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 #1 - 19-08-2020 08:38:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3794

Un tripelt pour des carrés

Bonjour @ tous.

Soit un triplet de réels 0 < p < m < g. Sous quelles conditions peut-il représenter 3 des 4 distances d'un point aux 4 sommets d'un carré quand ce point est strictement à l'intérieur du carré ? Carré et point dans le même plan. Combien et dans quelles conditions peut-on trouver de carrés de tailles distinctes qui sont solution ?

Trouver la taille de tous les carrés du triplet ( 5, 11 , 13 ).

Bon calcul.



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 #2 - 20-08-2020 08:50:53

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1657

un ttiplet pour des carrés

Bon alors quelques réflexions en vrac:
* ce point s'il existe est une intersection de 3 cercles dont les rayons sont donnés et les centres des sommets
* puisque 3 sommets sur 4, il y en a forcément 2 opposés et le 3ème adjacent
* si x et y sont les rayons des cercles des deux sommets opposés, alors x+y >= c*sqrt(2) avec c le côté du carré : il faut au moins un point d'intersection
* et aussi x <= c*sqrt(2) et y <= c*sqrt(2) puisque les points d'intersection sont dans le carré.
* avec ces deux critères, on a deux points disposé symétriquement par rapport à la diagonale qu'on a considéré (celle qui relie les deux sommets). Le 3eme sommet peut être n'importe lequel des deux autres
* Si le 3eme rayon est <= c*sqrt(2)/2 alors il faut considérer le point d'intersection situé dans le même demi plan que le 3eme sommet (par rapport à la diagonale qui passe par les deux premiers sommets, sinon ben l'autre dans le demi plan opposé
* et bien entendu le 3ème rayon aussi est  <= c*sqrt(2) pour la même raison que ses camarades

Ici, p<m<g, donc l'intervalle le plus large pour c est p*sqrt(2)/2 <= c <= (m+g)*sqrt(2)/2, première condition (dans le cas où p serait le rayon du cercle centré sur le sommet adjacent)

je vais poser les equations de cercle, on verra bien ce que ça donne...

 #3 - 21-08-2020 16:18:33

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3067
Lieu: Luxembourg

Un triplet pur des carrés

Les quatre points du carré ont pour coordonnées: (0;0); (0;t); (t;0) et (t;t) et le point central (a;b)
A est la distance du point origine et au point central et B; C et D les autres distances dans le sens horaire
On a les relations: A² = a²+b²; B² = a²+b²+t²-2.bt; C² = a²+b²+2.t²-2.at–2.bt et
D² = a²+b²+t²-2.at
D’où: A²+C² = B²+D² et donc la condition: A²+C² >= B²
Pour (5;11;13), B=13 ne convient pas; il reste donc (A;B;C) = (11;5;13) ou (13;5;11) car A et C jouent un rôle symétrique pour le côté du carré
En replaçant A² par a²+b², les relations donnent:
t^4 – (A²+C²).t² + (A^4+2.B^4+C^4)/2 - B².(A²+C²) = 0
1ère solution: t^4 - 290.t² + 14976 = 0
On trouve: t² = 222,775 ou 67,225, soit t = 14,926 (à garder) ou 8,199 (à rejeter car hors du carré)
2ème solution: t^4 - 194.t² + 5760 = 0
On trouve: t² = 157,407 ou 36,593, soit t = 12,546 (à garder) ou 6,049 (à rejeter car hors du carré)
En définitive, on a deux solutions pour le côté du carré: 14,926 ou 12,546
Merci d'essayer de garder ce site en vie

 #4 - 21-08-2020 17:37:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3794

un triplet ppur des carrés

C'esr presque parfait, Francky, bravo à toi !

Juste une petite chose encore à creuser : Avec ce triplet donné (p,m,g),  peux-tu fournir les conditions pour 1, 2 ou 3 solutions ? Tu as donné une condition minimale, mais elle n'est pas tout à fait juste ( l'égalité que tu as fournie est correcte, mais n'est pas vraiment utilisable comme condition).

 #5 - 21-08-2020 23:15:50

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 22

un triplet ppur des carrés

Bonjour tous
Bonjour Nodgim,

ma première participation sur ce site !

Un approche purement algébrique: si on note A B C les trois sommets du carré  reliés "au point dans le carré" que l'on nomme O, avec B entre ( relié à) C et A, et a b c les distances respectives

En projetant O sur les coté,
Soit X le coté, BA est partagé en  (u, X-u) et BC en ( v,X-v)
et en utilisant Pythagore on se retrouve avec trois équations :
b² = u² + v²
a² = (x-u)² + v²
c² = (x-v)² + u²

qui donne au final, en éliminant u et v l'équation en X  ( coté du carré) :
2 x^4 - 2 X² (a²+c²) + ( b²-a²)² + (b²-c²)²

L'équation est évidemment symétrique en a/c ( ce qui correspond à deux dessins symétriques)
Mais pas en abc, ce qui veut dire qu'il va falloir tester successivement  b = m/p/g donc trois cas

L'équation est en bi carré et le delta est
-a^4 - c^4 - 4*b^4 + 2*a²c² +4*b²a² +4*b²c²

il y donc 3 deltas à tester pour savoir si on a 0,1,2,3 cas possibles

Avec quand on a une solution,  deux valeurs négatives que l'on rejette,et deux valeurs qui sauf erreur doivent correspondre à un point extérieur et un point intérieur au carré, j'ai l'impression que la valeur la plus grande du coté  correspond au point à l'intérieur du carré ? ( sans preuve)

pour m,p,g= 5,11,13 sauf erreur ...

si b=11 : on trouve une solution [latex] \sqrt{97+\sqrt{3649}}[/latex] soit environ 12,54
si b= 5 : on trouve une solution [latex] \sqrt{145+\sqrt{6049}}[/latex] soit environ 14,92
si b= 13 pas de solution

bonne soirée

Ps j'édite pour détailler le calcul initial

 #6 - 22-08-2020 09:04:42

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

un triplet pour des varrés

En reprenant mes notations, je trouve un discriminant de mon équation du second degré en t² de: D = 4.B².(A²+C²-B²)-(A²-C²)²
Si A²+C² < B², alors D < 0 et on est sûr de n’avoir aucune solution (condition qu’on retrouve dans mon précédent post).
Si A²+C² > B², alors on a: D = (2.B.V(A²+C²-B²)-A²+C²).(2.B.V(A²+C²-B²)-A²+C²) dont on doit étudier le signe.
Mais, d’une part l’étude de ce signe se complique, d’autre part une solution négative en t² n’en donne aucune en t et enfin je ne sais toujours pas si le point central obtenu est situé dans le carré ou pas.
Affaire à suivre …

 #7 - 22-08-2020 09:44:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3794

un tripmet pour des carrés

@ Lejeu : c'est bon pour les mesures des carrés, bravo !

@ Francky et les autres : l'approche de la partie " conditions " par résolution du "delta" 
ne semble pas la bonne, à tout le moins ne donnera pas de solutions simples et claires. Il y a une approche bien plus sympathique avec une part géométrique. Par ailleurs, un triplet étant donné, la solution se construit facilement à la règle et au compas.....

 #8 - 23-08-2020 18:37:10

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 22

UUn triplet pour des carrés

Bonjour,

J'ai sorti mes crayons à dessin, ma règle et mon compas

Ci dessous les cercles A ( r=5) et B ( r=11) de centre E
"on voit", pas encore démontré ...  qu'en fixant A, et en faisant parcourir le cercle à B : que le coin D du carré  décrit le  cercle C de centre O (5,-5) et de rayon 11

https://www.dropbox.com/s/7c95puvzb03gl82/3Points.png?raw=1

1) Pour la construction du carré  du triplet ( 5,11,13) , il suffit donc de tracer l'intersection du cercle C et du cercle de rayon 13  de centre E
On retrouve  le cas du carré de coté 14,9 de mon post précédent

2) à partir du couple (5,11) on peut calculer le max de  de la troisième distance donnant  un carré avec E intérieur :
https://www.dropbox.com/s/rpu07uf5jn8tp1c/3points%20b.png?raw=1
c'est [latex] \sqrt{(11+5)²+5²)}[/latex]  environ 16,8


Je regarde pour dessiner l'autre solution
ps - je ne pas sûr de ma mise en ligne d'images - Nodgim, tu me dis si rien ne s’affiche, évidemment sur mon ordi ca marche !

 #9 - 23-08-2020 19:02:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un truplet pour des carrés

@ Lejeu : un peu compliqué comme construction.....il y a plus simple, et surtout plus rigoureux.

Sinon, pour le max, c'est bon !

 #10 - 23-08-2020 20:54:28

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 22

un triplet oour des carrés

Nodgim, je te lis bien... ma méthode n'est pour le moins pas rigoureuse ( mais pas si compliquée ?) .. mais j'en profite pour aller chercher la deuxième condition !

je continue donc avec le deuxième coin de mon carré

le point C parcours maintenant le cercle de centre F,  on retrouve l'autre solution avec le carré de 12,6


https://www.dropbox.com/s/h9dluip7bsd4jms/3%20points%20C.png?raw=1


et le max dans la figure ci-dessous:



https://www.dropbox.com/s/7j092oh08yc5eqj/3points%20d.png?raw=1
avec donc [latex] \sqrt{(11+5)²+11²}[/latex] soit environ 19,4
Donc pour répondre à la question initiale :

avec  un triplet de réels 0 < p < m < g

il y a

deux solutions si  [latex] g< \sqrt{(m+p)²+m²}[/latex]
une solution si  [latex] g< \sqrt{(m+p)²+p²}[/latex]

 #11 - 24-08-2020 10:39:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3794

Un triplet pour des carés

OK Lejeu, tu as bien 2 critères corrects pour 2 solutions.

N'y a t'il pas une 3ème solution possible (cas général) ?

 #12 - 24-08-2020 12:18:34

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
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un triplet pour ded carrés

C'est ce qui s'appelle une réponse au compte goutte ...


pour dessiner le troisième cas je prends, pour visualiser,  a = 5 et c=8, et  c'est le coin opposé C que je balade sur le cercle

https://www.dropbox.com/s/cl3xjjhre4u19rd/3%20point%20e.png?raw=1

Et le point D arrive bien a être à l’extérieur ... et là c'est plus compliqué à calculer : il faut calculer ED, donc le coté du carré ( Pythagore avec le triangle BEC)

(Et  on doit retrouver quelque part  notre delta de départ , c'est ça ?)

Serait-ce à dire que la condition se donne géométriquement c'est à dire g <ED, où attends tu une condition littérale  sur (p,m,g) ?

Ps dans le cas (5,11) on trouve ED environ =11,2 donc pas de solution avec g=13 !

 #13 - 24-08-2020 15:32:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
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un triplet pour des carréd

La géométrie aide, mais il y a bien une réponse algébrique.

 #14 - 24-08-2020 15:46:21

LeJeu
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 22

un rriplet pour des carrés

Ok c'est clair ... tu me retourne ma copie..

Sinon, ne serait-ce pas une bonne idée que de rajouter un peu de temps... en tous cas je vais en avoir besoin ( vue ma vitesse de progression)

Et puis..ca me permettra de lire comment les cadors de "Prise 2 tête" abordent le sujet à leurs retours de vacances !

 #15 - 30-08-2020 17:54:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3794

Un triplet pour ddes carrés

Je laisse du temps libre ici pour d'éventuelles réponses tardives, cause vacances. Une bonne partie a été résolue, mais il reste encore des points à regarder.

 

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