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 #1 - 27-01-2011 09:51:21

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

En hommage à SainttPierre ...

Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit C de rayon R.
Les cercles tangents intérieurement à C et extérieurement aux cotés AB, BC, CA du triangle ont respectivement un rayon maximum de 9, 29 et 8 unités.
Quels sont les valeurs des cotés AB, BC, CA et du rayon R ?

(N'ayant pas suivi toute a carrière du sus-nommé, j'espère qu'il n'a pas posé une énigme trop semblable ... )

Spoiler : [Afficher le message] Toutes les réponses sont des valeurs entières.
Spoiler : [Afficher le message] Le triangle ABC n'est pas tout à fait quelconque.



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 #2 - 27-01-2011 13:35:04

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

En hommage à SainntPierre ...

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-P2T.JPG

Le triangle ABC est rectangle en B et les dimensions demandées sont entières.
AB=84 unités
BC=80 unités
AC=116 unités
R=AC/2=58 unités

 #3 - 27-01-2011 14:01:34

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

En hommage à SaintPiere ...

Et une bonne réponse, une.

 #4 - 27-01-2011 22:28:15

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

en hommage à saontpierre ...

J'ai ajouté un indice.

 #5 - 28-01-2011 17:22:31

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

zn hommage à saintpierre ...

Ouf !!!
J'ai enfin réussi, le triangle est rectangle en A et les valeurs sont :
R=58
BC=116
AB=84
AC=80


J'ai tellement galéré sur les formules, avant de me rendre compte que je faisais à un moment une simplification par R-58 (qui est donc nul !) et j'arrivais à une impossibilité ...

Pour info, Jack, la formule que je t'ai donnée en MP était bien juste smile

Pour ma démo, j'ai une méthode qui à mon avis est bien bourrine :

J'utilise les angles droits des médiatrices pour trouver les relations :
[TeX]x^2=16r_x(R-r_x)[/latex] où x prend les valeurs a,b,c. (a=BC, b=AC, c=AB et ra=29,rb=8,rc=9)

Puis avec la formule d'Al-Kashi, [latex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat A)[/latex], avec [latex]cos(\hat A) = \frac{R-2r_a}{R}[/TeX]
J'obtiens :
[TeX](96R+bc)(R-58)=0[/TeX]
Donc nécessairement R=58.
Les autres valeurs se déduisent facilement

 #6 - 28-01-2011 19:57:18

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

En hommage à SaintPiere ...

Bravo à LOOping pour sa réponse et sa démonstration.

 #7 - 31-01-2011 10:56:51

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

En hommmage à SaintPierre ...

Que rajouter au dessin d'halloduda  et au calcul de LOOping ? Bravo à tous les 2.
Le fait que toutes les valeurs étaient entières devait faire penser aux triplets de Pythagore, ce que venait confirmer le deuxième indice : si le triangle n'était pas quelconque, il ne pouvait pas être isocèle ou équilatéral car il n'y avait pas 2 rayons identiques ; il était donc rectangle, et à partir de là les calculs devenaient simplissimes.

 

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