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#26 - 06-12-2007 13:43:36
- Bonswouar
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Décomposition somme et prodiut
Il semblerait que quel que soit le nombre, il faille à chaque fois utiliser le maximum de fois le chiffre 3...! Mais pourquoi, ça je ne sais pas.
Il semblerait aussi que 3 soit le chiffre qui ait le plus grand rapport Somme/Addition (j'ai essayé avec quelques chiffres sous excel).
#27 - 06-12-2007 14:15:10
- Ptitloup
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décomposition somme et prodyit
EfCeBa a écrit:Maintenant si vous avez le courage trouvez-moi une théorie pour obtenir le produit le plus grand pour un nombre n.
Bonswouar a écrit:... Surement un rapport avec le fait que [latex]3<\sqrt{14}<4[/latex]
En fait... je ne pense pas qu'il s'agit de la racine carré dans la prise en compte du machin chose... je serais plutôt tenté de dire qu'il faut prendre la racine nème (avec n comme nombre d'éléments).
Côté démonstration en fait... je pense tout de suite à la chose suivante : (si on raisonne à 2 dim) -> maximiser la surface d'un rectangle pour un périmètre donné... (et c'est un carré). Pour notre problème, c'est un peu différent, puisque le nb de dimension n'est pas donné à l'avance... c'est d'ailleurs ça qui est "troublant", c'est qu'on ne connaisse pas la "dimension" je serais plutôt tenté de dire qu'il faut résoudre qq chose du genre (en raisonnant avec des réels bien entendu... on extrapolera peut être ensuite en théorie des nombres entiers) racine nième de 14 = n soit [TeX]{14}^{\frac{1}{n}} = n[/TeX]
#28 - 06-12-2007 14:20:36
- Ptitloup
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décomposition somme et produiy
ou peut être plutôt [TeX]{14}^{\frac{1}{n}}=14*n[/TeX] ou non, en fait je crois que mes cours de math sont trop trop loins... ça donnerait euh.... [TeX]{x}^{x}=14[/TeX] [TeX]\sum_{0}^{x}(x)=14[/TeX] arf, pourquoi il me convertit plus le truc en latex ??????!? -> ok, c bon, faut mettre / au lieu de \ en balise fermante !
#29 - 06-12-2007 14:54:19
- grael
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décomposition sommz et produit
Pour un resultat générique, pour un nombre n, la décomposition en somme est celle qui tombe juste parmi : 1 - n=x*3 (n modulo 3 = 0) 2 - n=x*3 + 2 (n modulo 3 = 2) 3 - n=x*3 + 2 + 2 (n modulo 3 = 1)
Une tentative d'explication, un peu empirique...
Décomposer en somme de 3 est le plus avantageux, puis un ou deux 2 pour completer si besoin.
Si on prend 6 6 = 2+2+2 2*2*2=8 6 = 3+3 3*3=9 Donc quand on a le choix, mieux vaut choisir les 3 que les 2.
Pour tous les nombres plus grands que 3, il est plus avantageux de les redecouper en somme de 3 et un ou deux 2.
4=2+2, 2*2=4, donc on peut garder un 4 mais il n'apporte rien de plus.
5=3+2, 2*3=6 6=... voir plus haut 7=3+2+2, 3*2*2=12 8=3+3+2, 3*3*2=18 9=3+3+3, 3*3*3=27 Et ainsi de suite...
#30 - 06-12-2007 15:07:20
- FSRom1
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Décomposition ssomme et produit
Hello! Je propose la méthode suivante pour trouver la décomposition optimale de n'importe quel nombre entier N.
1) Si N est divisible par 3 (c-à-d N = 3M), la décomposition optimale est: N = 3 + 3 + ... + 3 où le terme 3 apparait M fois. P vaut alors P=3^M.
2) Si le reste de N dans la division euclidienne par 3 est 1 (c-à-d N = 3M+1), la décomposition optimale est: N = 3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2 où le terme 3 apparait (M-1) fois. P vaut alors P=4*3^(M-1).
3) Si le reste de N dans la division euclidienne par 3 est 2 (c-à-d N = 3M+2), la décomposition optimale est: N = 3 + 3 + ... + 3 + 2 où le terme 3 apparait M fois. P vaut alors P=2*3^M.
Démonstration prochainement...
#31 - 06-12-2007 15:12:02
- grael
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Déomposition somme et produit
On est d'accord, FSRom1
#32 - 06-12-2007 15:31:35
- FSRom1
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Décompositiion somme et produit
Spoiler : Démonstration Soit a1+a2+...+an = N la décomposition de N qui aboutit au produit maximal P = a1*a2*...*an
Etape 1 Supposons qu'au moins un terme ai soit tel que ai ≥ 4. On pose bi = ai - 2 et comparons P au produit P' obtenu en employant (bi+2) en lieu et place de ai dans la décomposition:
P-P'=[a1*...*a(i-1)*a(i+1)*...*an]*(ai - 2bi) Le produit entre crochets est positif tandis que le facteur entre parenthèses est négatif ou nul compte tenu du fait que ai = b1+2 ≥ 4
P-P' est négatif donc P' ≥ P alors que P est supposé être le produit maximal. L'hypothèse ai ≥ 4 est fausse, par conséquent les termes de la décomposition sont strictement inférieurs à 4 (0, 1, 2 ou 3).
Etape 2 Supposons que la décomposition optimale soit composée de w fois le terme 0, x fois le terme 1, y fois le terme 2 et z fois le terme 3. P vaut alors P = 0^w * 1^x * 2^y * 3^z.
Supposons que w ≥ 1, alors P=0. Or w=0 implique que 0^w * 1^x * 2^y * 3^z ≥ 1 > P. L'hypothèse "w ≥ 1" est fausse, donc w = 0
to be continued...
#33 - 06-12-2007 16:19:56
- Ptitloup
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décomposition somme et oroduit
ok ok, c'est vrai qu'en revenant à une décomposition élémentaire, ça se comprend (et se démontre) plus facilement... enfin, ce que j'ai dit était tout faux du coup
#34 - 06-12-2007 19:43:25
- Tuxicoman
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Décompostion somme et produit
Moi je m'étais aperçu qu'en fait le 3 est le plus efficace car pour des nombres plus grands, 4=2+2 et 2*2=4 (ne change rien) et 5=3+2 et 3*2=6>5 (il est plus avantageux de décomposer le 5). Le plus grands chiffes ne valent donc pas la peine d'être utilisés. Je suis par contre incapable de le démontrer.
#35 - 07-12-2007 01:19:48
- scarta
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Décomposition ssomme et produit
Pour continuer la démo de FSRom1 (avec laquelle je suis d'accord)
On en était à: PMax = 1^x * 2^y * 3^z Or on a aussi N = x+2y+3z Supposons x > 0 et interessons nous alors au cas suivant: N = (x-1)+2(y-1)+3(z+1) La décomposition de N sous cette forme donne alors le produit suivant: 1^(x-1) + 2^(y-1) + 3^(z+1) = PMax * 3 / 2 > PMax Donc on a un produit supérieur au produit supposé maximal. L'hypothèse x>0 est fausse et donc x=0.
On en est donc à: PMax = 2^y*3^z et N=2y+3z Supposons y >=3 et interessons nous alors au cas suivant: N = 2(y-3) + 3(z+2) On a alors le produit suivant: 2^(y-3) * 3(z+2) = PMax *9/8 > PMax Donc on a un produit supérieur au produit supposé maximal. L'hypothèse y>=3 est fausse et donc y=0, 1 ou 2.
On a donc une des possibilités suivantes: N = 3z N = 2+3z N = 2*2 + 3z
Or, si N%3=0, alors la seule décomposition possible est 3z; si N%3=1 la seule décomposition possible est 2*2+3z et enfin si N%3=2 la seule décomposition possible est 2+3z. Conclusion: le meilleur produit s'obtient en décomposant N de la forme N = 2*a+3*b avec 0<=a<=2 et b maximal.
CQFD
#36 - 07-12-2007 03:35:09
- dhrm77
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décomposotion somme et produit
Je voudrais me rattraper pour mon erreur d'avant hier. Je n'ai pas de raisonement exact, mais j'ai fait des recherches un peu approfondies. Si on ne limite plus l'énoncé du probleme au entiers naturel mais on l'etend au decimaux, on se rend compte qu'il faut decomposer en nombres le plus pres possible de 2.71828 pour obtenir le plus grand produit. Ce nombre ne vous dit rien? Mais si! c'est heu.... e...! Ce petit probleme a un rapport étrange avec les logarithmes. Et si vous avez tous trouvé qu'il fallait utiliser le plus de 3 possibles et ensuite prendre des 2, c'est pas par hasard, c'est parce que 3 est l'entier naturel le plus pres de e, et ensuite c'est 2.
Par exemple si on decompose 14 avec des e.. on trouve: e * e * e * e * 3.1268726... = 170.721464.... on peut aussi faire : 14= 5 * 2.8 2.8 * 2.8 * 2.8 * 2.8 * 2.8 = 172.10368 Donc pour generaliser, pour un nombre quelconque N, on prend l'entier naturel D le plus proche de N/e, puis on fait X = N/D et X^D est le maximum produit que l'on puisse faire.
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#37 - 07-12-2007 10:36:20
- Ptitloup
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décomposition somme et prosuit
ah voui... intéressant ça... mci dhrm faudra que je pose cette colle à un copain prof de math
#38 - 07-12-2007 14:29:58
- scarta
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Décomposition somme t produit
Pour la demo de la théorie de dhrm77, en 2 parties. On a un nombre N que l'on décompose en une somme de P termes, notés A1, A2, ... AP. N = Somme des Ai pour i dans [1, P] et on cherche à maximiser Produit des Ai pour i dans [1, P].
Première partie: tous les Ai sont égaux. Démo: par l'absurde. Supposons qu'il existe j et k tels que Ak < Aj. Posons m la moyenne de Ak et Aj, 2m = Ak+Aj Posons d tel que 2d = Aj - Ak, on a 1) d>0 2) Aj = m+d 3) Ak = m-d 4) N = Ak + Aj + Somme des Ai pour i dans [1, P] / {j,k} donc N = 2m + Somme des Ai pour i dans [1, P] / {j,k} 5) Aj*Ak = m^2-d^2 < m^2 6) Produit des Ai pour i dans [1, P] = Produit des Ai pour i dans [1, P]/{j,k} * Aj * Ak < Produit des Ai pour i dans [1, P]/{j,k} * m^2
Conclusion: si deux nombres Ai sont differents, alors le produit n'est pas maximal.
Deuxieme partie: Ai=e Démo: On cherche a>0 tel que N=a*N/a (trivial) et a^(N/A) maximal. f:x->ln(x) est strictement croissante, donc on peut chercher à maximiser ln(a^(N/A)).
ln(a^(N/A)) = N*ln(a)/a, N est constant et N>0 donc on cherche à maximiser ln(a)/a.
Dérivons ln(x)/x, on a: (1-ln(x))/(x^2). Son signe est celui de 1-ln(x). 1-ln(x) >0 ssi ln(x) < 1 ssi x < e 1-ln(x) <0 ssi ln(x) > 1 ssi x > e et 1-ln(x)=0 pour x=e.
Conclusion: ln(x)/x est maximal pour x=e, et le produit aussi
#39 - 17-12-2007 14:56:42
- FSRom1
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Dcomposition somme et produit
Comme je ne savais pas quoi faire dans le train, je me suis souvenu d’une remarque de dhrm77 sur ce problème et je me suis attelé à la démonstration.
Spoiler : Démonstration Soit N = a1 + a2 + … + an la décomposition optimale de N (avec 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an) aboutissant au produit maximal P = a1*a2*…*an.
1) Supposons que a1>a2 On a donc a2 = a1 + B où B > 0 Cependant si on considère la décomposition de N suivante : N = (a1+B/2) + (a1+B/2) + a3 + … + an, le produit P’ obtenu est tel que:
P - P’ = a3*…*an * [a1*(a1+B) – (a1+B/2)^2] = a3*…*an * [– (B^2)/4] < 0 D’où P’ > P De cette contradiction, il ressort que l’hypothèse a1<a2 est fausse, donc que a1 = a2.
2) Supposons que a1 = a2 = … = ai et que aj > ai (avec j = i+1). On a donc aj = ai + C où C > 0 Cependant, si on considère la décomposition de N suivante : N = (ai + C/(i+1)) + (ai + C/(i+1)) + … + (ai + C/(i+1)) + ak + … + an (avec k=j+1), le produit P’’ obtenu est tel que:
P-P’’= ak*…*an * [(ai^i)*(ai+C) – [ai+C/(i+1)]^(i+1)] = ak*…*an * (-S) où S est le binôme de Newton [ai+C/(i+1)]^(i+1) privé de ses 2 premiers termes (S est donc positive !) Encore une fois on a P - P’ < 0 soit P’ > P. Ainsi, si a1 = a2 = … = ai et que aj > ai, alors il existe une décomposition faisant apparaitre (i+1) fois le même terme qui permet d’obtenir un meilleur produit. Comme en 1) on a montré que a1 = a2, par récurrence, on montre que a1 = a2 = … = an. Conclusion: la décomposition optimale de N est de la forme N = n * (N/n) avec n entier et le produit correspondant P = (N/n)^n.
3) Considérons la fonction f(x)=x^(N/x) avec x > 0 Sa dérivée est f’(x) = (N/x^2) * (1-ln x) * x^(N/x). Comme pour tout x > 0, (N/x^2) et x^(N/x) sont strictement positifs, le signe de f’(x) est celui de (1-ln x). Ainsi: - pour x compris entre 0 et e : f’(x) est strictement positif - pour x = e : f’(x) = 0 - pour x supérieur à e : f’(x) est strictement négatif
f(x) admet donc un maximum en x = e.
4) Pour trouver la meilleure décomposition de N (qui est de la forme N = n * (N/n)) , il faut chercher le maximum de la suite (Pm) définie par: Pm = (N/m)^m = f(N/m) Cette suite est donc croissante tant que N/m est supérieur à e et décroit dès que N/m est inférieur à e (d’après létude de la fonction f). Le produit maximal vaut alors : P = max ((N/x)^x; (N/y)^y) avec x = int(N/e) et y = int(N/e) + 1
N.B. On ne peut conjecturer si c'est x ou y qui donne le meilleur produit en fonction de l'écart de N/x et N/x par rapport à e, car on ne s'approche pas du maximum avec la même "vitesse" que l'on vienne du côté où (N/m)>e ou du côté (N/m)<e. Un bon contre-exemple est 53: x = int (53/e)=19 et y = x+1 = 20 Bien que |53/x - e| > |53/y - e|, on a : (53/x)^x > (53/y)^y
#40 - 17-11-2008 20:19:15
- Ohazar
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Décoposition somme et produit
Bonjoru tout le monde, voila je suis nouveau sur ce site et vraiment je le trouve genial bravo
Sinon je suis bien heureux de trouver ce sujet vu que je suis en premiere S et ma prof de maths m'a donné ce sujet comme devoir maison !!
J'avais plus ou moins trouvé quand même mais merci pour les démonstration et généralistion
#41 - 16-10-2011 15:54:09
décomposition sommz et produit
bonjour j arrive pas a un exercice de math silvouplai pouvai vou repondre a la question la somme de 18 et du produit de 33 par 21 sai pour lundi silvouplais faite vite
#42 - 16-10-2011 16:37:16
- MthS-MlndN
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décomposition somme et oroduit
Désolé, mais tu es ici sur un forum d'énigmes et non sur un site d'aide aux devoirs...
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#43 - 18-10-2011 18:37:36
- nicolas647
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décomoosition somme et produit
Cette énigme a été remise sur le tapis grâce à dark-star donc je vais y apporter ma contribution.
Pour savoir quel chiffre est le plus rentable il faut aller voir au niveau des logarithmes : il est bien plus facile de mesurer le poids d'une addition que celui d'une multiplication :
L'efficacité de 1 est ln(1)/1=0
L'efficacité de 2 est ln(2)/2=0,347
L'efficacité de 3 est ln(3)/3=0,366
L'efficacité de 4 est ln(4)/4=0,347 (efficacité identique à celle de 2)
L'efficacité de 5 est ln(5)/5=0,322
On voit bien que 3 est le chiffre le plus efficace.
#44 - 18-10-2011 21:45:09
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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Décompoition somme et produit
Tu veux parler du nombre 3 (l'entier entre 2 et 4) et non du chiffre "3" (le caractère d'origine arabe 3), comme on parlerait du mot "a" (le verbe "avoir" conjugué à la troisième personne du singulier au présent de l'indicatif) et non de la lettre "a" (le caractère).
Je n'ai pas compris le reste : pourquoi exprimer "l'efficacité" d'un nombre x en calculant ln(x)/x ?
J'ajouterai qu'un "on voit bien que" n'est pas une preuve mathématique... si on dérivait ln(x)/x, tiens ?
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#45 - 19-10-2011 14:56:22
- nicolas647
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Décomopsition somme et produit
Pardon pour mes abus de langage.
En effet ma démonstration n'est pas rigoureuse mais elle a le mérite d'être plus parlante que celles énoncées plus haut.
Je vais maintenant essayer d'être un peu plus explicite :
Il s'agit de trouver le produit a1*a2*a3*...*an le plus grand possible. Étant donné que la fonction ln est strictement croissante sur R+*, cela revient au même de trouver la somme ln(a1*a2*a3*...*an)=ln(a1)+ln(a2)+ln(a3)+...+ln(an) la plus grande possible.
On peut maintenant effectuer le rapport entre la contribution d'un des termes ln(ai) et son coût ai (ai est pioché dans N).
D'où mon calcul pour savoir quel ai est le plus rentable.
#46 - 19-10-2011 18:29:43
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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décomposition domme et produit
OK, là je vois beaucoup mieux comment ça marche ! Merci beaucoup, et élégant procédé
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
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