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 #1 - 13-06-2016 11:28:19

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Expérience et complies

Hello,

Alice, Bob et Roger jouent tous les trois au jeu de l’expérience sociologique.
Une manche consiste à miser 1 euro par participant puis à avoir chacun écrire
secrètement un entier entre 0 et 1000 sur un papier. Lorsqu'on révèle simultanément les entiers choisis par chacun le plus proche de la moitié de la moyenne gagne les trois mises (on ne fait aucun arrondi et en cas d’égalité on partage équitablement entre gagnants)
Alice, Bob et Roger sont trois bons mathématiciens, mais Alice et Bob trichent:
ils communiquent et se mettent d'accord à chaque manche. (Ils partageront leurs gains, ils ne cherchent qu'à plumer Roger**). Roger commence à comprendre leur stratagème mais préfère faire de son mieux plutôt que de les accuser.
Comment Alice et Bob doivent ils jouer dans leur stratégie malhonnête commune?
Comment Roger doit il jouer?


**: Ca ne semblait pas totalement clair alors je precise que dans le duo de complices Alice et Bob, ils se contrefoutent que l'un des deux perde la manche puisqu'ils partagent leur butin (Apres dans un parking à minuit). (rien à voir avec le partage entre gagnant dans le cas d'egalite)

Bonne chance!

Stratégie gagnante:
Spoiler : [Afficher le message]
-Pour Alice est Bob:
Ils se mettent d'accord au hasard sur un nombre entier K entre 0 et 250.
Alice joue K et Bob joue 4K.
Dans de telles conditions Roger perd systématiquement sauf sil dit exactement K.
C'est à dire qu'il n'a que 1/251 chance de ne pas perdre sa mise.

-Pour Roger:
Il n'a rien a faire de mieux que d’empêcher pire, c'est a dire que Bob et Alice puissent s'adapter à ce qu'il joue. Il va donc faire comme Alice, jouer un entier au hasard entre 0 et 250.



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 #2 - 13-06-2016 18:29:31

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Expérience et coplices

Salut !

D'après mes calculs, si l'un des 2 escrocs joue un entier n compris entre 1 et 250, et que l'autre joue 4n, alors le seul moyen pour Roger de gagner est de jouer lui aussi n, car :
Roger joue R. La somme gagnante sera S=(5n+R)/6 :

Si R=n : S=n et donc les 2 qui ont joué n gagnent, Roger fait un bénéfice de 0.50€
Soit x un entier relatif.
Si R=n+x : S=n+x/6, et donc celui qui a joué n sera plus près que Roger de S.

Du coup, en jouant aléatoirement, Roger n'aura que 1/250=0,4% de chances de faire un bénéfice de 0.50€ à ce jeu. Son espérance par partie est de [999x(-1)+1x0,5]/1000=-0,9985€

Je dirai qu'il a intérêt à ne pas jouer à ce jeu... roll

 #3 - 13-06-2016 21:07:05

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

expérience et colplices

Je dirais :

Alice joue un entier aléatoire x parmi [0;250].
Bob joue 4x.
De cette façon, Roger ne fera jamais mieux qu'Alice, au mieux, il peut espérer match nul s'il joue le même entier qu'Alice.

Quant à Roger, il choisit un entier aléatoire parmi [0;250] pour limiter les dégâts : il n'a qu'une probabilité de 1/251 de faire match nul...

 #4 - 13-06-2016 22:54:24

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Expérience et omplices

@golgot59 et @ebichu: J'approuve vos solutions :p (pauvre Roger)

 #5 - 15-06-2016 11:31:53

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Expérinece et complices

Seulement deux ont cherché et trouvé la solution ?  C'est vraiment plus ce que c’était prise2tete tongue

 #6 - 15-06-2016 16:39:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Exérience et complices

Ce n'est pas vraiment ça: seulement deux ont trouvé la solution, mais plein ont cherché, pas trouvé et pas osé poster une demande d'aide. smile

 #7 - 16-06-2016 05:53:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

EExpérience et complices

Strategie pour A et B:
L'un des 2 complices joue haut, l'autre joue une fraction du premier.
- supposant que R joue des petits nombres, (pres de 0), on obtient l'equation B= A/5.
- supposant que R joue des grand nombres (dans une limite raisonable), on trouve que pour A max de 1000, B et R on interet a jouer 250, soit B=A/4.
Donc on peut imaginer que pour commencer A joue 1000, B joue 1000/4.5 soit 222, et pour les coups suivants en fonction de ce que R joue, B et A augmentent ou diminuent leur choix ensemble pour chercher a derouter R. B continue a choisir entre 1/4 et 1/5 de A (qu'ils se communique d'une facon ou d'une autre...)

Strategie pour R: rester entre 0 et 250. Essayer d'anticiper le choix de A et B. Mais il sera difficile de contrer une communication entre A et B. Une option serait de jouer autour de 125, mais le success de cette technique ne durera pas.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 16-06-2016 09:02:52

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

exoérience et complices

@dhrm77: Tu as presque trouve ce que A et B doivent faire, tu as encore une famille de couple A,B trop large, il reste dans cette famille de couples de valeurs des couples qui sont strictement moins intéressant que d'autres.

 #9 - 16-06-2016 13:12:26

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Expérieence et complices

A une stratégie fixée Alice/Bob il existe des nombres gagnants et d'autres perdants pour Robert.

En pratique il existe un intervalle gagnant pour Robert. Cet intervalle est de dimension variable en fonction des choix de A&B
Par exemple en valeurs arrondies
* pour (A,B)= (1000,0), R est gagnant sur [1;450]
* pour (A,B)= (1000,100), R est gagnant sur [150;350]
* pour (A,B)= (1000,200), R est gagnant sur [230;270]

Après une petite plage stable, l'intervalle gagnant de Robert s’élargit.

En jouant avec les tailles d'intervalle, le couple (400,100) est particulièrement intéressant. B ne peut qu’égaliser (en jouant 100 précisément)

Mais si il egalise, il gagne car il prend 1.5€ pour 1 misé : cette solution n'est donc pas GTO ((game theory optimal))



On doit donc trouver un equlibre GTO  ou (A,B) jouent de manière probabiliste autour de ce point, de manière à ce que meme si R connait leur algo (mais pas le tirage), il n'a l’espérance de gain la plus faible possible (vu du coté de A,B...)


Remarque : il est obligé pour (A,B) d'avoir une strategies probabiliste sinon R peut faire la bonne réponse malgré la faiblesse de son intervalle gagnant)

 #10 - 16-06-2016 13:24:50

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

expérience et complives

Fin de l’énigme, merci à tous les participants.

Stratégie gagnante:
-Pour Alice est Bob:
Ils se mettent d'accord au hasard sur un nombre entier K entre 0 et 250.
Alice joue K et Bob joue 4K.
Dans de telles conditions Roger perd systématiquement sauf sil dit exactement K.
C'est à dire qu'il n'a que 1/251 chance de ne pas perdre sa mise.

-Pour Roger:
Il n'a rien a faire de mieux que d’empêcher pire, c'est a dire que Bob et Alice puissent s'adapter à ce qu'il joue. Il va donc faire comme Alice, jouer un entier au hasard entre 0 et 250.

 #11 - 16-06-2016 13:29:43

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

expérience et colplices

Je venais de voir le problème et avait trouvé en partie l'astuce autour d'une exemple (voir mon post..) ... arggggh  j’étais pas loin de généraliser... c'est très sympa comme problème.

Merci !

 

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