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 #1 - 30-10-2009 18:40:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

ca eut pzyé

Bonsoir smile

Un problème pour tous .

http://img257.imageshack.us/img257/6897/terrainenclav.jpg

Notre céréalier au bord de la ruine vient d'acheter une parcelle de forme triangulaire . Il envisage de construire un chemin rectiligne passant par sa ferme F et reliant les deux routes [Ox) et [Oy) . La construction de ce chemin rendra malheureusement inexploitable la partie enclavée ( en jaune sur le dessin ) . Comment va-t-il limiter les dégâts en réduisant le plus possible la surface perdue ?

Amusez-vous bien !

Vasimolo



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 #2 - 31-10-2009 01:56:09

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Ca eut ppayé

Soit un chemin donné (droite passant par F), faisant un angle t avec Ox, et coupant Ox en A et Oy en B.
Si l'on décale le chemin d'un angle dt dans le sens des aiguilles d'une montre, on va ajouter (au premier ordre) un secteur d'angle dt et de rayon FB et on va oter un secteur d'angle dt et de rayon FA : cette opération est intéressante si FA et plus grand que FB, elle n'est pas intéressante si FA est plus petit. La position optimale correspond donc à FA=FB.

Dans cette position, F est le milieu de AB (OF est une médiane de OAB).
Pour tracer A et B, on trace C tel que F soit le milieu de OC et on trace le parallélogramme OACB.

 #3 - 31-10-2009 13:48:25

clementmarmet
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1329
Lieu: I'm in spaaaace!!

ca zut payé

il doit faire une route courbe qui tend vers le point O puis revient dans sa trajectoire initiale


eki eki eki pa tang!!

 #4 - 31-10-2009 19:52:15

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

ca zut payé

On va se placer dans un repere orthonormé (O;i;j)
la droite (Oy) à pour équation y=ax
Soit F le point de coordonnées ([latex]x_f;y_f[/latex]) avec [latex]y_f<ax_f[/latex]
on veut savoir où on va placer un point M sur (Ox) et N sur (Oy) tel que F appartient à [MN]et que l'aire du triangle OMN soit minimale

M appartient à la droite (Ox) alors M([latex]x_m;0[/latex])
La droite (MF) aura pour équation [latex]y={y_f\over{x_f-x_m}}x-{{x_m\times y_f}\over{x_f-x_m}}[/latex]
Donc le point N est sur la droite (Oy) et sur la droite (MN)
donc [latex]y_n=ax_n et y_n={y_f\over{x_f-x_m}}x_n-{{x_m\times y_f}\over{x_f-x_m}}[/latex] d'où [latex]x_n={{x_m\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}} et y_n={{ax_m\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}[/latex]

on a OM=[latex]x_m[/latex] et ON=[latex]{{x_m\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}\times\sqrt{1+a^2}[/latex]

Alors l'aire du triangle = [latex]{1\over 2}OM\times ON sin (MON)={{x_m^2\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}\times\sqrt{1+a^2}\times sin (MON)/2[/latex]

Puisque la droite a pour coefficient directeur a alors [latex]sin(MON)={a\over\sqrt{1+a^2}}[/latex]

donc l'aire du triangle OMN[latex]={{x_m^2\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x_m)}}\times {a\over2}[/latex]

Soit f(x)=[latex]{{x^2\times y_f}\over {y_f-a(x_f-x)}}\times {a\over2}[/latex]
alors f'(x)[latex]={ay_f\over2}\times {{2x(y_f-a(x_f-x))-ax^2}\over{(y_f-a(x_f-x))^2}}={ay_f\over2}\times {{2x(y_f-ax_f))+ax^2}\over{(y_f-a(x_f-x))^2}}[/latex]

f' est du signe de [latex]2x(y_f-ax_f))+ax^2[/latex] car tous les autres membres sont positifs donc la fonction f aura deux minimum en 0 et [latex]{2(ax_f-y_f)\over a}[/latex]

Donc il faut placer le point M sur la droite [Ox) tel que OM=[latex]{2(ax_f-y_f)\over a}[/latex] pour trouver que l'aire du triangle OMN soit minimale

 #5 - 05-11-2009 18:16:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Ca eeut payé

Une réponse tardive ( je suis sans internet depuis 4 jours ) .

L'idée est bien de construire le parallélogramme de sommet O , de centre F et s'appuyant sur les côtés [Ox) et [Oy) . La diagonale [AB] fournit la partie enclavée la plus petite possible .

http://img4.imageshack.us/img4/9923/rponse.jpg

Pour une autre direction , on perd en plus la partie rouge sad

Bonne réponse de dylasse et sûrement de gabrieldu flot ( je n'ai pas refait les calculs mais je lui fait confiance smile )

Bravo à tous les deux wink

Vasimolo

 #6 - 24-04-2010 02:20:08

Leron
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 11

aC eut payé

En faisant un petit bout de chemin entre la croisée des deux routes et la ferme il rejoint les deux route et désenclave completement sa parcelle donc une droite OF

Enfin c'est ce que je ferai si j'etais lui

A+

 #7 - 24-04-2010 12:53:11

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

C eut payé

On est dans la partie "Enigmes mathématiques", pas "Enigmes logiques" wink


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