On est d'accord (?) sur le fait qu'un évènement qui a une probabilité nulle
n'est pas impossible.

Il reste à donner le dispositif concret pour
"piocher un entier naturel au hasard dans N"

(@nodgim ta question/ ta réponse a-t-elle un rapport avec les concepts comme "presque sûr" et "presque jamais".

(Un événement se produit presque sûrement s'il a une probabilité de 1, et un événement avec probabilité nulle se produit presque jamais, mais cela ne signifie pas qu'il est impossible.)

___________
en mathématiques il n'y a pas d'action au sens propre
il n'y a que des relations
Raison pour laquelle la question du choix y est "embarrassante"
Il n'y a pas de choix en mathématiques.* **

*Sauf erreur de ma part
Spoiler : [Afficher le message] (on ne peut se permettre de confondre "choisir"  avec la déclaration d'existence qui revient à désigner)


** Raison pour laquelle (nodgim***) tu as préféré "piocher" ?

___________________
*** Merci pour ta proposition
qui a ... de l'horizon.

nodgim a écrit:

@ Gwen : " Tu espères encore raisonner avec un nombre fini de chiffres ?  Alors tu n'as rien compris au problème "

Tout entier naturel s'exprime avec un nombre fini de chiffres. Mais ce nombre n'est pas limité. Voilà le paradoxe.

Je confirme.
Ma partie décimale a de fortes chances d'avoir un nombre infini de chiffres. Mais c'est le cas des entiers. mais Si je continue à l'infini, une partie négligeable va s'arrêter.

Elle a aussi une chance infime d'avoir un nombre fini de chiffres ou 1 chiffre, et c'est le cas des entiers.

On ne peut pas piocher au hasard sans avoir une probabilité de 1 de piocher un nombre plus infini qu'un autre.

Mon modèle montre qu'on peut le choisir, mais pas l'exprimer, en tout cas, dans le cas extriqué de notre système de numération. mais ma boule s'arrête sur un nombre dont la partie décimale est un entier, sauf qu'il faut aller très loin pour en être sur, infiniment loin peut-être.

Un réel est juste un entier qui n'en finit pas.

@ Migou: le choix de quoi ?

Pour l'instant, j'en reste que le problème proposé n'est pas cohérent : on ne peut pas piocher un "élément" comme dans un sac, car le contenu du sac n'est pas représentatif de N pour les raisons que j'ai avancées. Par ailleurs, pour l'entier infini, outre qu'il n'est pas dans N, il n'existe pas comme limite de N.

@scarta : Si je comprends bien, tu justifies que l'existence d'une fonction choisissant un entier au hasard impliquerait l'existence d'une fonction choix sur une infinité de copies de l'ensemble {0, 1,..., 9}?

Mais cette implication est tautologique, car une fonction choix existe sur ces ensembles : la fonction nulle.

En fait l'axiome du choix est surtout utile quand les ensembles considérés sont tous très différents les uns des autres.

Personne ne l'explique mieux que Bertrand Russel :
"Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine"

@nodgim : Oui ou plus simplement : je tire à pile ou face. Pile : j'arrête, face : je continue. Et je dis combien de lancers j'ai fait.
Le problème de ces programmes, c'est qu'ils ne s'arrêtent pas.

Spirou a écrit:

En fait l'axiome du choix est surtout utile quand les ensembles considérés sont tous très différents les uns des autres.

@spirou : c'est marrant, l'exemple que donne Russel est exactement l'inverse de ce que tu dis Rien ne ressemble plus à une paire de chaussettes qu'une autre paire de chaussettes (deux éléments dans un ensemble, physiquement distincts mais impossible à distinguer l'un de l'autre).
Le problème que soulève l'axiome de choix, ce n'est pas qu'il n'y a pas de fonction, c'est surtout qu'il y en a une infinité, et qu'on ne peut en choisir aucune de façon formelle pour répondre à un problème donné. Dire "j'en choisis une parmi celles-ci", c'est recourir à l'axiome de choix.
--> Pour des chaussures, le problème posé étant "choisir un élément d'une infinité de paires", je peux effectivement construire une fonction unique "je prends le pied droit", qui est bien défini : pas besoin d'un axiome.

Mais choisir un nombre dans N, c'est opter aléatoirement pour une fonction de choix plutôt que toutes les autres. Le problème est différent.

Pour illustrer un peu mieux : pour un entier donné, je sais tout à fait construire la fonction de choix correspondante. Elle est bien définie, et elle est unique.
Exemple : f(1) = 2, f(2) = 4, f(n>2) = 0 --> fonction qui donne 42.
En choisir une parmi celles disponibles, c'est une autre paire de chaussettes...