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 #1 - 15-03-2011 23:05:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4756

echexs 9

Simple comme un coup de fil lol

On place sur un échiquier des pions reversibles ( style othello ou reversi ) avec une face blanche et une face rouge . On peut retourner n'importe quel pion de l'échiquier à condition de retourner avec lui tous les pions qui partagent sa ligne ou sa colonne . Au départ toutes les faces visibles sont blanches , peut-on réaliser la figure suivante ???

Amusez-vous bien smile

http://img17.imageshack.us/img17/8175/filz.jpg

Vasimolo



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#0 Pub

 #2 - 15-03-2011 23:13:21

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Echhecs 9

Je suis tenté de dire que cette façon de retourner les jetons donera a la fin de chaque étape un nombre de jetons de chaque couleur pair.

Une éventuelle preuve a cela s'appuierait sur le fait qu'un mouvement va, soit annuler le mouvement précédent (le cas le plus trivial), soit retourner tous les jetons d'une ligne ou d'une colonne du mouvement précédent, soit retourner exactement deux jetons touché par le mouvement précédent. Dans chacun des cas, et vu que les dimensions de la grille sont paires, le nombre de jetons dont la face rouge (respectivement blanche) est en haut est pair.

J'en conclurais que ta figure est impossible a réaliser car elle compte un nombre de faces rouges (ou blanches, c'est pareil) impair.

A formaliser... en espérant que mon intuition est bonne.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 16-03-2011 03:24:35

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2009
Lieu: Paris

Ecehcs 9

Il faudrait retourner 19 pions en tout pour y arriver.

Or j'ai un invariant dans ce problème : le nombre de pions rouges (ou blancs) du plateau est paire. En effet, a chaque retournement d'une ligne ou d'une colonne, je ne peux pas ajouter ou enlever un nombre impair de jetons rouges. Si j'avais x jetons rouges sur une ligne, j'en aurai 8-x après avoir retourné la ligne (ou la colonne). Je oeux donc soit perdre 8, 6, 4, ou 2 jetons, en gagner 8, 6, 4, ou 2 jetons, ou en avoir toujours le même nombre. Dans tous les cas, la parité du nombre de rouges ne change pas.

Comme il y a un nombre paire de rouges au début, en l'occurrence 0, il en est de même a tout moment.

Il est donc impossible d'arriver a la configuration ci dessus qui compterait 19 pions rouges :-)
Dommage !

 #4 - 16-03-2011 09:28:07

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Echcs 9

non !

Pour s'en convaincre, prenons au hasard 4 cases formant un rectangle parallèle aux bord de l'échiquier.
Ces cases sont "animées" par 4 opérations possibles (2 lignes et 2 colonnes) qui ont pour effet de transformer 2B en 2R, 2R en 2B ou RB en BR en laissant intact l'autre rangée. Si l'on part de 4 blancs, on aura toujours un nombre pair de Blancs (et de Rouge) sur nos 4 cases.

Ce n'est pas le cas sur la figure fil (il y a plein de rectangles de 4 cases formés de 3 R et 1 B ou l'inverse), elle n'est donc pas le résultat d'une suite de retournement de lignes et de colonnes.

 #5 - 16-03-2011 11:54:43

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

Ecehcs 9

Encore une fois, il faut trouver l'invariant.
Ici, on a : "Le nombre de cases blanches est pair, et le nombre de cases rouges aussi".

> C'est bien le cas au début
> Sur chaque ligne ou colonne que je retourne, il y a un nombre B de blancs au départ, et 8-B rouges du coup. Après retournement, j'obtient 8-B blancs et B rouges. Le nombre Nb de blancs total passe alors à Nb -B + 8-B = Nb + 8-2b, dont la parité ne change pas. Pareil pour les rouges.

Ce n'est pas le cas à la fin (19 rouges), donc pas la peine d'essayer...

 #6 - 16-03-2011 13:30:38

Vasimolo
Le pâtissier
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evhecs 9

En Français le "ou" est usuellement exclusif , j'aurais du joindre une illustration mad

Ce n'est pas très grave smile

1°) On retourne une ligne complète ou une colonne complète , peut-on obtenir le joli dessin "FIL" . C'est la question à laquelle tout le monde a ( bien ) répondu smile

2°) On retourne un pion et avec lui tous les pions qui sont sur la même ligne ainsi que tous les pions qui sont sur la même colonne . Peut-on alors obtenir la figure voulue ? C'est la question que j'avais en tête initialement mais il m'arrive de ne pas être complètement limpide lol 

http://img12.imageshack.us/img12/2991/fil2j.jpg

Si on retourne le pion rouge on doit retourner tous les bleus .

Vasimolo

 #7 - 16-03-2011 16:36:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Echecs

Mon coup de "exactement deux jetons" va dans ce sens. Peux-tu néanmoins me dire si mon explication te paraît compréhensible, et dans ce cas, si elle te paraît juste ? Merci smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 16-03-2011 17:17:44

Vasimolo
Le pâtissier
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zchecs 9

Non Mathias , ton raisonnement ne tient pas smile

Chaque fois que tu choisis une case tu retounes 15=8+8-1 pions donc la parité du nombre de pions de chaque couleur change .

Vasimolo

 #9 - 16-03-2011 17:57:48

scarta
Elite de Prise2Tete
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Eches 9

La réponse est "Oui c'est possible". Voici les retournements à effectuer
Ligne 1: 1, 3, 4, 5
Ligne 2: 3, 7, 8
Ligne 3: 1, 4, 5, 6
Ligne 4: 1, 2, 5, 6
Ligne 5: 3, 7, 8
Ligne 6: 1, 3, 4
Ligne 7: 2, 5
Ligne 8: 2, 5

"Simple" système de 64 équations booléennes à 64 inconnues

 #10 - 16-03-2011 19:00:00

Vasimolo
Le pâtissier
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echecq 9

Oui Scarta et il y a une explication réellement très simple smile

Vasimolo

 #11 - 16-03-2011 19:30:14

scarta
Elite de Prise2Tete
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Echecs 99

En effet : je considère le pion (a,b), les 15 opérations de retournement sur les pions (a,i) et (j, b) nous donne le même tableau qu'au départ avec pour seul pion retourné le pion (a,b).

Il est donc possible de retourner n'importe quel pion sans modifier les autres, et du coup de réaliser cette figure (ou n'importe quelle autre d'ailleurs)

 #12 - 16-03-2011 19:51:47

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecs 99

smile

Vasimolo

 #13 - 16-03-2011 21:38:39

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 152

Echecss 9

hummm, si on retourne une ligne ou une colonne, on retourne 8 cases, donc le nombre restera toujours paire, ce n'est donc pas possible.
si on retourne le deux, alors en "activant" les 15 cases de la lignes et la colonne de se point, tous les points de l'échiquier sont touché un nombre paire de fois (8 fois sur la lignes/colonne, et 2 fois les autres) sauf le points central qui est touché 15 fois.

en gros on ne retourne que 1 point, celui voulu, partant de la on peut bien faire la figure que l'on veut !

 #14 - 16-03-2011 23:07:00

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

echrcs 9

C'est possible : les petits dessins ci-dessous l'expliquent mieux qu'un long discours :

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-fil.jpg

On remarque tout d'abord 2 propriétés des retournements :
l'ordre dans lequel on les effectue n'a pas d'importance,
faire 2 retournement à partir de la même case revient à ne rien faire, donc chaque case sera choisie 0 ou 1 fois.

Sur l'échiquier 1, j'ai noté les cases dont je retourne la ligne et la colonne avec un 1, les autres avec O. Le résultat est l'échiquier 2 : on peut donc retourner une seule case où on veut. Cela nous permet donc d'affirmer que l'on peut atteindre la figure finale, puisque l'on est capable de retourner individuellement chaque case.

Sur l'échiquier 3, j'ai donc noté sur chaque case le nombre de cases de la colonne ou de la ligne qui sont retournés.
Ensuite, j'ai mis sur l'échiquier 4, 1 quand ce nombre était impair et 0 quand il était pair.
Celà me définit les cases dont il faut retourner les lignes et les colonnes pour obtenir l'échiquier 5. Et voilà !

METHODE PLUS RAPIDE

On peut faire plus vite, avec le même formalisme pour trouver l'échiquier 4, en effet, il suffit de remarquer que l'échiquier 1 donne le 2 mais que, aussi, l'échiquier 2 donne le 1... et c'est vrai pour tous les échiquiers...
Donc on prend l'image de "FIL" échiquier 5 recherché qui nous donne le 4.

 #15 - 17-03-2011 10:45:47

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 116

echexs 9

Étudions le cas général.

Soit un rectangle a lignes , b colonnes.
Soit Li l'opérateur qui modifie la ligne i.
Soit Cj "      "        "     "        "   "    j.
Tous dessin correspond à une suite d'opérateur : Li..CJ..Lk.
On vérifie que l'ordre n' a pas d'importance (commutativité), et que chaque opérateur est unique ( car deux fois le même opérateur revient à l'opération nulle).
Soit une suite quelconque d'opérateur O=Li...Cj...    l le nombre d'opérateurs Li et c le nombre d'opérateurs Cj.

Lorsqu'on étudie le dessin constitué avec la suite d'opérateur O on remarque que pour chaque ligne le nombre de carrés blancs est égal soit à    b-c     soit   à    c.

de même pour les colonnes, le nombre de carré blanc est soit  a-l  ou  l  .

Sur le dessin on vérifie que les lignes  ont 4, 5 ,6 carrés blancs. donc on ne peut pas faire ce dessin avec les opérateurs Li et Cj.


Cette condition est nécessaire mais pas suffisante.
Prenons les  lignes qui comptent  b-c carrés blancs. Ceux ci forment une famille FL(b-c). De même les carrés blancs des lignes qui comportent c carrés blancs forment la famille FL(c). Nous faisons de même pour les colonnes .
nous avons aussi les familles FC(a-l) et FC(l).
La condition nécessaire et suffisante pour réaliser un dessin dans le rectangle est  que la famille FL(b-c) soit confondue avec une des deux familles FC(a-l) ou FC(l) et la famille FL(c) avec l'autre famille FC(l) ou FC(a-l)

 #16 - 17-03-2011 16:14:45

Vasimolo
Le pâtissier
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Echeccs 9

Bonnes réponses de Bamby2 et Dylasse smile

Débutant répond bien au premier problème ( qui est beaucoup plus simple ) .

Vasimolo

 #17 - 17-03-2011 17:34:42

Vasimolo
Le pâtissier
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echevs 9

Retourner tous les éléments de la ligne et de la colonne d'une case n'est pas équivalent à retourner tous les éléments de la ligne de la case puis tous les éléments de la colonne de la case tongue

Vasimolo

 #18 - 17-03-2011 20:24:43

halloduda
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ecjecs 9

Premier problème simple : on ne peut pas retourner 19 pions en les retournant 8 par 8, le nombre de pions rouges demeurant pair à chaque coup joué.

Second problème : pris note, chaque retournement concerne une ligne ET une colonne, soit 15 pions.

La parité du nombre de pions rouges, qui est la même que le nombre de retournements de pions, change à chaque fois qu'on retourne un pion.

Pour avoir 19 pions rouges à la fin (le motif), il faut donc jouer un nombre impair de fois.

(A suivre)

EDIT Battu par l'horloge.

 #19 - 19-03-2011 12:45:20

gasole
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Ehcecs 9

Grrr... à mon tour de mériter une fessée déculottée smile J'ai pas cru que c'était possible et j'ai regretté ne pas avoir un jeu d'othello sous la main.

 #20 - 19-03-2011 13:01:04

franck9525
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Ecehcs 9

J'ai aussi été battu par l'horloge sad


The proof of the pudding is in the eating.

 #21 - 19-03-2011 13:14:27

Vasimolo
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echzcs 9

Heureux de voir que ce problème vous a plu et je vous renvoie à la solution de Dylasse qui est la mienne à peu de choses près smile

Merci pour la participation et n'hésitez pas à demander un peu de rab de temps si le besoin s'en fait sentir , je ne me rend pas toujours compte de la difficulté smile

Je suis moi même très lent smile

Vasimolo

 #22 - 19-03-2011 13:24:53

franck9525
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echzcs 9

C'est surtout que le WE commence aujourd'hui...


The proof of the pudding is in the eating.

 #23 - 19-03-2011 15:34:19

gasole
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ecjecs 9

Si j'avais cru que c'était possible, j'aurais sûrement pensé à un moment où à un autre à chercher à retourner un seul pion, après c'est une question de temps et de penser au bon truc au bon moment big_smile

Ne change rien, c'était parfait !

 

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