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 #1 - 27-05-2020 10:34:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

Division comme à l'écol primaire

Bonjour @ tous

2396252815945293071135751898892644953

est la concaténation de :

- 1er chiffre du quotient
- 1er reste
- 2ème chiffre du quotient
- 2ème reste
.....
-dernier chiffre du quotient
- dernier reste

quand on fait la division telle qu'on l'a appris en CM ( dite aussi potence )

Il s'agit de retrouver Dividende, Diviseur, Quotient sachant que Diviseur et Quotient ont le même nombre de chiffres.

Pour l'exemple et éviter toute ambiguïté, 51041 est le résultat de 1351/25.

Bonne recherche



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 #2 - 28-05-2020 18:41:22

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

division comme à l'école primzire

Salut nodgim,

je trouve dividende = 35 428 107 961
diviseur = 157 328
quotient = 225 186
reste = 44 953

D'abord, je me suis dit que vue la taille de ton nombre, le nombre de chiffres le plus probable pour le diviseur et le quotient était 6.

Ensuite, j'ai cherché dans ton nombre les emplacements les plus probables des 6 chiffres du quotient en essayant d'obtenir des restes pas trop gros.

Après, si on admet que le premier reste est 39625, on doit avoir 39625x=2*diviseur + 81594 ce qui laisse peu de choix pour le diviseur. La relation suivante est 81594y = 5*diviseur + 29307, et cela suffit à trouver 157328.

 #3 - 29-05-2020 08:28:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

division comme à l'école primaite

Oui, c'est bien cela Ebichu, bravo !

J'ai éprouvé le besoin de donner une indication sur la relation diviseur / quotient. Sans celle ci, que serait devenu la réponse ?

 #4 - 29-05-2020 19:26:46

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 393

Division ocmme à l'école primaire

Soit m,n,q dividende, diviseur et quotient

Le quotient a au moins 6 chiffres, sinon, ça impliquerait des restes trop grands
Ca permet d'éliminer les solutions triviales où le quotient à 1 chiffres big_smile

Si un reste possède 4 chiffres, le quotient suivant doit être 0. Baisser le chiffre suivant du dividende donne un nombre à moins de 6 chiffres, le quotient suivant doit donc être 0. (Ca ne peut arriver qu'avant l'unique chiffre 0 ou sur le dernier reste)
De même, si un reste moins de 3 chiffres, les quotient suivants sont 0. (Ca ne peut donc arriver que sur le dernier reste)

Le quotient a au plus 6 chiffres car si il en avait 7 ou plus, ça impliquerait plusieurs restes ayant moins de 5 chiffres, et donc de nombreux 0).

L'analyse procède comme suit :
soit r1 le dernier reste trouvé
soit qs le quotient suivant
soit r2 le reste supposé
Il faut que r1x = qs*n + r2 commence par . (où x est le chiffre suivant du dividende - celui que l'on descend)
On a donc n = (r1x-r2)/qs
or 10*r1 <= r1x < 10*(r1+1)
Donc (10*r1-r2)/qs <= n < (10 + 10*r1-r2)/qs

On peut donc chercher le quotient par arborescence.

Si r1 = 39625 (pas besoin de tester plus petit, sinon, le quotient suivant serait 0)
qs = 2
r2 = 81594 : (rs ne peut pas être plus grand sinon n serait négatif)
n est donc compris entre (396250 - 81594 )/2 et  (396259 - 81594 )/2
donc 157328 <= n <= 157332.

Continuons
r1 devient 81594
Le qs suivant est 5
Si r2 = 29307 :
n est donc compris entre (815940 - 29307 )/5 et  (815949 - 29307 )/5
donc 157327<= n <= 157328.
Donc n = 157328 (c'est la bonne branche mais on va d'abord invalider les autres)
Augmenter r2 ferait baisser n.

Revenons au tout début.
Si r1 = 396252
qs = 8
Si r2 = 15945 :
n est donc compris entre (3962520 - 15945 )/8 et  (3962529 - 15945 )/8
donc 493322 <= n <= 493323.
Le prochain quotient sera forcément 0, ce qui est impossible

Si r2 = 159452
n est donc compris entre (3962520 - 159452 )/8 et  (3962529 - 159452 )/8
donc 475384 <= n <= 475384. (soit n = 475384)
Le quotient suivant ne peut être un 9.

Conclusion, la seule branche possible est celle où n = 157328.
On avait comme début du quotient 2, 2 et 5. En continuant de même, on trouve q
= 225186
2 39625 2 81594 5 29307 1 135751 8 98892 6
et m = 225186*157328 + 44953 = 35428107961
On peut rapidement double check cette solution

 #5 - 30-05-2020 09:55:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

division comme à l'école primairr

Parfait Caduk !

 

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