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 #1 - 16-06-2013 10:37:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Pliaage en carré

Bonjour à tous,
Un petit problème pas méchant qui requiert juste de la rigueur.
Quel rapport existe t il entre L et e quand, après avoir plié sur elle même n fois une bande de papier de longueur L et d'épaisseur e, on obtient un profil carré ?



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 #2 - 16-06-2013 10:48:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Pliiage en carré

Sauf erreur [latex]4^n[/latex]

Vasimolo

 #3 - 16-06-2013 11:00:01

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

pliage rn carré

Je dirais [latex]L = 2^n * e[/latex].

Si je plis le papier 1 fois alors j'aurais un rectangles de longueur, [latex]L/2[/latex] et d'épaisseur [latex]e[/latex].

À chaque pliage je divise la longueur du rectangle par 2, donc au bout de [latex]n[/latex] pliage j'aurai un rectangle de longueur [latex]L/2^n[/latex] et d'épaisseur [latex]e[/latex]. Donc si j'ai un carré après le [latex]n[/latex]-ième pliage, alors   [latex]L/2^n = e[/latex] et donc [latex]L = 2^n * e[/latex].


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 16-06-2013 11:12:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Pliage en caré

2^2n ?

 #5 - 16-06-2013 13:13:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

pliage en catré

Oui Vasimolo et Gwen. Cogito, tu as peut être été trop vite...

Comme c'est facile, une petite question supplémentaire: Dans ce pliage, quelle est la proportion des parties verticales de la bande de papier ?

 #6 - 16-06-2013 13:44:58

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Pliiage en carré

Ah? ... Oui peut-être smile

Si je fais [latex]n-k[/latex] pliures dans le sens de la longueur et [latex]k[/latex] pliures dans le sens de l'épaisseur (i.e. au total [latex]n[/latex] pliures) et que j'obtiens un carré alors  [latex]L/2^{n-k} = e/2^k}[/latex] et donc  [latex]L = 2^{n-2k} e[/latex]

Par contre je ne comprend pas la question supplémentaire.


Il y a sûrement plus simple.

 #7 - 16-06-2013 16:02:57

looozer
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Belgique

Piage en carré

Je dirais qu'il faut que L/(2^n) = e*(2^n) et donc L/e = 4^n

 #8 - 16-06-2013 16:32:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Pliage en carr

l'épaisseur est 2^n e

La longueur est L or L =2^2n e

donc le rapport est 2^n

 #9 - 16-06-2013 17:05:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Pliae en carré

looser oui pour la 1), cogito toujours pas (tu devrais faire un dessin tranquillement).
Gwen pour la question 2), je n'ai pas trouvé la même chose, et je crois que c'est moi qui ai raison...

 #10 - 16-06-2013 17:29:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,464E+3

pliagz en carré

Effectivement, j'ai corrigé même si je ne suis pas encore tout à fait sûr de moi.

On imagine bien le pliage comme ça ?
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-pliage.JPG

 #11 - 16-06-2013 18:38:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Pliagge en carré

Beau dessin Gwen, mais tu n'as pas plié la bande, tu l'as plutôt cassée en 2....

 #12 - 16-06-2013 18:57:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Pliage n carré

C'est là où j'ai du mal ... Quelle approximation prends-tu ? Car la distance ne sera pas la même sur les deux faces. Un tel problème est, de toute façon, une vue de l'esprit non ?

 #13 - 16-06-2013 23:17:38

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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pliage en carté

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris l'énoncé, "plier sur elle même n fois"
signifie bien "plier n fois en deux" ?
Ou alors c'est un espèce de pliage en accordéon avec n "étages", dans ce cas là on aurait   L = n * e .


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 17-06-2013 10:34:00

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

Pliage e ncarré

Je vais supposer que l'épaisseur de la bande pliée est doublé à chaque pliage.

Après n pliages, l'épaisseur fait donc : e 2^n.
Si après n pliages nous avons une tranche carrée, sa surface est : (e 2^n)^2=e² 2^(n+1)

La surface de la tranche de la bande n'est pas modifiée par pliage, elle faisait eL à l'état initial : donc eL = e² 2^(2n)
Soit L = e 2^(2n)

Ce calcul reste très théorique car pour qu'un papier plié en deux présente un profil rectangulaire il faut que son épaisseur soir négligeable, ce qui entre en contradiction avec le carré final (pour le dernier pliage, évidemment, mais pour les précédents aussi dès que l'épaisseur se rapproche de L) ...

Pour obtenir un joli profil carré avec notre ruban initial, il faudrait enrouler le papier en une spirale carrée, dans laquelle par symétrie, on aura la même longueur de bande verticale que horizontale, ce qui répond peut-être à la question bonus !!!

 #15 - 17-06-2013 12:47:09

babou_5
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 22

pliahe en carré

Soit R, l'ensemble des valeurs possibles du carrée, R contiens l'ensemble des denominateur commun atteignable par succession de division par 2 (ça c'est dans le cas d'entier)

Je vais plancher sur le cas des Nombres à  virgule smile (J'imagine bien, que c'est l'ensemble des denominateur atteignable par division par 2)

 #16 - 17-06-2013 18:53:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Pliage en craré

Pour répondre à certaines interrogations:
Pour le pliage: votre bande est posée à plat, vous ne touchez jamais à l'extrémité gauche. Vous rabattez l'extrémité droite sur la G. C'est un 1er pliage.
Pour le second pliage, vous prenez la nouvelle extrémité droite, et vous la rabattez exactement sur la gauche.
Etc.
Ainsi le pliage fait diminuer à chaque fois la longeur de la moitié, mais attention pas tout à fait: il va bien falloir tenir compte de l'épaisseur du pliage.
On suppose que les plis se font à 90 ou 180°.
On prendra pour longueur moyenne l'axe de la bande.

Comme les questions sont fraiches, je redonne du temps.

Dylasse oui.
On supposera une certaine élasticité au papier, car localement les 2 faces ont des longueurs différentes, même si dans le total il n'y a de différence.

 #17 - 17-06-2013 19:40:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Pliage en craré

A babou_5, je ne pense pas que ce soit aussi compliqué....

 #18 - 17-06-2013 23:28:04

cogito
Expert de Prise2Tete
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Messages : 593

Pliage en crré

D'accord, je crois que j'ai compris.

Après [latex]n[/latex] pliages j'obtiens une bande d'épaisseur [latex]2^ne[/latex] et de longueur, on va dire [latex]a[/latex].

La longueur totale de la bande est  [latex]L=2^na[/latex] (grossièrement, c'est la somme des [latex]2^n[/latex] morceaux de longueur [latex]a[/latex]). Si j'obtiens un carré, cela signifie que [latex]a = 2^ne[/latex] et donc [latex]L=4^ne[/latex].

Pour la question supplémentaire, si je l'ai bien comprise, je trouve un truc du genre :
[TeX]{4^n + 3*2^n -4}\over{3*4^n}[/TeX]


Il y a sûrement plus simple.

 #19 - 18-06-2013 18:46:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Pliage een carré

Oui cogito pour la question 1, et peut être aussi pour la question 2, en tout cas on tombe sur la même limite avec n grandissant.

 #20 - 18-06-2013 20:56:07

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Pliage en crré

La différence vient peut être du fait que l'on peut considérer les extrémités comme soit appartenant aux parties horizontales, soit appartenant aux parties verticales.

J'ai choisi la deuxième option, donc par exemple la longueur du plus grand morceau vertical est [latex]2^ne[/latex] (alors qu'avec la première option ce serait [latex](2^n-2)e[/latex], et si par souci d'égalité on choisit d'en prendre 1 sur 2 alors ce serait [latex](2^n-1)e[/latex]  smile ).

J'ai obtenu la formule en calculant l'expression suivante :
[TeX]\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=1}^{2^j} 2i[/TeX]
Les morceaux verticaux de la partie droite sont strictement croissants.
Le plus petit est là où l'on a fait la nouvelle pliure et il est de hauteur 2.
Les suivants on chacun deux épaisseures de plus que celui qui le précède.
On obtient donc la somme des nombres pairs jusqu'à [latex]2^n[/latex].
Et sur la partie gauche on a les mêmes motifs pour les puissances de 2 inférieures.

Cela est dû au fait que quand on pli en deux la bande de papier, le motif de droite
vient se rajouter aux autres motifs de la partie gauche et sur la partie droite le nouveau motif pour la puissance de 2 supérieure est apparu.


Il y a sûrement plus simple.

 #21 - 19-06-2013 17:38:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

pliage en caeré

C'est une manière de voir cogito.
Je voyais plutôt un fil dans le milieu de l'épaisseur de la bande, et donc dans les angles il y a égalité entre la partie verticale et la partie horizontale.

 

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