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 #26 - 06-12-2007 13:43:36

Bonswouar
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 9

Décomposition somme et prouit

Il semblerait que quel que soit le nombre, il faille à chaque fois utiliser le maximum de fois le chiffre 3...!
Mais pourquoi, ça je ne sais pas.

Il semblerait aussi que 3 soit le chiffre qui ait le plus grand rapport Somme/Addition (j'ai essayé avec quelques chiffres sous excel).

#0 Pub

 #27 - 06-12-2007 14:15:10

Ptitloup
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 372
Lieu: Rennes (35)

Décomposition smome et produit

EfCeBa a écrit:

Maintenant si vous avez le courage trouvez-moi une théorie pour obtenir le produit le plus grand pour un nombre n. wink

Bonswouar a écrit:

...
Surement un rapport avec le fait que [latex]3<\sqrt{14}<4[/latex]

En fait... je ne pense pas qu'il s'agit de la racine carré dans la prise en compte du machin chose... je serais plutôt tenté de dire qu'il faut prendre la racine nème (avec n comme nombre d'éléments).

Côté démonstration en fait... je pense tout de suite à la chose suivante :
(si on raisonne à 2 dim)
-> maximiser la surface d'un rectangle pour un périmètre donné... (et c'est un carré).
Pour notre problème, c'est un peu différent, puisque le nb de dimension n'est pas donné à l'avance... c'est d'ailleurs ça qui est "troublant", c'est qu'on ne connaisse pas la "dimension"
je serais plutôt tenté de dire qu'il faut résoudre qq chose du genre (en raisonnant avec des réels bien entendu... on extrapolera peut être ensuite en théorie des nombres entiers)
racine nième de 14 = n
soit
[TeX]{14}^{\frac{1}{n}} = n[/TeX]

 #28 - 06-12-2007 14:20:36

Ptitloup
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 372
Lieu: Rennes (35)

Décomposition somme e produit

ou peut être plutôt
[TeX]{14}^{\frac{1}{n}}=14*n[/TeX]
ou non, en fait je crois que mes cours de math sont trop trop loins... ça donnerait euh....
[TeX]{x}^{x}=14[/TeX]
[TeX]\sum_{0}^{x}(x)=14[/TeX]
arf, pourquoi il me convertit plus le truc en latex ??????!?
-> ok, c bon, faut mettre / au lieu de \ en balise fermante !

 #29 - 06-12-2007 14:54:19

grael
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

décomposition somme er produit

Pour un resultat générique, pour un nombre n, la décomposition en somme est celle qui tombe juste parmi :
1 - n=x*3   (n modulo 3 = 0)
2 - n=x*3 + 2   (n modulo 3 = 2)
3 - n=x*3 + 2 + 2   (n modulo 3 = 1)

Une tentative d'explication, un peu empirique...

Décomposer en somme de 3 est le plus avantageux, puis un ou deux 2 pour completer si besoin.

Si on prend 6
6 = 2+2+2
2*2*2=8
6 = 3+3
3*3=9
Donc quand on a le choix, mieux vaut choisir les 3 que les 2.

Pour tous les nombres plus grands que 3, il est plus avantageux de les redecouper en somme de 3 et un ou deux 2.

4=2+2, 2*2=4, donc on peut garder un 4 mais il n'apporte rien de plus.

5=3+2, 2*3=6
6=... voir plus haut
7=3+2+2, 3*2*2=12
8=3+3+2, 3*3*2=18
9=3+3+3, 3*3*3=27
Et ainsi de suite...

 #30 - 06-12-2007 15:07:20

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Décomposition some et produit

Hello! Je propose la méthode suivante pour trouver la décomposition optimale de n'importe quel nombre entier N.

1) Si N est divisible par 3 (c-à-d N = 3M), la décomposition optimale est:
N = 3 + 3 + ... + 3  où le terme 3 apparait M fois.
P vaut alors P=3^M.


2) Si le reste de N dans la division euclidienne par 3 est 1 (c-à-d N = 3M+1), la décomposition optimale est:
N = 3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2  où le terme 3 apparait (M-1) fois.
P vaut alors P=4*3^(M-1).


3) Si le reste de N dans la division euclidienne par 3 est 2 (c-à-d N = 3M+2), la décomposition optimale est:
N = 3 + 3 + ... + 3 + 2 où le terme 3 apparait M fois.
P vaut alors P=2*3^M.


Démonstration prochainement... cool

 #31 - 06-12-2007 15:12:02

grael
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Décomposition somme et roduit

On est d'accord, FSRom1 wink

 #32 - 06-12-2007 15:31:35

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Décomposition somm et produit

Spoiler : Démonstration
Soit a1+a2+...+an = N la décomposition de N qui aboutit au produit maximal P = a1*a2*...*an

Etape 1
Supposons qu'au moins un terme ai soit tel que ai ≥ 4.
On pose bi = ai - 2 et comparons P au produit P' obtenu en employant (bi+2) en lieu et place de ai dans la décomposition:

P-P'=[a1*...*a(i-1)*a(i+1)*...*an]*(ai - 2bi)
Le produit entre crochets est positif tandis que le facteur entre parenthèses est négatif ou nul compte tenu du fait que ai = b1+2 ≥ 4

P-P' est négatif donc P' ≥ P alors que P est supposé être le produit maximal. L'hypothèse ai ≥ 4 est fausse, par conséquent les termes de la décomposition sont strictement inférieurs à 4 (0, 1, 2 ou 3).

Etape 2
Supposons que la décomposition optimale soit composée de w fois le terme 0, x fois le terme 1, y fois le terme 2 et z fois le terme 3.
P vaut alors P = 0^w * 1^x * 2^y * 3^z.

Supposons que w ≥ 1, alors P=0.
Or w=0 implique que 0^w * 1^x * 2^y * 3^z ≥ 1 > P. L'hypothèse "w ≥ 1" est fausse, donc w = 0

to be continued...

 #33 - 06-12-2007 16:19:56

Ptitloup
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 372
Lieu: Rennes (35)

décomposition solme et produit

ok ok, c'est vrai qu'en revenant à une décomposition élémentaire, ça se comprend (et se démontre) plus facilement... enfin, ce que j'ai dit était tout faux du coup smile

 #34 - 06-12-2007 19:43:25

Tuxicoman
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 4

Décomposition somme et roduit

Moi je m'étais aperçu qu'en fait le 3 est le plus efficace car pour des nombres plus grands, 4=2+2 et 2*2=4 (ne change rien) et 5=3+2 et 3*2=6>5 (il est plus avantageux de décomposer le 5). Le plus grands chiffes ne valent donc pas la peine d'être utilisés. Je suis par contre incapable de le démontrer.

 #35 - 07-12-2007 01:19:48

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1470

dévomposition somme et produit

Pour continuer la démo de FSRom1 (avec laquelle je suis d'accord)

On en était à: PMax = 1^x * 2^y * 3^z
Or on a aussi N = x+2y+3z
Supposons x > 0 et interessons nous alors au cas suivant:
N = (x-1)+2(y-1)+3(z+1)
La décomposition de N sous cette forme donne alors le produit suivant:
1^(x-1) + 2^(y-1) + 3^(z+1) = PMax * 3 / 2 > PMax
Donc on a un produit supérieur au produit supposé maximal. L'hypothèse x>0 est fausse et donc x=0.

On en est donc à: PMax = 2^y*3^z
et N=2y+3z
Supposons y >=3 et interessons nous alors au cas suivant:
N = 2(y-3) + 3(z+2)
On a alors le produit suivant:
2^(y-3) * 3(z+2) = PMax *9/8 > PMax
Donc on a un produit supérieur au produit supposé maximal. L'hypothèse y>=3 est fausse et donc y=0, 1 ou 2.

On a donc une des possibilités suivantes:
N = 3z
N = 2+3z
N = 2*2 + 3z

Or, si N%3=0, alors la seule décomposition possible est 3z; si N%3=1 la seule décomposition possible est 2*2+3z et enfin si N%3=2 la seule décomposition possible est 2+3z.
Conclusion: le meilleur produit s'obtient en décomposant N de la forme
N = 2*a+3*b avec 0<=a<=2 et b maximal.

CQFD

 #36 - 07-12-2007 03:35:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3002
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Décompossition somme et produit

Je voudrais me rattraper pour mon erreur d'avant hier.
Je n'ai pas de raisonement exact, mais j'ai fait des recherches un peu approfondies.
Si on ne limite plus l'énoncé du probleme au entiers naturel mais on l'etend au decimaux, on se rend compte qu'il faut decomposer en nombres le plus pres possible de 2.71828 pour obtenir le plus grand produit.
Ce nombre ne vous dit rien? Mais si! c'est heu.... e...!
Ce petit probleme a un rapport étrange avec les logarithmes.
Et si vous avez tous trouvé qu'il fallait utiliser le plus de 3 possibles et ensuite prendre des 2, c'est pas par hasard, c'est parce que 3 est l'entier naturel le plus pres de e, et ensuite c'est 2.

Par exemple si on decompose 14 avec des e.. on trouve:
e * e * e * e * 3.1268726... = 170.721464....
on peut aussi faire :
14= 5 * 2.8
2.8 * 2.8 * 2.8 * 2.8 * 2.8 = 172.10368
Donc pour generaliser, pour un nombre quelconque N, on prend l'entier naturel D le plus proche de N/e, puis on fait  X = N/D
et X^D est le maximum produit que l'on puisse faire.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #37 - 07-12-2007 10:36:20

Ptitloup
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Rennes (35)

Décomopsition somme et produit

ah voui... intéressant ça... mci dhrm
faudra que je pose cette colle à un copain prof de math smile

 #38 - 07-12-2007 14:29:58

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1470

Décomposition somme et pproduit

Pour la demo de la théorie de dhrm77, en 2 parties.
On a un nombre N que l'on décompose en une somme de P termes, notés A1, A2, ... AP.
N = Somme des Ai pour i dans [1, P]
et on cherche à maximiser Produit des Ai pour i dans [1, P].

Première partie: tous les Ai sont égaux.
Démo: par l'absurde.
Supposons qu'il existe j et k tels que Ak < Aj.
Posons m la moyenne de Ak et Aj, 2m = Ak+Aj
Posons d tel que 2d = Aj - Ak, on a
1) d>0
2) Aj = m+d
3) Ak = m-d
4) N = Ak + Aj + Somme des Ai pour i dans [1, P] / {j,k}
donc N = 2m + Somme des Ai pour i dans [1, P] / {j,k}
5) Aj*Ak = m^2-d^2 < m^2
6) Produit des Ai pour i dans [1, P] = Produit des Ai pour i dans [1, P]/{j,k} * Aj * Ak < Produit des Ai pour i dans [1, P]/{j,k} * m^2

Conclusion: si deux nombres Ai sont differents, alors le produit n'est pas maximal.

Deuxieme partie: Ai=e
Démo:
On cherche a>0 tel que N=a*N/a (trivial) et a^(N/A) maximal.
f:x->ln(x) est strictement croissante, donc on peut chercher à maximiser ln(a^(N/A)).

ln(a^(N/A)) = N*ln(a)/a, N est constant et N>0 donc on cherche à maximiser ln(a)/a.

Dérivons ln(x)/x, on a: (1-ln(x))/(x^2). Son signe est celui de 1-ln(x).
1-ln(x) >0 ssi ln(x) < 1 ssi x < e
1-ln(x) <0 ssi ln(x) > 1 ssi x > e
et 1-ln(x)=0 pour x=e.

Conclusion: ln(x)/x est maximal pour x=e, et le produit aussi

 #39 - 17-12-2007 14:56:42

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Décomposition somme et prouit

Comme je ne savais pas quoi faire dans le train, je me suis souvenu d’une remarque de dhrm77 sur ce problème et je me suis attelé à la démonstration.

Spoiler : Démonstration
Soit N = a1 + a2 + … + an la décomposition optimale de N (avec 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an) aboutissant au produit maximal P = a1*a2*…*an.

1) Supposons que a1>a2
On a donc a2 = a1 + B où B > 0
Cependant si on considère la décomposition de N suivante : N = (a1+B/2) + (a1+B/2) + a3 + … + an, le produit P’ obtenu est tel que:

P - P’ = a3*…*an * [a1*(a1+B) – (a1+B/2)^2] = a3*…*an * [– (B^2)/4] < 0
D’où P’ > P
De cette contradiction, il ressort que l’hypothèse a1<a2 est fausse, donc que a1 = a2.

2) Supposons que a1 = a2 = … = ai et que aj > ai (avec j = i+1).
On a donc aj = ai + C où C > 0
Cependant, si on considère la décomposition de N suivante : N = (ai + C/(i+1)) + (ai + C/(i+1)) + … + (ai + C/(i+1)) + ak + … + an (avec k=j+1), le produit P’’ obtenu est tel que:

P-P’’= ak*…*an * [(ai^i)*(ai+C) – [ai+C/(i+1)]^(i+1)] = ak*…*an * (-S)
où S est le binôme de Newton [ai+C/(i+1)]^(i+1) privé de ses 2 premiers termes (S est donc positive !)
Encore une fois on a P - P’ < 0 soit  P’ > P.
Ainsi, si a1 = a2 = … = ai et que aj > ai, alors il existe une décomposition faisant apparaitre (i+1) fois le même terme qui permet d’obtenir un meilleur produit.
Comme en 1) on a montré que a1 = a2, par récurrence, on montre que a1 = a2 = … = an.
Conclusion: la décomposition optimale de N est de la forme N = n * (N/n) avec n entier et le produit correspondant P = (N/n)^n.

3) Considérons la fonction f(x)=x^(N/x) avec x > 0
Sa dérivée est f’(x) = (N/x^2) * (1-ln x) * x^(N/x).
Comme pour tout x > 0, (N/x^2) et x^(N/x) sont strictement positifs, le signe de f’(x) est celui de (1-ln x). Ainsi:
- pour x compris entre 0 et e : f’(x) est strictement positif
- pour x = e : f’(x) = 0
- pour x supérieur à e : f’(x) est strictement négatif

f(x) admet donc un maximum en x = e.

4) Pour trouver la meilleure décomposition de N (qui est de la forme N = n * (N/n)) , il faut chercher le maximum de la suite (Pm) définie par:
Pm = (N/m)^m = f(N/m)
Cette suite est donc croissante tant que N/m est supérieur à e et décroit dès que N/m est inférieur à e (d’après létude de la fonction f).
Le produit maximal vaut alors :
P = max ((N/x)^x; (N/y)^y) avec x = int(N/e) et y = int(N/e) + 1


N.B. On ne peut conjecturer si c'est x ou y qui donne le meilleur produit en fonction de l'écart de N/x et N/x par rapport à e, car on ne s'approche pas du maximum avec la même "vitesse" que l'on vienne du côté où (N/m)>e ou du côté (N/m)<e.
Un bon contre-exemple est 53:
x = int (53/e)=19 et y = x+1 = 20
Bien que |53/x - e| > |53/y - e|, on a : (53/x)^x > (53/y)^y   

 #40 - 17-11-2008 20:19:15

Ohazar
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
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Décomposition somme et porduit

Bonjoru tout le monde, voila je suis nouveau sur ce site et vraiment je le trouve genial big_smile bravo

Sinon je suis bien heureux de trouver ce sujet vu que je suis en premiere S et ma prof de maths m'a donné ce sujet comme devoir maison !!

J'avais plus ou moins trouvé quand même mais merci pour les démonstration et généralistion

 #41 - 16-10-2011 15:54:09

dark-star
Visiteur

Décomposition some et produit

bonjour j arrive pas a un exercice de math silvouplai pouvai vou repondre a la question
la somme de 18 et du produit de 33 par 21 sai pour lundi silvouplais faite vite

 #42 - 16-10-2011 16:37:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Décopmosition somme et produit

Désolé, mais tu es ici sur un forum d'énigmes et non sur un site d'aide aux devoirs...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #43 - 18-10-2011 18:37:36

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
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Décomosition somme et produit

Cette énigme a été remise sur le tapis grâce à dark-star donc je vais y apporter ma contribution.

Pour savoir quel chiffre est le plus rentable il faut aller voir au niveau des logarithmes : il est bien plus facile de mesurer le poids d'une addition que celui d'une multiplication :

L'efficacité de 1 est ln(1)/1=0

L'efficacité de 2 est ln(2)/2=0,347

L'efficacité de 3 est ln(3)/3=0,366

L'efficacité de 4 est ln(4)/4=0,347 (efficacité identique à celle de 2)

L'efficacité de 5 est ln(5)/5=0,322

On voit bien que 3 est le chiffre le plus efficace.

 #44 - 18-10-2011 21:45:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

décompoqition somme et produit

Tu veux parler du nombre 3 (l'entier entre 2 et 4) et non du chiffre "3" (le caractère d'origine arabe 3), comme on parlerait du mot "a" (le verbe "avoir" conjugué à la troisième personne du singulier au présent de l'indicatif) et non de la lettre "a" (le caractère).

Je n'ai pas compris le reste : pourquoi exprimer "l'efficacité" d'un nombre x en calculant ln(x)/x ?

J'ajouterai qu'un "on voit bien que" n'est pas une preuve mathématique... si on dérivait ln(x)/x, tiens ? smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #45 - 19-10-2011 14:56:22

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 96

Décmoposition somme et produit

Pardon pour mes abus de langage.

En effet ma démonstration n'est pas rigoureuse mais elle a le mérite d'être plus parlante que celles énoncées plus haut.

Je vais maintenant essayer d'être un peu plus explicite :

Il s'agit de trouver le produit a1*a2*a3*...*an le plus grand possible. Étant donné que la fonction ln est strictement croissante sur R+*, cela revient au même de trouver la somme ln(a1*a2*a3*...*an)=ln(a1)+ln(a2)+ln(a3)+...+ln(an) la plus grande possible.

On peut maintenant effectuer le rapport entre la contribution d'un des termes ln(ai) et son coût ai (ai est pioché dans N).

D'où mon calcul pour savoir quel ai est le plus rentable.

 #46 - 19-10-2011 18:29:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

décomposition somme et prodiit

OK, là je vois beaucoup mieux comment ça marche ! Merci beaucoup, et élégant procédé smile


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(4) — Math decomposer ce2 (4) — Le nombre 14 exercices (4) — Decomposition de somme (4) — Decomposition en math (4) — Decompose en une somme de produit 250402 (4) — Mathematique comment calculer la difference du produit 35 par 1100 (4) — Decomposition somme (4) — La somme du 18 et du produit de 33 par 21 (4) — Qu est ce que la somme d un produit (4) — Decomposition nombres cm1 (4) — Le produit de la somme (4) — Quesque la somme de 8 (4) — Mathematique somme (4) — Quesque une somme en mathematique (4) — La decomposition en une somme (4) — Le produit de la somme de 11 et de 5 par 6 (4) — La somme de 25 math (4) — Quesse qu une difference en maths (3) — Decomposer un nombre en une somme (3) — Produit maximal termes somme (3) — Decomposition du nombre 18 (3) — La difference d un produit par 100 et de 51 math (3) — Math somme et produit (3) — Comment decomposer 14 en somme de nombres entiers (3) — Calcul de nombre decompose (3) — Le produit de 9 par la somme de 7 et de 3 (3) — Qu est ce qu une somme en math (3) — Somme du produit de 9 par 7 et de 11 (3) — Cm1 decomposition d un nombre (3) — Comment trouver le plus grand produit d une decomposition additive (3) — Le produit de (-3) par la somme de 9 et 4 (3) — Exercices maths ce2 sur la decomposition ce2 a quatres chiffres (3) — Quesque c est une somme (3) — Quelle est la somme de 18 (3) — Quesque la somme d un chiffre (3) — Quesqu un somme (3) — C est quoi la somme d un produit (3) — Decomposer un nombre en somm de produit maximum (3) — Maths au cm1 produit et somme (3) — Difference entre somme et produit (3) — Decomposition en difference calcule (3) — Decomposition en difference (3) — Decomposer sur une somme (3) — Math decomposer (3) — Mathematique exercice sur les sommes et sommes de produit (3) — Calculer le produit de 7 avec la somme de 8 et de 3 (3) — Decompose 287 sous la forme d une difference de deux termes (3) — Decomposition des chiffres cm1 (3) — Decomposition math (3) — La somme de 25 et de346 (3) — La somme de 24 et 8 (3) — Somme math (3) — Exercise double des grands nombresce1 (3) — Decomposition de 144 (3) — Quel+est+la+somme+de+18+et+du+produit+de+33+par+21 (3) — Mathematique la somme (3) — Decomposition mathematiques (3) — Une somme en maths (3) — Somme et produit ce1 (3) — La sommes d un nombre et du produit de 7 par 15 est egal a 200 (3) — Exemple decomposer 25 sous la forme d une somme de 3 terme (3) — Produit en mathematique (3) — Le chiffre 14 (3) — Exercices decomposition en une somme (3) — Decompose 25 sous la forme de 3 termes (3) — Math somme produit (3) — Quesque une some (3) — Le produit de la somme de 2.5 et de 1.5 par la difference entre 1.2 et 0.9 (3) — Le triple du produit de 12 par 8 (3) — 25 est une somme decompose en trois termes (3) — Somme en maths (3) — La decomposition en une difference (3) — C est quoi une somme et un produit (3) — La somme du produit de 7 par 2 et de 3 (3) — Le double de la somme de 4 et 7 (3) — .a est le produit de la difference de 12 et de 7 par 6. (3) — Deux nombres entiers naturels ont pour somme 51 et pour difference 21. (3) — Leproduit de la somme de 28 et de 42 par 0.80 (3) — Calculer la somme de 18 et du produit de 33 par 21 (3) — Math decomposition (3) — Ecris le nombre 36 sous la forme du produit de deux nombres (3) — La somme de 10 et du produit de 12 par 5 (3) — Math la somme de 25 et de 346 (3) — A est le produit de la difference de 12 et de 7 par6 (3) — La somme de 18 et du produitde 33par 21 (3) — Le produit de 36 (3) — Decomposition de 14 (3) — Produit de la difference du nombre (3) — Resultat de la somme de 18 et du produit de 33 par 21 (3) — Ecrire sous forme mathematique la somme de 3 et 25 (3) — Le produit de (-3) par la somme de 9 et (-4) (3) — Somme et produit en math (3) — Decomposer 25 sous la forme d une somme de troistermes (3) — Decomposer 25 sous la forme d une somme de 3 termes (3) — Qu est ce que c est une somme en mathematique (3) — Produit de somme (3) — Quesqu une somme en math (3) — La decomposition en mathematique (2) — Math 6eme sur la somme d un chiffre entier (2) — Ecrire et calculer un produit ce2 exo (2) — Le nombre 36 exercices (2) — Decomposition en une somme pour la (2) — Decomposition de 36 (2) — Exercices sur somme + produits ce2 (2) — Mathematique difference entre le mot somme et produit (2) — Quesqune somme (2) — En math la somme de 14 et du produit de 6 par 5 (2) — Quesqu une somme math (2) — Decomposer un grand nombre cm1 (2) — Le produit de la somme de 28 par 0.8 (2) — Decomposition maths cm1 (2) — Calculer le produit de_8 par la somme de 100 et 25 (2) — La decomposition en une differences (2) — Produit en math (2) — En math la somme de 21 (2) — La difference du produit de 12 par 8 et de la somme de 5 et de 18 (2) — Nombre trouvable (2) — Quesqu une somme et un produit en mathematiques (2) — Enigmes sur les differences au ce1 (2) — Decompose en une difference (2) — La somme de 18 et du produit de 33 par 21 est (2) — Decomposition en produit maximal (2) — Demontrer par recurrence que ln(a*a2*...*a3)=ln(a1)+ln(a2)+...+ln(an) (2) — Exercice decomposition ce2 (2) — Decomposition d un nombre en une difference (2) — Exercice produit de 2 nombres ce2 (2) — Decomposition en une somme ou difference (2) — Decomposition du nombre 8 (2) — Quel est la somme de 18 en mathematique (2) — Resultat de la somme de 25 (2) — La somme de18 et du produit de 33par 21 resultat (2) — Math la somme de la somme (2) — D%c3%a9composer+somme+entiers+naturels+produit+maximal (2) — Somme de produit (2) — Produits et somme au ce2 (2) — Decomposition du nombre ce1 (2) — Le produit de 8 (2) — A est le produit de la difference de 12 et de 7 par 6 (2) — Decomposition de nombres cm1 (2) — En mathematique quel est le produit de 14 (2) — Solution au probleme trouver 2 nombres entier dont la somme est 52 et la difference 12 (2) — Produit de 4 par la somme de 7 et de 8 (2) — Exercice sur les produits ce2 (2) — A est le produit de la differance de 12 et de 7 par 6 (2) — Exercices de decomposition d un nombre cm1 (2) — Quel est la somme de 18 et du produit de 33 par 21 (2) — Decomposer 14 en une somme (2) — Le produit maximum (2) — Quest ce le produit de 9 par la somme de 7 et de 3 (2) — Quesqune somme mathematuque (2) — Decomposition en sommes et produits ce1 (2) — A+est+le+produit+de+la+diff%c3%a9rence+de+12+et+de+7+par+6 (2) — Decompositions du nombre 10 exercices (2) — La difference entre une somme et un produit (2) — Quelle est la somme dec 18 (2) — Quel est le produit de 20 par-7 (2) — Le produit de14 par la somme de 3 et de 8 (2) — Ecrire 25 comme la somme d un nombre entier et du produit de 2 nombres entiers (2) — Decomposition du nombre 6 (2) — Calcul cm1 ecrire le nombre decomposer (2) — Math methode somme produit (2) — Le produit de 7 par la diiference de 8 et de 5 (2) — Decomposer 23*14 (2) — Decomposer un nombre sous forme de somme (2) — Quel est le plus grand produit (2) — Le produit de la difference de 13 et de 9 par la somme de 45 et de 75 (2) — Decomposition de somme maths (2) — Somme du chiffre 14 (2) — Exercices de maths:une somme (2) — Decomposition d un nombre en une somme dont le produit est maximal (2) — La somme de 12 et du produit de 5 par 8 (2) — Somme et produit des chiffres d un nombre (2) — Comment fait on une decomposition qui permet d obtenir le plus grand produit ? (2) — Quest-ce que le produite de la somme (2) — En math la difference entre une somme et un produit (2) — En mathematique qu est ce qu une somme (2) — Decompositions de 18 (2) — Comment decompose 25 sous la forme d une somme de trois termes solution (2) — D est la difference de dix sept et de la somme de quatre et de neuf (2) — La somme de 3 et du produit de 18 par 5 (2) — Mathematique cm1 les difference de 2 nombre (2) — Exercices sur le produit ce2 (2) — Somme et produit cm1 (2) — La somme de 3 et de 25 (2) — La difference du produit de 4 par8et de3 (2) — Math sommation (2) — Decompose 5 sous la forme de trois therme (2) — Somme de produit et produit de somme (2) — Aest le produit de la difference de12 et de 7 par 6 (2) — Le nombre 48 exercices (2) — Nombre de decompositions en sommes (2) — La somme de 24 et de 8 (2) — Donnez la solution de exercice de math ( la somme de 18 et du produit de 33 par 21 ) (2) — Exercice maths ce1 sur la decomposition des nombre (2) — Math ce2 le decomposition (2) — Math exercice du nombre 36 le produit (2) — Decomposition ce2 (2) — La somme de 18 et du produit de 33 par 21 est egal a (2) — Mathematique la somme de 18 (2) — Quesque la forme d une somme (2) — Decomposer somme en produit (2) — Decomposer un nombre en sommes de puissance de 10 (2) — Decomposer le chiffre 2473 (2) — Quesqu une somme en mathematiques (2) — Produit et somme? 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(2) — Produit de la somme (2) — Decompose 25 sous la forme d une somme de trois termes aider moi (2) — Mathematique calcul d un produit (2) — Exercices cm1 maths decomposition (2) — Difference entre la somme et le produit (2) — Comment calculer 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1*0+1 (2) — La somme de 18 en mathematiques (2) — Decomposer un nombre en une somme de puissance 10 (2) — Somme en cm1 (2) — Decomposer 48 au ce1 (2) — Traduire les phrase suivante par un calculs la somme de 7 et du produit de 5 par 4 reponse (2) — Decomposer un nombre en puissance (2) — Exercice ecrire des produits ce2 (2) — Le produit de deux nombres lecon ce1 (2) — +niveau ce2 calculer un produiton peut decomposer un des membres en sommes (2) — Decomposition en une somme en une difference (2) — La somme de 7 et du produit de 5 par 4 (2) — Ques que la decompositions en chiffre (2) — Deux nombres ont pour produit 36 et pour somme 15 cm1 (2) — C quoi la somme? (2) — Math somme (2) — Decompositions mathematique (2) — Exercice produit mathematique cm1 (2) — Quesq une somme? (2) — Le produit de la somme de 4 et 3 par la difference de 11 et 5 (2) — Produit le plus grand math (2) — La somme de 18et du produit de 33par 21 (2) — Decomposer un nombre en somme remplacer somme par multiplisation (2) — Le produit 8 par la sommede 10 et de 6 solution (2) — A est le produit de la somme de 18 et 12 par la difference entre 11 et 15 (2) — Qu est le produit dans les mathematique (2) — Ecrire 25 comme la somme d un nombre entier et du produit de deux nombres entiers (2) — Produit somme (2) — Decomposer sous forme de sommes (2) — A est la difference de 23 et du produit 6 par 3 comment faire (2) — Exercice de decomposition ce2 (2) — Decomposer les nombres (2) — Calcul de produit enigme (2) — Decompose 25 sous la forme de trois therme (2) — La somme et le produit (2) — Enigme mathematique difference deux produits (2) — Calculer la somme de 21 et 7 (2) — Quesque la forme d une somme entier (2) — Quesque une somme en mathematiques (2) — Quesque la somme des chiffres (2) — Exercices de maths +ce2 (2) — Sommes mathematique (2) — Le produit de la somme de 12 et 3 par 5 (2) — Exercice ce2 ecrire et calculer un produit (2) — Decomposition des nombres ce1 (2) — Le grand produit d une somme (2) — La decomposition au produit maximale de 23 (2) — Decomposition de 9 (2) — Decompose 8 sur 5 (2) — Decomposition au produit maximal (2) — Quesqu c est un produit en math (2) — Resultat de la somme de 18 et du produit de 33 par 21 (2) — Decomposer 25 en somme de trois termes (2) — (2) — La somm e de 18 et du produit de 33 par 12 (2) — Problemes somme produit (2) — C est quoi decompose et calcule (2) — La difference du produit de 7 et 8 (2) — La difference de 10 et du produit de 2 par 3 (2) — Demonstration 1=2 (2) — Qu est ce que la somme (2) — Somme de 18 et du produit 33 par 21 (2) — Plus grande decomposition d une somme (2) — Decomposer 14*9 (2) — Le produit de 8 par la somme de 100et de 25 (2) — Math facile la somme et le produit cem 1 (2) — Decomposer sous la forme d une difference de deux terme en mathematique (2) — Produit somme math (2) — Ecrire 45 comme la somme de 2 produits de nombres entier (2) — Decomposition du nombre 100 (2) — Mathematiques histoire de sommes et de sommets solution (2) — Math produit somme (2) — Decomposition math cm1 (2) — Decompser 25/8 (2) — Quesqu une somme et un produit (2) — Plus grand produit (2) — La somme 25 de trois termes (2) — Decompose 25 sous la forme d une somme de trois termes (2) — Exercice decomposition cm1 (2) — Somme et produit d un nombre (2) — Je multiplie par 15 j obtien la somme de 124 et de 266 (2) — Somme 25 en math (2) — Decompositions en sommes de produits (2) — Mathematique somme et produit (2) — Decomposer un produit en cm1 (2) — Somme et produit ce2 (2) — Le plus petit produit que l on peut obtenir en mathematique (2) — Produit de 7 par la difference de 8 et de 5 (2) — Mathematique la somme et le produit (2) — Une histoire de somme et de produit (2) — Qu est ce un difference en maths (2) — Somme du produit (2) — La somme est 15 le produit est 36 (2) — Decomposition somme produit (2) — Decomposition ce2 exercices (2) — Traduire : la somme de 25 et de 346 (2) — Ce1: decomposition de 48 (2) — Exercices decomposition nombres cm1 (2) — Quesqu une somme en mathematique? (2) — Quel est le produit de 17 (2) — Decomposition des nombres+cm1 (2) — Les+sommes+et+differences+au+ce2 (2) — Mathematique 6 eme la somme de 24 et de 8 reponse (2) — Somme et produit de deux nombres ce1 (2) — Exercices produit de 2 nombres ce2 (2) — Quesqu une somme mathematique (2) — Mathematique la decomposition (2) — Le nombre 23 trouver la somme pour la qu elle le produit. des termes est le plus grand possible (2) — Quesqu une somme en mathematique (2) — Trouver le produit de 7 par la difference de 8 et de 5 (2) — En somme quel est le produit (2) — Multiplication somme et produit ce2 (2) — Exercices sur la decomposition des nombres cm1 (2) — E et la difference du produit de 6 par (-3) et de la somme de (-9) et 2 (2) — Produit de deux nombres ce2 (2) — Decomposer le nombre 36 (2) — Decomposition additive et produit maximal (2) — La somme de 18 et du produit 33 par 21 (2) — Somme de produit niveau cm1 (2) — Somme du nombre entier 14 (2) — Decomposer un nombre maths (2) — Decompose 25 sous forme d une somme de trois termes (2) — Le produit de par la somme (2) — Une somme en mathematique (2) — Comment calculer la somme de 18 et du produit de 33 par 21 (2) — Ecrire une somme sous la forme d un produit ce1 (2) — Decomposer 14 en somme (2) — Decompose 25 sous la forme de trois terme (2) — Somme du produit de 4par3 et de 10 (2) — Comment on peut decomposer le nombre 14 (2) — Maths produit somme (2) — Decomposition chiffes ce2 (2) — La somme de huit et du produit de 6 par 3 (2) — Deux nombres ont pour produit 36 et pour somme 15 (2) — Produit mathematique (2) — Lasomme de 3 et 25 (2) — Decomposer des nombres ce1 (2) — Decomposition du nombre 48 (2) — Difference egale a 10 produit egal a 39 trouver 2 nombres entiers cours 6eme egnime (2) — La decomposition mathematique (2) — Quelle est la somme de 18 et du produit de 33 par 21 (2) — Trouver 2 nombres entiers dont la somme est 52 et la difference est 12 (2) — Produit de 8 par la somme de 100 et 25 (2) — Decomposition nombre ce1 (2) — +ce2 comment calculer le nombre 57 (2) — Decomposer le nombre 48 (2) — A est le produit de 4 par la somme de 7 et de 8 (2) — En math qu est ce que la somme des chiffres niveau 5 eme (2) — La somme de 24 en mathematique (2) — Le produit d un nombre de 12 (2) — Rapport entre somme et produit (1) — Recherche exercices maths ce1 pour additionner deux nombres en les decomposant (1) — Exercice nombre entier 14/3 (1) — Quesqu une sommes en math (1) — Exercices de maths ce2 somme et difference (1) — Produit de 8 par somme de 100 et 25 (1) — Ce2 ecrire le resultat sous la forme d une somme d un produit (1) — Somme du nombre e (1) — Decomposition du nombre cm1 exercices (1) — Decomposition des nombres ce2 (1) — Somme et difference ce2 (1) — Quesqu une produit en maths (1) — Qu es ce que la somme et le produit en mathematique (1) — Le produit des nombres entiers naturels cm1 (1) — Decomposition additive exercice ce2 (1) — Definition mathematique somme et produit (1) — Qu est que la somme et la difference ce1 (1) — En math qu est ce qu une difference (1) — Ecrire+et+d%c3%a9compos%c3%a9+des+nombres+niveau+cm1 (1) — Produits de 36 (1) — Decomposer 36/7 (1) — Enigme 2 mathematiciens geniaux produit et somme (1) — Quesqu une sommes ? 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