.451269
1.000 0.000000 0.500000 0.500000

 #7 - 08-06-2019 20:02:45

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Duels entre gentlemn 2

Top, Enigmatus. Si les formules ne sont pas présentées exactement comme celles d'Ebichu, c'est bien les mêmes. Et ton beau tableaux donne ses jolies courbes  :-)

Quant à ta remarque d'ordre psychologique, j'y souscris. On pourrait ajouter un paramètre qui augmente la probabilité qu'un tireur vise celui qui l'a le plus agressé... Pas sûr que ça profite au premier tireur. Mais une idée pour un prochain duel entre gentlemen.

 #8 - 09-06-2019 08:36:54

nodgim
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Duels enter gentlemen 2

J'ai 10/21, 6/21 et 5/21.
Mais bon.....

 #9 - 09-06-2019 13:23:38

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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Duesl entre gentlemen 2

Nodgim, j'ai des doutes aussi... Aucune valeur de p ne donnent ces résultats.
Et je n'ai pas trop d'avis sur la démarche qui t'y conduit :-)

 #10 - 11-06-2019 08:36:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
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duels ebtre gentlemen 2

Je me suis trompé de problème, je crois. J'ai donné les résultats quand a b et c tirent dans cet ordre (tant qu'il y a des survivants...).

 #11 - 11-06-2019 19:16:18

TOUFAU
Habitué de Prise2Tete
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duelq entre gentlemen 2

Je ne m’étends pas sur la bonne réponse. Le post d’Ebichu explique très bien le raisonnement, et les courbes présentées reflètent bien le résultat.

Je trouve quand même assez contre-intuitif que la meilleure stratégie soit de tirer dernier quand les tireurs sont tous plutôt bons (80% de réussite par exemple).

C’est-à-dire prendre le risque d’essuyer par deux fois le tir des adversaires avant de faire feu pour la première fois. En résumé, quand les tireurs sont bons, intelligent de choisir la troisième place. Mais sacrément courageux quand même !

Confronté à une telle situation, et même en voyant les stats, je ne sais pas si je choisirais de tirer en dernier. Choix cornélien qui renverrait à un autre duel, intérieur celui-là (Cabeza vs Cojones). Je vous laisse la mise en équation.

 

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