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 #1 - 27-10-2015 19:54:39

Franky1103
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Triplet pyhagoricien

Question initiale
Trouvez un triplet pythagoricien dont la somme des trois termes entiers vaut 2015.

Question complémentaire
Comme certains l'ont proposé, on peut passer à l'année prochaine, pour laquelle nektarfl (bienvenu à lui, au passage) donne six solutions dont celle d'unecoudée.
Y en t-il d'autres et quelle méthode les donnerait toutes ? (je n'ai pas la réponse)



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 #2 - 27-10-2015 20:35:10

nodgim
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Triplett pythagoricien

Si c'est a+b+c=2015 et a²+b²=c² alors, à cause de la parité, ce n'est pas possible.

 #3 - 27-10-2015 20:38:19

enigmatus
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Triplet pyhagoricien

Bonsoir,
Je pense que c'est impossible.
i + j + k = 2015 => 1 ou 3 nombres impairs parmi i, j, k
i^2 + j^2 = k^2 => 0 ou 2 nombres impairs parmi i, j, k

 #4 - 27-10-2015 21:05:40

Franky1103
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Tripelt pythagoricien

Et déjà deux bonnes réponses.

 #5 - 27-10-2015 22:09:31

golgot59
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Triplet pythagooricien

Quel andouille ! Ca fait bien 10 mn que je cherche en vain :

Un triplet de Pythagore est composé de 2 impairs et d'un pair ou de 3 pairs, la somme ne peut donc pas être impair !

Spoiler : [Afficher le message] (si a²+b²=c² alors :
*soit a et b sont de même parité auquel cas a² et b² le sont aussi et donc c² est pair, et donc c est pair aussi. Alors a+b et c sont pairs donc leur somme est pair.
*soit a et b ne sont pas de même parité donc a² et b² non plus et alors a²+b² est impair, donc c² est impair d'où c aussi. Alors a+b+c ne contient que 2 impairs qui donne un nombre pair )

 #6 - 27-10-2015 22:44:36

gwen27
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triplrt pythagoricien

Ca parait difficile...

Leur somme étant impaire, la somme des carrés le sera aussi.

Donc pour un triplet pythagoricien, c'est impossible.

 #7 - 27-10-2015 22:45:56

shadock
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Triplet pythgoricien

http://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p34.jpghttp://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p52.jpghttp://www.prise2tete.fr/upload/nobodydy-N40-p24.jpg

Si les trois termes sont entiers (sous entendu positifs) il n'y en a pas.

Enfin si il y en a un, (2015,0,0) smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 28-10-2015 06:51:18

Franky1103
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Trplet pythagoricien

Et encore trois bonnes réponses.

 #9 - 28-10-2015 08:11:25

nodgim
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Triplet pythagoricine

Comme cette question était vraiment trop facile, même question avec 2016. Et il faut trouver tous les triplets !

 #10 - 28-10-2015 08:36:50

unecoudée
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Trplet pythagoricien

salut.

l'année prochaine ça marchera mieux avec un triplet de nombres paires.

avec 504² + 672² = 840²  avec 504+672+840=2016

 #11 - 28-10-2015 16:02:18

portugal
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Triplet pyhagoricien

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair

Si c'est un triplet non primitif on peut avoir une alternative x,y,z tous pairs

Donc dans aucun cas on ne pourra avoir x+y+z impair

 #12 - 28-10-2015 19:32:45

gilles355
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triplet pythagoricieb

Bon bon bon, je n'ai pas envie de faire du tableur bourrin donc c'est parti pour de la bonne déduction mathématique.

On a le système : { x²+y² =z²   ;   x+y+z = 2015 }

(x+y+z)² = 2015² <=> [(x+y)+z)]²=2015²
                            <=> (x+y)² + 2(x+y)z + z² = 2015²
                            <=> x²+2xy+y²+2xz+2yz +z² = 2015²
                            <=> x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz = 2015²
or x²+y²=z² d'où  <=> 2z²+2xy+2xz+2yz = 2015²
                            <=> 2 (z²+xy+xz+yz) = 2015²

mais 2015 n'est pas divisible par 2 !!! donc pas de solutions entières.

Bon après j'ai un peu continué ...
                            <=> 2 ( xy + z(x+y+z) ) = 2015²
or x+y+z = 2015  <=> 2 ( xy + 2015z ) = 2015²

Voilà, que dire de plus... ah oui 2015 = 5*13*31

 #13 - 28-10-2015 21:07:00

Promath-
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Lieu: Au fond de l'univers

triplrt pythagoricien

La somme des trois termes s'écrit 2(p(p+q) avec p q premiers entre eux et de parité opposée, or 2015 est impair

Donc pas de soution.


Un promath- actif dans un forum actif

 #14 - 28-10-2015 21:42:26

dbab3000
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Triplet ppythagoricien

Si j'ai bien compris un triplet pythagoricien (a,b,c) est un triplet tel que a²+b²=c²
On a a+b+c=2015
2015 est impair alors:
Cas 1
a,b,c sont impairs
On a a²+b²=c² et a,b sont impairs alors a²+b² est pair ce qui implique que c est pair.
C'est absurde.
Cas 2
a,b sont pairs et c impair
Alors a²+b² est pair ce qui implique que c est pair.
C'est absurde.
Cas 3
a,c sont pairs
b impair
Alors a²+b² est impair ce qui implique que c est impair.
C'est absurde.
Tous les cas sont des cas impossibles donc il n'y a pas de triplet vérifiant la relation
a+b+c=2015
Bonne nuit.

 #15 - 29-10-2015 18:40:08

halloduda
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Triplet pyhtagoricien

Il n'y a pas de solution, car la somme doit être paire.
Soit 3 pairs, soit 2 impairs et 1 pair.
Ce ne peut donc pas être 2015.

 #16 - 30-10-2015 17:07:59

nektarfl
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triplet pythagorixien

Il n'y a pas de solution pour la valeur de 2015. sad
les plus proches sont 2010 (335 - 804 - 871)
et 2016 (plusieurs solutions : (224 - 882 - 910) / (252 - 864 - 900) / (288 - 840 - 888) / (448 - 720 - 848) / (480 - 693 - 843) et (504 - 672 - 840)

 #17 - 30-10-2015 17:30:02

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

Triplet pythagoircien

Que de bonnes réponses ! Bravo à tous et merci pour votre participation.
Comme certains l'ont proposé, on peut passer à l'année prochaine, pour laquelle nektarfl (bienvenu à lui, au passage) donne six solutions dont celle d'unecoudée.
Y en t-il d'autres et quelle méthode les donnerait toutes ? (je n'ai pas la réponse)

 #18 - 30-10-2015 17:44:07

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Ardèche

Triplet pyythagoricien

Y en t-il d'autres et quelle méthode les donnerait toutes ? (je n'ai pas la réponse)

Quelle méthode les donnerait toutes ?

Un tableau excel entrées a, b, cellule(a, b) = a²+b²-(2016-a-b)²
Les cellules nulles donnent les solutions.

fragmenter pour tenir compte de la limitation à 256 éléments par ligne

 #19 - 30-10-2015 17:49:12

nektarfl
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Triplet pytthagoricien

En fait, je dois avouer que j'ai utilisé ma capacité à programmer, du coup, après avoir trouvé une méthode qui donne un triplet pithagorien, j'ai programmé une recherche de l'ensemble des triplets avec a allant de 1 à 2000, b allant de a à 2000, c étant calculé ... puis je les ai classé par ordre numérique. Il n'y a pas plus que 6 réponses avec le chiffre de 2016.

programmé ici Ca donne 2319 réponses, il suffit alors de chercher le chiffre qu'on désire yikes

 #20 - 30-10-2015 17:51:18

Franky1103
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triplrt pythagoricien

Je posais la question car je pensais (à tort ?) que trouver u et v (avec u > v) tels que: a = u² - v²; b = 2uv et c = u² + v² donnerait toutes les solutions pour a² + b² = c², mais apparemment pas vraiment.

@nektarfl: C'est juste, mais ça fait 4 millions de cas à tester. Je cherche une méthode plus ... économique, "à la main".
Edit: Erratum. Pas 4 000 000 de cas, mais 2000 x 2001 / 2 = 2 001 000

 #21 - 30-10-2015 17:53:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Triplet pythagorcien

Pour 2016, il n'y a que 6 solutions.
En s'aidant d'un tableur, on peut procéder ainsi:
a=S-b-c
(S-b-c)²+b²=c²
S²+b²+c²-2S(b+c)+2bc+b²-c²=0
2b²+b(2c+2S)+S²-2Sc=0
D'=(S-c)²-2(S²-2Sc)=-S²+2Sc+c².
Expression qui doit être un carré.
Or c l'hypothénuse est encadré:
(V2-1)S < c < S/2 soit environ 0,414 S < c < 0,5 S
L'encadrement est inférieur au 1/10 de S.

Pour 2016 on teste alors si c²+2Sc-S² est un carré parfait pour c compris entre 835 et 1008.

Quelqu'un a une autre méthode ?

 #22 - 30-10-2015 17:54:24

enigmatus
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Triplet ypthagoricien

Franky1103 a écrit:

Y en t-il d'autres et quelle méthode les donnerait toutes ? (je n'ai pas la réponse)

Un calcul exhaustif montre que ce sont les seules solutions (à part 0-1008-1008).

 #23 - 30-10-2015 18:07:31

nektarfl
Amateur de Prise2Tete
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Triplet pythagoicien

Franky1103 a écrit:

Je posais la question car je pensais (à tort ?) que trouver u et v (avec u > v) tels que: a = u² - v²; b = 2uv et c = u² + v² donnerait toutes les solutions pour a² + b² = c², mais apparemment pas vraiment.

@nektarfl: C'est juste, mais ça fait 4 millions de cas à tester. Je cherche une méthode plus ... économique, "à la main".
Edit: Erratum. Pas 4 000 000 de cas, mais 2000 x 2001 / 2 = 2 001 000

beaucoup moins que ça en fait parce qu'au premier tour, on teste 2000 cas, 1999 au second et ainsi de suite, le nombre d'itération est donc de 2001 x (2000/2) donc 2 001 000 tests. A la vitesse actuelle d'un ordinateur, on se retrouve avec 2s de recherche maximum (le plus long étant l'affichage)

 #24 - 30-10-2015 18:51:31

Franky1103
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Tripplet pythagoricien

Oui, nektarfl, j'avais déjà rectifié dans mon édit.

 #25 - 02-11-2015 23:23:11

shadock
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triplet pythzgoricien

Bon comme j'en ai marre de tout faire à la main je me suis fais un petit programme en python. C'est plus simple pour vérifier.

Code:

def triplet(a,b,c):
    return a**2+b**2==c**2

def f(n):
    for a in range(1,n):
        for b in range(a,n-a):
            c=n-a-b
            if c<b:
                break
            if triplet(a,b,c):
                return(a,b,c)

Mais pour 2016 je ne trouve qu'une seule solution (224, 882, 910) indépendamment des permutations des éléments, étant donné que je m'arrête lorsque j'en trouve un. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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