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 #1 - 03-08-2013 22:08:05

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

ma couleur du chapeau

Sûrement un classique mais il me bluffe!
On dispose de chapeaux blancs noirs et rouges.
On met de manière aléatoire un chapeau sur la tête de 3 joueurs.
Ils doivent annoncer simultanément la couleur de leur chapeau.
Quelle stratégie leur permet d'être sûr à 100% qu'au moins un d'entre eux donnera la bonne couleur?

Bien sûr ils voient les chapeaux des deux autres mais pas le leur.
EDIT:Les joueurs savent ce qui va se passer et connaissent les couleurs de chapeaux disponibles quand ils élaborent leur stratégie (qui est mise au point avant).
On peut considérer qu'ils ne se voient pas et qu'un arbitre les informe de la couleur des deux autres chapeaux.



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 #2 - 03-08-2013 22:25:09

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

la couleyr du chapeau

Si les joueurs s'appellent A, B et C alors A dis la couleur de B, B la couleur de C et C la couleur de A. Comme il y a forcément deux chapeaux de la même couleurs, le cycle ABCABC... ne peut pas alterner les couleurs, donc forcément un des trois joueurs à dit la bonne couleur.

Par exemple si A = R; B = B et C = R,
Le cycle
ABCABC.. donne
RBRRBR donc ici C dit la bonne couleur.

Pour qu'un des joueur ne donne pas la bonne couleur il faudrait que le cycle
ABCABC.. soient RBRBRBRB... Ce qui n'est pas possible.

Je ne sais absolument pas si je suis très clair lol.

EDIT : AAaaaaaaaaarrrrrrrrrrggggggghhhhhhh... Comment on a trois couleurs de chapeau ??


Il y a sûrement plus simple.

 #3 - 04-08-2013 00:06:05

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

ma couleur du chapeau

On code blanc par 0, noir par 1, rouge par 2 et l'on raisonne modulo 3.

Il y a 3 joueurs dont les chapeaux sont de couleurs a, b, c.

Le joueur a dit b+c
Le joueur b dit 2+a-c
Le joueur c dit 1+a-b

Alors, il y en a forcément un (et un seul en fait) qui devine sa couleur.

En effet, a-b-c vaut 0, 1 ou 2.

Si a-b-c = 0 alors a = b+c     donc le joueur a devine sa couleur
Si a-b-c = 1 alors b = 2+a-c  donc le joueur b devine sa couleur
Si a-b-c = 2 alors c = 1+a-b  donc le joueur c devine sa couleur

 #4 - 04-08-2013 00:21:13

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

LLa couleur du chapeau

Bon alors, si ils voient deux chapeaux de la même couleur il dise cette couleur sinon on adopte la stratégie suivante :

A : RN -> B ; BN -> N ; RB -> R
B : RN -> R ; BN -> B ; RB -> N
C : RN -> N ; BN -> R ; RB -> B

(interpréter XY -> Z par si je vois X et Y alors je répond Z).

Cas 1 : il y a trois couleurs de chapeau différente alors les trois joueurs disent tous la même couleur, donc il y en a forcément un qui a dit la bonne couleur.

Cas 2 : il y a trois couleurs de chapeau identique alors ils disent tous la bonne couleur.

Cas 3 : Il y a exactement deux chapeaux de couleurs identique, alors il y a deux joueurs qui voient exactement les mêmes couleurs différentes, donc on a deux réponse différentes qui sont dans une même colonne dans le tableau ci-dessus.
Comme dans chaque colonne les réponse sont différentes, on aura au moins deux réponses différente. Comme nous somme dans le cas où il n' y a que deux couleurs de chapeau présente, on a (nb de couleur de chapeau + nb de couleur proposé) = 2 + 2 = 4 (au moins) donc d'après le principe des tiroirs, il y a forcément une proposition correcte qui a été donné.

Voilà, c'est mieux smile

EDIT : Eh mais non ! le cas 3 c'est n'importe quoi ! En plus de la stratégie ci-dessus il faut rajouté la suivante pour les autres cas, ainsi il y en a toujours au moins 1 qui dis la bonne couleur.

A : BB -> B ; RR -> B ;  NN -> B
B : BB -> N ; RR -> N ;  NN -> N
C : BB -> R ; RR -> R ;  NN -> R

Cette fois-ci c'est vraiment mieux smile


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 04-08-2013 14:17:47

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

La couleur du chapaeu

Juste pour être sur que ce n'est pas une "blague" basée sur l'orthographe : est-ce qu'ils donnent simultanément la couleur de leurs chapeaux ou de leur chapeau ?
Dans le premier cas, il y a 3 couleurs à annoncer et il faut donc préciser les règles de l'annonce.
Dans l'autre, il y a une p'tite faute d'accord (déjà excusée) dans l'énigme qui m'oblige à me pencher à nouveau sur cet intrigant problème...

 #6 - 04-08-2013 14:46:08

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

la couleue du chapeau

oui leur chapeau.Désolé pour cette horreur!

 #7 - 04-08-2013 22:09:10

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

la xouleur du chapeau

0 affecté à noir, 1 à blanc, 2 à rouge.
3 joueurs A B et C

J'espère l'écrire correctement:

A  dit a tel que  (B+C+a)modulo 3=0
B  dit b tel que  (A+C+b)modulo 3=1 
C  dit c tel que  (A+B+c)modulo 3=2 

A résout:000,012,021,102,111,120,201,210,222.
B résout:001,010,022,100,112,121,202,211,220.
C résout:002,011,020,101,110,122,200,212,221.


Comme le fait remarquer titoufred un seul trouve sa couleur.


Pour 100 couleurs et 100 joueurs  la proba est 63% au hasard et 100% avec cette stratégie mais un seul trouve!

 #8 - 05-08-2013 17:16:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

ka couleur du chapeau

C'est très astucieux. Je ne cherchais pas du tout dans cette direction là.

 #9 - 05-08-2013 19:35:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

La couleur du chapaeu

A Titou:
N'aurait on pas pu raisonner en posant a+b+c=0, 1 ou 2 ?

 #10 - 05-08-2013 20:29:07

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

La couleuur du chapeau

Oui, c'est la solution proposée par Prince. Pour ma part, je suis bêtement parti de "a dit b+c" et j'ai eu la flemme de changer pour rendre le truc symétrique après.

 #11 - 06-08-2013 18:25:25

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

ma couleur du chapeau

D'accord Titou. On peut remarquer que ça marche quel que soit le nombre de joueurs, à condition qu'il y ait un nombre au plus égal de couleurs de chapeaux.
Dans l'énoncé, on demande la stratégie pour qu'un au moins 1 joueur trouve la couleur de son chapeau, mais au final c'est bien un et un seul joueur qui gagnera.
Ta méthode est un de ces raisonnements mathématiques qui permettent de s'affranchir de comprendre le problème: Une fois que c'est bien modélisé, on applique et on ne s'embête à tenter de savoir pourquoi ça marche.
ça me fait penser, toutes proportions gardées, à la mécanique quantique qui ne peut se comprendre par intuition, mais seulement par le résultat des raisonnements mathématiques.

 

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