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 #1 - 23-02-2010 17:19:06

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

La foire axu disques

Un autre jeu de foire proposait le jeu suivant :

un disque de 1 m de diamètre était peint en rouge sur le sol, le joueur avait à sa disposition 5 disques bleus de 61 cm de diamètre, il gagnait si il arrivait à recouvrir complètement le disque rouge avec les 5 disques. Le moindre millimètre apparent le faisait perdre.

Etait-ce réellement faisable ? Si non pourquoi ? Si oui comment ?

Merci à Kosmogol qui a trouvé un petit jeu qui permet d'essayer : (je n'ai pas vérifié si les proportions des disques étaient bien ceux du problème) :

pour s'entraîner



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 #2 - 23-02-2010 22:06:38

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

La foire aaux disques


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 24-02-2010 17:48:54

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1537

la foire aix disques

Bonjour

Merci schaff60 pour tes précisions par MP + le lien de Kosmogol.

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Construction_disque12.jpg


http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Construction_disque11.jpg

On doit placer 5 disques "bleus", donc je vais raisonner avec un pentagone inscrit dans le disque "rouge"

Soit un pentagone inscrit dans un cercle de rayon unitaire et de centre O
Ce pentagone décompose en 5 triangles isocèles juxtaposés de sommets O.

Soit OAB l'un de ces triangles, dont l'angle Ô vaut 72° (ou 2Pi /5)

Une première approche de solution de recouvrement du disque unitaire par 5 disques de rayon r est de centrer ce cercle en un point X situé sur la médiatrice de [AB] qui passe donc par O, la circonférence de ce disque passe par O, A et B

On a r = OX
M milieu de [OB]
OM = 1/2


on a ainsi r * cos (72°/2) = OM =1/2
i.e. r * cos (2*pi /10) = 1/2

r vaut donc [(1/2) / cos (36°)] soit 0.618


Ramené aux unités de l'énoncé, on conclut que :
5 disques bleus de 61 cm de diamètre disposés sur les 5 médiatrices ne suffisent donc pas à recouvrir le disque rouge de 1 m de diamètre
> il faudrait 61,8 cm.

La figure ci-dessous est avec 61.8 cm :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Construction_disque2.jpg

Au passage, on a la dimension d'un côté du pentagone inscrit :
2*sin(36°) soit 1,176
> soit 58,5 cm avec les données de l'énoncé.

Si on retente avec 61.8 cm (au lieu de 61) :

Avec 61,8 cm, les 4 premières arêtes du pentagones sont "couvertes" et on remarquera néanmoins que le "4ème" disque posé et le premier disque recouvrent déjà le centre et une portion du cinquième "triangle", donc poser un 5ème disque de 61.8 cm est aisé et recouvrira sans peine la dernière portion.
On y arriverait aussi bien avec un 5ème disque de diamètre égal à un côté du pentagone inscrit soit 58.5 cm.

(merci Schaff pour le MP)

La figure ci-dessous est toujours avec 61.8 cm pour les 4 premiers disques "bleus"

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Construction_disque_variante3.jpg



Intéressant !
A bientôt


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #4 - 24-02-2010 17:53:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4065

la foire aix disques

Bonsoir

On voit assez vite que c'est possible , c'est un peu plus pénible à justifier .

http://img341.imageshack.us/img341/2369/76995859.jpg

Si la longueur x repérée par "?" est inférieure à 6,1 c'est gagné or un peu de trigo donne Formule LaTeX : x \approx 6,098 .

http://img130.imageshack.us/img130/8917/71073787.jpg

Vasimolo

 #5 - 27-02-2010 07:54:13

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

la foire aux dissues

Bravo à Vasimolo, la réponse est valable pour des disques de 61 cm, et à NickoGecko pour avoir planché dessus

Il est à noter que 61 cm n'est pas le diamètre minimum pour rendre possible le recouvrement du disque rouge, le diamètre minimum est de 60.9 cm, dans ce cas la figure de Vasimolo ne fonctionne plus : il faut décaler le premier disque posé légèrement afin qu'il recouvre le centre du disque rouge, la distance OM doit être de 1.425 cm pour rendre possible le recouvrement


http://www.prise2tete.fr/upload/schaff60-disques1.jpg


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