Enigme Trois pièces pile ou face @ Prise2Tete

Franky1103 · #1

Bonjour à tous,
Voici un paradoxe qui est dû à Francis Galton, que j'ai du mal à comprendre.
On lance trois pièces parfaitement équilibrées. Quelle est la probabilité qu'elles tombent toutes du même côté, pile ou face ? La réponse est: 1/2³+1/2³=1/4.
Mais, en lançant trois pièces, deux tomberont forcément du même côté et la troisième a une probabilité de 1/2 de tomber sur le même côté que les deux autres. Donc la réponse semble ici de: 1/2 (au lieu de 1/4).
La solution indique que: P(A=B=C) = 1/4 et P(A=B=C si A=B) = P(A=B=C si B=C) = P(A=B=C si A=C) = 1/2 ne sont pas contradictoires, mais je ne comprends pas vraiment. Qu'en pensez-vous ?
Source: "30 paradoxes renversants" de Léo Gerville-Réache (éditions Pôle).

gwen27 · #2

En disant ça tu supposes que 2 pièces déja tirées sont identiques, ce qui est faux car ça donne donne une chance sur 2. Tu arrives à 1/4 avec la troisième..

Imagine que tu tries toutes les possibilités,

000
001
010
011
100
101
110
111

En ordre croissant :

000
001
001
011
001
011
011
111
Tu as toujours 2 identiques, cela ne veut pas dire que les deux premiers jets le sont, ils le sont seulement 1 fois sur 2.

Numérote tes pièces pour sortir du paradoxe.

enigmatus · #3

Bonjour,

Franky1103 a écrit:
en lançant trois pièces, deux tomberont forcément du même côté

Oui, mais on ne sait pas lesquelles.

P(A=B=C si A=B) = 1/2
PPP -> bon
PPF -> pas bon
FFP -> pas bon
FFF -> bon

P(A=B=C si B=C) = 1/2
PPP -> bon
FPP -> pas bon
PFF -> pas bon
FFF -> bon

P(A=B=C si A=C) = 1/2
PPP -> bon
PFP -> pas bon
FPF -> pas bon
FFF -> bon

Vu comme ça, il semble y avoir 6 cas favorables sur un total de 12, mais PPP et FFF sont chacun comptés 3 fois.
Il faut donc diminuer le nombre de cas favorables et le nombre de configurations de 4.
Au total, on n'a que 2 cas favorables pour 8 configurations différentes.

nodgim · #4

Le paradoxe vient de la phrase : 2 tomberont forcément du même coté. Or, si on regarde 2 des 3 pièces tombées, on a 1 chance sur 2 qu'elles présentent le même aspect. Et donc ensuite 1 chance sur 2 encore que la troisième présente le même aspect que les 2 autres. Donc bien 1 chance sur 4 au final.

"2 tomberont forcément du même coté" est un constat de logique qui inclut les 3 pièces, ce n'est pas un décompte intermédiaire pour un calcul de proba. On ne peut prolonger cette phrase en parlant de la 3ème pièce, puisque cette 3 ème pièce est nécessairement déjà englobée dans la phrase.

Ebichu · #5

La bonne réponse est bien la première : il y a 8 résultats équiprobables, que l'on peut aisément visualiser avec un arbre, qui sont PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF. Seuls PPP et FFF répondent à la question, donc la probabilité que toutes les pièces tombent du même côté vaut 2/8=1/4.

Pour ce qui est du raisonnement fallacieux :

en lançant trois pièces, deux tomberont forcément du même côté

Décris comment tu détermines quelles sont ces deux pièces, et tu verras qu'il n'y a pas une probabilité 1/2 que la troisième tombe du même côté. En effet, tu ne peux pas les choisir a priori, tu es obligé d'attendre d'avoir lancé les pièces pour savoir quelles sont les deux qui sont tombées du même côté.

Si tu obtiens PPP ou FFF, peu importe quelles sont les deux pièces que tu choisis, la probabilité que la troisième soit du même côté vaut 1. En revanche, si tu obtiens un des 6 autres cas, tu n'as pas le choix des deux pièces, et la troisième est obligatoirement tombée de l'autre côté : la probabilité que la troisième soit du même côté vaut 0. On retrouve le 2/8 de ci-dessus.

Franky1103 · #6

Merci à tous pour vos messages: c'est plus clair pour moi maintenant.

Nombrilist · #7

La non-individualisation influe fréquemment sur les probabilités d'intersection d'évènements. Cf le paradoxe des deux enfants.

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