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 #1 - 16-10-2009 22:11:33

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 567

13 piècess

Vous avez 13 pièces absolument identiques d'apparence. Seulement, l'une d'entre elle est fausse. De fait, 12 des pièces ont un poids égal et la fausse pièce est soit moins lourde, soit plus lourde que les 12 autres (mais on ne sait pas).
Vous disposez d'une balance à 2 plateaux et de 3 pesées pour trouver à coup sur la fausse pièce. Il y a au moins deux solutions possibles.



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 #2 - 16-10-2009 23:46:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

13 ipèces

C'est un grand classique , les solutions traînent un peu partout sur le net et peut-être sur ce site ?

C'est quand même un joli problème qui demande beaucoup de précision smile

Vasimolo

 #3 - 19-10-2009 09:44:01

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

13 piièces

pesée 1 :
B B B B v C C C C  reste : D D D D D

1. Si B B B B = C C C C : je sais que la fausse est parmi D et que les B et C sont bonnes.

(1.) : pesée 2 : B B B  v D1 D1 D1 reste : B C C C C D2 D2

1.1. Si B B B  = D1 D1 D1 : je sais que la fausse est parmi D2

(1.1.) pesée 3 : D21 v B reste B B B C C C C D1 D1 D1 D22
si D21 = B, la fausse est D22 (mais je ne sais pas si elle est plus ou moins lourde)
si D21 <> B, la fausse est D21.

1.2. Si B B B > D1 D1 D1 : je sais que la fausse est parmi D1 et qu’elle est plus lègère.

(1.2.) pesée 3 : D11 v D12 reste B B B B C C C C D13 D2 D2

si D11>D12, la fausse est D12
si D11<D12, la fausse est D11
si D11=D12, la fausse est D13

1.3. Si B B B < D1 D1 D1 : je sais que la fausse est parmi D1 et qu’elle est plus lourde.

(1.2.) pesée 3 : D11 v D12 reste B B B B C C C C D13 D2 D2

si D11>D12, la fausse est D11
si D11<D12, la fausse est D12
si D11=D12, la fausse est D13


2. Si B B B B > C C C C : je sais que la fausse est parmi B ou C et que les D sont bonnes.

(2) pesée 2 : B1 B1 B1 C1 C1 v D D D D D reste B2 C2 C2

2.1. Si B1 B1 B1 C1 C1 = D D D D D : je sais que B2 ou C2 sont fausses. B1 ET C1 sont bonnes

(2.1.) pesée 3 : B2 C21 v D D reste B1 B1 B1 C1 C1 C22 D D D

2.1.1. Si B2 C21 > D D, alors la fausse est parmi B2 ou C21 et elle est plus lourde donc d'après la pesée 1, c'est B2

2.1.2 Si B2 C21 < D D, alors la fausse est parmi B2 ou C21 et elle est plus légère donc d'après la pesée 1, c'est C21

2.1.3. Si B2 C21 = D D, alors la fausse est C22, plus lourde d'après pesée 1.

2.2. Si B1 B1 B1 C1 C1 > D D D D D : je sais que B1 ou C1 sont fausses. Je sais aussi que la fausse est plus lourde, donc parmi B1 d’après la pesée 1.

(2.2.) pesée 3 : B11 v B12 reste B13 B2 C1 C1 C2 C2 D D D D D

2.2.1. si B11 > B12, B11 est fausse
2.2.2. si B11 = B12, B13 est fausse
2.2.3. si B11 < B12, B12 est fausse

2.3. Si B1 B1 B1 C1 C1 < D D D D D : je sais que B1 ou C1 sont fausses. Je sais aussi que la fausse est plus légère, donc parmi C1 d’après la pesée 1.

(2.3.) pesée 3 : C11 v D reste B1 B1 B1 B2 C12 C2 C2 D D D D

2.3.1. si C11 = D, la fausse est C12
2.3.2. si C11 < D, la fausse est C11
2.3.3. C11 > D est impossible

3. Si B B B B < C C C C, on échange les nom des B et C pour se ramener au cas n°2.

 #4 - 19-10-2009 17:39:16

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

133 pièces

Pour donner une solution et sans trop réfléchir,

j'utiliserais la même méthode que "  là "   pour 12 pièces au lieu de boules

avec une variante puisqu'il y a une pièce en plus ( la "5" ) :

1ere pesée : abcd^ABCD :
si =^=
alors O fait partie de 1234 "5" ( et abcdABCD=N )

    donc 2nde pesée : abc^123 ( ou NNN^123 ):
    si =^= alors O = 4 ou "5"
        ==> 3ème pesée 4^N pour déterminer si + ou - lourde
[variante]
        ==> si 4=N alors O = 5 mais on ne sait pas si 5+ ou 5-
[/variante]


La suite marche très bien avec le même raisonnement que pour 12 wink

 #5 - 11-11-2011 21:34:23

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 567

13 pièves

La vache, 2 ans après, ce topic est toujours vivant. Bravo aux deux qui ont pris la peine de chercher et ont trouvé. Tout particulièrement à Dylasse pour sa solution très détaillée. Avec deux ans de retard lol

 #6 - 12-11-2011 16:44:16

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 901
Lieu: Seahaven island

13 oièces

Hello,
Je sais pas s'il va remarquer le bravo fait des années plus tard:p
Cela dit le problème des 13 pièces m'avait inspiré plus jeune et j'avais fait un programme qui étant donnée le nombre de pièce (même plus précis que cela) donnait le protocole optimal en nombre de pesées!
Et donc:

13 pièces -> 3 pesées.
40 pièces -> 4 pesées.
121 pièces -> 5 pesées.

Mais aussi:

14 pièces + 1 connue comme étant une vraie -> 3 pesées.
41 pièces + 1 connue comme étant une vraie -> 4 pesées.
122 pièces + 1 connue comme étant une vraie -> 5 pesées.


En fait on remarque une chose,    en 3 pesées si on connaissait le défaut de la mauvaise pièce on la trouverait trivialement parmi 27.  hors avec une information binaire en moins on la trouve parmi 13, et clairement 13 = E(27/2) idem pour les autres. (ce qui ne reste bien sur qu'à l'état de conjecture total mais javais remarqué ce phénomène).

Pour pouvoir faire un programme j'ai du beaucoup réfléchir à ce que ce problème faisait intervenir comme concept en fait.
Ce qu'il faut retenir c'est qu'à tout moment on a 4 catégories de pièces.
-Celles n'ayant jamais été pesées.
-Celles ayant un jour été sur un plateau plus lourd.
-Celles ayant un jour été sur un plateau plus léger.
-Celles qu'on sait vraies.


En dehors des conclusions triviales (une pièce en dehors dune balance déséquilibrées est correcte, une pièce sur une balance équilibrée est correcte) il y en a une un peu moins triviale:
Une pièce ayant un jour été sur un coté plus lourd et un autre jour sur un coté plus léger, est vraie.

Voila voila smile

 #7 - 12-11-2011 16:48:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

13 piècees

Clydevil a écrit:

Une pièce ayant un jour été sur un coté plus lourd et un autre jours sur un coté plus bas, est vraie.

Je crois que c'est l'info que j'oublie toujours dans mes tentatives régulières de résolution de ce problème, et c'est sans doute pour ça que je n'y arrive toujours pas.
Mais je réessaierai en gardant ça en tête, et peut-être que j'y arriverai, cette fois big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 12-11-2011 17:51:17

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

13 pièce

Tu oublies :
une pièce ayant été sur un plateau plus lourd ne peut pas être plus légère.
une pièce ayant été sur un plateau plus léger ne peut pas être plus lourde.


Personnellement, ça me sert bien pour la seconde pesée.

 #9 - 13-11-2011 01:07:20

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 901
Lieu: Seahaven island

13 pièced

@gwen27: Les règles de déductions que je cites avec les 4 catégories ci dessus c'est un système logiquement équivalent et complet. (Si a -> b et b->c oui a->c mais ça n'enrichit pas le système.) :p

 

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