Bonsoir,
Je pense que c'est impossible.
i + j + k = 2015 => 1 ou 3 nombres impairs parmi i, j, k
i^2 + j^2 = k^2 => 0 ou 2 nombres impairs parmi i, j, k

Quel andouille ! Ca fait bien 10 mn que je cherche en vain :

Un triplet de Pythagore est composé de 2 impairs et d'un pair ou de 3 pairs, la somme ne peut donc pas être impair !

Spoiler : [Afficher le message] (si a²+b²=c² alors :
*soit a et b sont de même parité auquel cas a² et b² le sont aussi et donc c² est pair, et donc c est pair aussi. Alors a+b et c sont pairs donc leur somme est pair.
*soit a et b ne sont pas de même parité donc a² et b² non plus et alors a²+b² est impair, donc c² est impair d'où c aussi. Alors a+b+c ne contient que 2 impairs qui donne un nombre pair )

Si les trois termes sont entiers (sous entendu positifs) il n'y en a pas.

Enfin si il y en a un, (2015,0,0)

Comme cette question était vraiment trop facile, même question avec 2016. Et il faut trouver tous les triplets !

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair

Si c'est un triplet non primitif on peut avoir une alternative x,y,z tous pairs

Donc dans aucun cas on ne pourra avoir x+y+z impair

La somme des trois termes s'écrit 2(p(p+q) avec p q premiers entre eux et de parité opposée, or 2015 est impair

Donc pas de soution.

Il n'y a pas de solution, car la somme doit être paire.
Soit 3 pairs, soit 2 impairs et 1 pair.
Ce ne peut donc pas être 2015.

Que de bonnes réponses ! Bravo à tous et merci pour votre participation.
Comme certains l'ont proposé, on peut passer à l'année prochaine, pour laquelle nektarfl (bienvenu à lui, au passage) donne six solutions dont celle d'unecoudée.
Y en t-il d'autres et quelle méthode les donnerait toutes ? (je n'ai pas la réponse)

En fait, je dois avouer que j'ai utilisé ma capacité à programmer, du coup, après avoir trouvé une méthode qui donne un triplet pithagorien, j'ai programmé une recherche de l'ensemble des triplets avec a allant de 1 à 2000, b allant de a à 2000, c étant calculé ... puis je les ai classé par ordre numérique. Il n'y a pas plus que 6 réponses avec le chiffre de 2016.

programmé ici Ca donne 2319 réponses, il suffit alors de chercher le chiffre qu'on désire

Pour 2016, il n'y a que 6 solutions.
En s'aidant d'un tableur, on peut procéder ainsi:
a=S-b-c
(S-b-c)²+b²=c²
S²+b²+c²-2S(b+c)+2bc+b²-c²=0
2b²+b(2c+2S)+S²-2Sc=0
D'=(S-c)²-2(S²-2Sc)=-S²+2Sc+c².
Expression qui doit être un carré.
Or c l'hypothénuse est encadré:
(V2-1)S < c < S/2 soit environ 0,414 S < c < 0,5 S
L'encadrement est inférieur au 1/10 de S.

Pour 2016 on teste alors si c²+2Sc-S² est un carré parfait pour c compris entre 835 et 1008.

Quelqu'un a une autre méthode ?

Franky1103 a écrit:

Je posais la question car je pensais (à tort ?) que trouver u et v (avec u > v) tels que: a = u² - v²; b = 2uv et c = u² + v² donnerait toutes les solutions pour a² + b² = c², mais apparemment pas vraiment.

@nektarfl: C'est juste, mais ça fait 4 millions de cas à tester. Je cherche une méthode plus ... économique, "à la main".
Edit: Erratum. Pas 4 000 000 de cas, mais 2000 x 2001 / 2 = 2 001 000

beaucoup moins que ça en fait parce qu'au premier tour, on teste 2000 cas, 1999 au second et ainsi de suite, le nombre d'itération est donc de 2001 x (2000/2) donc 2 001 000 tests. A la vitesse actuelle d'un ordinateur, on se retrouve avec 2s de recherche maximum (le plus long étant l'affichage)

Bon comme j'en ai marre de tout faire à la main je me suis fais un petit programme en python. C'est plus simple pour vérifier.

def triplet(a,b,c):
    return a**2+b**2==c**2

def f(n):
    for a in range(1,n):
        for b in range(a,n-a):
            c=n-a-b
            if c<b:
                break
            if triplet(a,b,c):
                return(a,b,c)

Mais pour 2016 je ne trouve qu'une seule solution (224, 882, 910) indépendamment des permutations des éléments, étant donné que je m'arrête lorsque j'en trouve un.