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 #1 - 16-12-2013 12:57:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

PSG - Leveerkusen

Le Paris Saint-Germain vient d'hériter du Bayer Leverkusen en 1/8 ème de finale de la Ligue des Champions. Au moment du tirage, quelle était la probabilité que cela se produise ?

Précisions :

1) Une équipe ayant terminé première de son groupe rencontre obligatoirement une équipe ayant terminé deuxième dans un autre groupe.

2) Deux équipes du même pays ne peuvent pas se rencontrer.



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 #2 - 16-12-2013 13:15:20

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3057
Lieu: Au sud du Nord

pqg - leverkusen

Je connais pas les règles du tirage, mais il me semble qu'à ce stade les clubs d'un même pays ne peuvent pas encore se rencontrer. Après il faut tenir compte du chèque des qataris big_smile


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 16-12-2013 13:55:10

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

psh - leverkusen

Une chance sur 8, non ?
On parle bien de la probabilité juste au-début du tirage au sort des 8èmes de finale, n'est-ce pas ? Pas des probabilités au démarrage du Championnat...

PSG était dans le chapeau des 8 têtes de série et Leverkusen dans le chapeau des 8  challengers. Il y avait donc 1 chance sur 8 (12,5%) que PSG rencontre Leverkusen.

C'était un devoir de vacances ? lol


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #4 - 16-12-2013 16:26:19

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

PSG -- Leverkusen

J'ai ajouté deux précisions pour les non-spécialistes.

 #5 - 16-12-2013 17:27:43

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3758
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

psg - leverkysen

Ah oui ! Si on ajoute le fait que deux équipes d'un même pays ne peuvent pas se rencontrer, c'est un peu plus dur ! Les tirages ne sont plus équiprobables.
big_smile

Encore la faute des Anglais et des Allemands qui viennent tout compliquer... roll lol


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #6 - 16-12-2013 18:02:44

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

PSG - Leverkuen

Hehehe, en voilà une subtile énigme.
On pourrait penser que le PSG a 1 chance sur 7 de rencontrer le B04 (7 car 8 seconds sauf Olympiakos), alors que le B04 a 1 chance sur 5 de rencontrer le
PSG (5 car 8 seconds sauf Manunited, Bayern et Dortmund).
Il faut que je réfléchisse encore un peu avant de donner mon dernier mot, mais
je pense qu'on ne coupera pas à un décompte de toutes les paires possibles.
Je reviendrai plus tard.

 #7 - 17-12-2013 09:16:52

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
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psg - leverkuszn

Euh combien y-a-t-il de groupes ? N'y-a-t-il que des premiers et des seconds ?

Dans ces coups de temps là, il y aurait 8 groupes alors ? (Puisque les 1/8eme de finales sont faits de 16 équipes)...

 #8 - 17-12-2013 09:50:12

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

PSG - Levrekusen

En première estimation, on peut admettre que le Bayer n'avait que six adversaires possibles et équiprobables, donc une chance sur six de tomber sur le PSG.
On en déduit - et cela peut choquer - que le PSG avait une chance sur trois de tomber sur un club allemand, une chance sur trois de tomber sur un club anglais et une chance sur douze pour chacun des quatre autres clubs...

En deuxième observation, je note que l'équiprobabilité de ma première phrase est douteuse car les clubs anglais ne peuvent pas se rencontrer, ce qui augmentait légèrement la probabilité que le Bayer soit opposé à des Anglais...

D'autre part, on pourrait dénombrer tous les arrangements possibles mais là, j'ai peur que le procédé de tirage au sort ne fasse pas qu'ils soient équiprobables. Je vais attendre sagement la réponse de ceux qui savent prendre le problème par le bon bout.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 17-12-2013 19:46:48

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 56

PSG - Leveerkusen

Bonsoir,

Je ne suis pas du tout fan de foot, mais à priori, si chacune des 8 équipes premières rencontre une équipe terminant 2nd, il y a une chance sur 8, sachant que le nombre de combinaisons possibles est de C(2..8), soit 28 (pour ce qui est des rencontres.

Mais s'il y a des équipes françaises dans l'autre poule, effectivement, la probabilité augmente en conséquence (s'il y a une équipe française, elle est de 1/(8-1) etc...)

 #10 - 17-12-2013 20:29:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

PSG - Levverkusen

Il n'y a pas d'autre équipe française qui est sortie des poules. Pour connaitre les résultats des poules, vous pouvez regarder là : http://www.lequipe.fr/Football/Football … e5574.html (cliquer sur les flèches pour changer de groupe).

En résumé cela a donné :

Code:

A : 1.Manchester United (ANG)  2.Bayer Leverkusen (ALL)
B : 1.Real Madrid (ESP)        2.Galatasaray (TUR)
C : 1.PSG (FRA)                2.Olympiakos (GRE)
D : 1.Bayern Munich (ALL)      2.Manchester City (ANG)
E : 1.Chelsea (ANG)            2.Schalke 04 (ALL)
F : 1.Borussia Dortmund (ALL)  2.Arsenal (ANG)
G : 1.Atletico Madrid (ESP)    2.Zenith St Petersbourg (RUS)
H : 1.FC Barcelone (ESP)       2.Milan AC (ITA)

 #11 - 17-12-2013 20:44:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

PSG - Leverkuse

Après réflexion, compte tenu des contraintes "croisées", on ne pourra s'en sortir qu'avec un décompte des paires possibles, ce qu'on ne peut raisonnablement faire qu'avec un petit programme, dans lequel je ne me lancerai pas. On va trouver une probabilité comprise entre 1/7 et 1/5.

 #12 - 18-12-2013 08:26:33

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 374

SG - Leverkusen

Sans les contraintes de clubs du même pays ou de clubs s'étant déjà rencontrés en poules, il y a 8! façon d'associer par paire un premier et un second de poule.
Parmi ces 8! tirages, il y en a 7! où le PSG rencontre Leverkusen (ce qui fait 1 chance sur 8, comme on s'en serait douté).

Si on ajoute la contrainte que 2 clubs ayant joué en poule ne peuvent se rencontrer en 1/8ème, le résultat passe à 1 chance sur 7 (6!/7!).

La contrainte sur les pays vient encore diminuer les cas possibles. Je ne vois qu'un listage de toutes les solutions et l'élimination manuelle des impossibles pour arriver à la solution. Je vais m'y atteler !

Cependant, je me demande comment le tirage a été fait en pratique pour éviter qu'après 5 tirages il reste 2 anglais dans le chapeau 1 et 2 anglais dans le 2 et ainsi impossible d'éviter une rencontre entre english, tout en conservant une équiprobabilité de tous les tirages valables...

 #13 - 18-12-2013 09:11:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

PG - Leverkusen

Sur les quatre anglais, deux sont premiers de leur groupe et deux sont seconds. On a la même situation avec les allemands. Par contre, les trois espagnols étant tous premiers de leur groupe, comme les premiers ne peuvent pas se rencontrer entre eux, le raisonnement n’en sera pas affecté.
Sur les huit premiers (et aussi pour les huit seconds), quatre peuvent rencontrer cinq équipes et quatre autres sept équipes. Voici le tableau des rencontres possibles :

       2A   2B   2C   2D   2E   2F   2G   2H
1A     -     X     X     -     X     -     X     X
1B    X      -     X    X     X     X    X     X
1C    X     X     -     X     X     X    X     X
1D     -     X    X     -      -     X     X     X
1E    X      X    X     -      -     -     X     X
1F     -      X    X     X     -     -     X     X
1G    X     X    X     X     X     X     -     X
1H    X     X     X    X     X     X    X      -

Je remarque que si les ensembles de cinq (et aussi de sept) se rencontraient entre eux, alors il ne reste qu’une possibilité pour ceux à cinq, que voici:

       2A  2D  2E  2F
1A    -     -    X     -
1D    -     -     -    X
1E   X     -     -     -
1F    -    X     -     -

Le nombre d’assemblages possibles est donc de:
1 + C(4 ;1).A(4 ;1) + C(4 ;2).A(4 ;2) + C(4 ;3).A(4 ;3) + C(4 ;4).A(4 ;4)
= 1 + 4x4 + 6x12 + 4x24 + 1x24 = 209
Le nombre d’assemblages favorables (1C étant avec 2A) est de:
1 + C(3 ;1).A(3 ;1) + C(3 ;2).A(3 ;2) + C(3 ;3).A(3 ;3)
= 1 + 3x3 + 3x6 + 1x6 = 34

On a donc une probabilité de 34/209 = env. 0,16 que cette rencontre se produise.
34/209 est compris entre 1/7 et 1/5, mais cela ne veut pas dire que c’est juste.

 #14 - 18-12-2013 15:40:25

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 29

PSG - Leveruksen

Salut,

J'obtiens 17.3%.

 #15 - 19-12-2013 08:12:17

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

PSG - Leverkusn

Bon début de raisonnement, Franky, avec la distinction "Saxons" (Anglais-Allemands) vs "Non Saxons". Mais les calculs suivants ne sont pas corrects.

BilouDH, comment as-tu trouvé ?

Dylasse, il me semble qu'en pratique, l'UEFA met simplement 8 boules dans chaque urne et recommence le tirage s'il n'est pas acceptable.

 #16 - 19-12-2013 09:29:26

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 29

PSG - Leverkuen

J'ai fait un programme qui génère l'ensemble des tirages possibles avec les contraintes précitées et ensuite je compte les tirages qui ont PSG-Leverkussen. Assez bourrin. Mais le programme en vba n'est pas non plus très compliqué.

 #17 - 19-12-2013 17:38:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

PSG - Leverkuesn

Ok BilouDH, bien joué.

 #18 - 20-12-2013 00:39:21

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

psg - lrverkusen

Et si c'était 17 / 418 = env.4% ? Mon hypothèse que cette probabilité soit comprise entre 1/7 et 1/5 est alors fausse.

 #19 - 20-12-2013 08:23:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

psg - leverlusen

Oula non Franky, tu t'éloignes...
La proba cherchée est bien entre 1/7 et 1/5 comme tu l'avais pressenti.

 #20 - 22-12-2013 15:23:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

PSG - Lveerkusen

BilouDH est donc le seul à avoir trouvé que la probabilité cherchée vaut environ 17,3%, à l'aide d'un programme informatique. Encore bravo à lui.

Ce résultat peut se prouver assez facilement avec un papier, un crayon et un peu d'astuce... Lancez-vous !

 #21 - 22-12-2013 15:43:12

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

psg - leverkuden

Ce problème me rend fou. Je ne trouve pas.

 #22 - 23-12-2013 12:55:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

PSG - Leveruksen

Je ne sais pas où mon raisonnement est faux, je tombe sur 14,5%.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-psgbayer.JPG

 #23 - 23-12-2013 21:25:03

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

PSG - Leerkusen

Post modifié car le précédent ne tenait pas compte du fait qu'une équipe ne peut pas rencontrer un adversaire de poule.
Je suis désormais convaincu qu'il ne faut pas raisonner par dénombrements, et voici ma justification :

Le premier tirage s'effectue dans le second chapeau.
Si Leverkusen sort lors de ce tirage, on pioche dans le premier chapeau en rejetant si le club tiré est allemand ou si c'est Manchester United. Donc, dans ce cas, une chance sur 5 pour que l'adversaire du Bayer soit le PSG.
Pourtant, chacun admet que la probabilité demandée s'avère inférieure à 1/5.
Donc, si Leverkusen n'est pas tiré en premier, la probabilité d'un match contre le PSG diminue forcément...

Il faudrait donc développer un arbre pondéré distinguant les rangs de sortie des 4 clubs allemands, des 4 clubs anglais et du PSG... Infaisable à la main.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #24 - 24-12-2013 15:18:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

PSG - Leverkuseen

@nombrilist : ce n'est pas classique, ça ne ressemble à rien de ce qu'on peut trouver en exercices de dénombrement, mais c'est largement trouvable. Courage !

@gwen : il y a un problème dans ton décompte car une équipe ne peut tomber contre une équipe de sa poule. Cela implique entre autres que dans ta première colonne, il n' y a pas 6 possibilités pour ALL1, mais seulement 5.

@scrablor : d'où sort cette citation ?

 #25 - 24-12-2013 15:35:50

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

pqg - leverkusen

Bah non, il reste les 2 anglais, la Russie, la Grèce, l'Italie et la Turquie non ?

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