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 #1 - 23-03-2010 17:45:17

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

42 mzis pas plus...

Pour deviner un entier N compris entre 1 et 42, on ne peut poser que des questions du type « N est-il strictement supérieur à x ? »
Le nombre de telles questions sera au maximum de 6 mais dès qu'on a reçu 3 réponses négatives, on ne peut plus rien demander et il faut proposer sa réponse.
Il est possible de gagner à tous les coups, mais la stratégie est unique !
En particulier, quelle doit être la valeur x pour la première question ?

Spoiler : Source Ceci est une adaptation réduite d'une énigme posée par Michel Lafond dans le bulletin 487 de l'APMEP. Pour l'auteur, N est compris entre 1 et 299 et on peut poser jusqu'à 12 questions.
Le problème ainsi réduit devient accessible aux non-matheux suffisamment courageux...



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Réponse :

Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
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 #2 - 23-03-2010 19:31:45

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

42 mais pas pluq...

J'avais d'abord tenté 14 (1/3) mais il restait de la marge.

Avec 16 c'est bon en descendant :

d'abord 16, si négatif 5, puis 1.2.3 et 4 si 5 est négatif

si 5 positif alors on passe à 9 puis 6,7et 8 si négatif et 12 si positif puis 14 etc..

Me reste à faire le cas si la réponse à 16 est 'oui'


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #3 - 23-03-2010 21:09:58

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

42 mais oas plus...

X = 16 à la première question.



J'ai construit l'arbre en partant de la fin, c-a-d, de feuille la plus en haut où j'ai mis 42 et j'ai complété le reste par déduction.

 #4 - 23-03-2010 21:35:05

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3767
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

42 mais pas pluss...

En dessinant un graphe de décision, j'ai trouvé que la 1ère question devait être "x > 16 ?"
Il faudrait trouver une formule d'extrapolation....


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #5 - 23-03-2010 22:41:32

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

42 mais pas lpus...

Joli schéma signé EfCeBa cool et deux autres bonnes réponses plus lacunaires...
Pour passer à la version originale (12 questions et N jusqu'à 299), il faut s'armer de raisonnements combinatoires wink


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 23-03-2010 23:30:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

42 ais pas plus...

Bonsoir smile

En regardant en priorité les réponses négatives , on construit l'algorithme "en remontant" . Je l'ai fait à la main pour l'exemple que tu donnes et disons qu'avec uniquement des réponses positives on va proposer successivement : 16 ; 27 ; 35 ; 38 ; 40 et 41 pour trouver 42 .

Je n'essaierai pas de joindre l'organigramme ( c'est un travail de titan mad ou de Ch'Ef smile)

Les cas 299 ou plus m'intéressent smile , à suivre ...

Vasimolo

 #7 - 24-03-2010 00:48:21

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

42 mais pa plus...

Pour des nombres de 1 a 42, un maximum de 3 réponses négatives et 6 réponses totales:
Les questions devraient être (dans l'ordre):
1) N est-il strictement supérieur à 16?
ensuite:
2) N est-il strictement supérieur à 5 ou 27?(suivant la réponse précédente)
3) N est-il strictement supérieur à 1, 9, 20 ou 34 ?
4) N est-il strictement supérieur à 2, 6, 12, 17, 23, 30 ou 38?
5) N est-il strictement supérieur à 3, 7, 10, 14, 18, 20, 25, 28, 32, 36 ou 40?
6) N est-il strictement supérieur à un des autres nombres pas déjà cités?

Le tout est de poser la bonne question qui tombe entre les bornes fixées par les réponses précédentes.

Pour le problème avec des nombres de 1 a 299, avec un maximum de 3 réponses négatives et 12 réponses totales:

1) N est-il strictement supérieur à 67?
2) N est-il strictement supérieur à 11 ou 123? (en fonction de la réponse précédente)
3) etc...

Je ne sais pas s'il y a un nom a la technique que j'utilise, mais ca ressemble a ca, pour le probleme de 3 négatives parmi 12:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 7, 9, 10, 11, 12, 8, 10, 11, 12, 9, 11, 12, 10, 12, 11, 12, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 3, 5, 6, ...etc...
la position des nombres est le nombre N, et le nombre est le numero de la question.
Par exemple, on poserait la quesition : "N est-il strictement supérieur à 10?" en 12eme position.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 25-03-2010 01:37:37

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

2 mais pas plus...

On va dans un premier temps oublier la contrainte des 3 réponses négatives. L'ensemble des suites de 6 réponses possibles contient 2^6 = 64 éléments. C'est un problèmes de dichotomie classique qui permet de trouver un nombre entre 0 et 63, chacun d'entre eux sera associé à son écriture en base 2 où les 1 correspondent à des réponses "oui" et les 0 à des réponses "non".

Exemple : 8 = 001000 que l'on trouve par la suite de questions : >=32? non >=16? non >=8? oui >=12? non >=10? non >=9? non donc c'est 8.

Avec la contrainte supplémentaire de 3 réponses négatives maximum, il faut supprimer de notre ensemble de suites de réponses celles qui contiennent 4, 5 ou 6 "zéro".
On dénombre facilement :
avec 6 zéro, 6!/((6-6)! 6!) = 1
avec 5 zéro, 6!/((6-5)! 5!) = 6
avec 4 zéro, 6!/((6-4)! 4!) = 15,
Donc l'ensembles des suites de réponses possibles contient 64 - (1+6+15) = 42 éléments.

Donc, il va exister une solution et une seule de suite de questions permettant de déterminer un nombre compris entre 1 et 42.

Pour déterminer la suite de question à poser, on part de l'arbre complet à 64 solutions et on étête les branches au niveau de la 3ème réponses "non". On renumérote alors chaque branche en partant du bas et on redéfinit les questions associées.

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-tableau.jpg

 #9 - 25-03-2010 10:37:12

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

42 mais pas pus...

On peut être élagueur et esthète cool J'apprécie...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #10 - 25-03-2010 15:06:39

lefredj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 115

42 mais pas plus....

De façon générale, en n question, on peut discriminer 2^n chiffres si on n'a pas la contrainte du nombre max de questions négatives.

avec n questions et (n-1) réponses négatives max, on peut trouver (2^n-1) nombres différents.

Donc si on a droit à
1 question, on peut trouver 2 nombres
2 questions, on peut trouver 4 nombres
3 questions, on peut trouver 8 nombres
4 questions, on peut trouver 15 nombres

5 questions :
si la première réponse est oui, on peut encore trouver 15 nombres (cas 4 questions)
si la première réponse est non:
- la 2ème réponse est oui : 7 nombres (cas 3 questions avec 2 non au max)
- la 2ème réponse est non : 4 nombres (3+1, je ne détaille pas)

donc au total, 26 nombres pour 5 questions.

avec une 6ème question, je fais confiance à scrablor pour les 42 nombres possibles. Du coup, la première question est:

"N est-il strictement supérieur à 16 (42-26)?"

Si c'est oui, on se ramène au cas 5 questions (avec les nombres de 17 à 42) et si c'est non... ben ça marche non?

 #11 - 27-03-2010 06:53:57

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

42 mais pa plus...

scrablor a écrit:

on ne peut poser que des questions du type « N est-il strictement supérieur à x ? »

j'avais compris que l'on pouvait également demander:
« N est-il strictement inférieur à x ? » puisqu'elle est du même type roll

comme quoi la résolution est d'abord une histoire de lecture smile


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #12 - 27-03-2010 08:21:56

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

42 mais pas plus....

emmaenne a écrit:

j'avais compris que l'on pouvait également demander:
« N est-il strictement inférieur à x ? » puisqu'elle est du même type...

Le choix avait comme seul but d'assurer l'unicité de la méthode.
Bravo à tous pour votre participation, merci pour les arbres. Pour la généralisation, je n'ai pas mieux à proposer. Rendez-vous dans quelques mois, quand le corrigé paraîtra sur le bulletin de l'APMEP cool


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #13 - 27-03-2010 23:43:33

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

42 mais pas plus..

Généralisons un peu le problème :

Soit n le nombre de questions que l'on peut poser et p le nombre maximal de réponses négatives possibles. On va appeler S(n,p) le nombre de suites de réponses possibles :
[TeX]S(n,p)=\sum_{i=0}^{p}C_{n}^{i}[/TeX]
C'est en effet la somme de toutes les combinaisons à n digits binaires ne contenant pas plus de p "zéro".

On retrouve bien S(6,3)=42 et S(12,3)=299.

Il est clair que une réponse négative à la question N>Q ? définit un ensemble de Q valeur possibles de N.
Pour savoir avec quelle valeur on doit commencer l'interrogation, il suffit de remarquer que si on a une réponse négative à la première question, il nous reste n-1 question et p-1 réponses négatives possibles.

Donc, si on appelle Q(n,p) la question initiale à poser, on a Q(n,p) = S(n-1;p-1)

Pour n=12 et p=3, on a donc :
[TeX]Q(12,3)= S(11,2) =\sum_{i=0}^{2}C_{11}^{i}=67[/TeX]

 #14 - 28-03-2010 00:56:33

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

42 maiss pas plus...

Une jolie démonstration. C'est très bien expliqué, parce que je crois que j'ai tout compris smile

 #15 - 28-03-2010 12:58:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

42 mais pas olus...

Si on va au fond du schéma développé par dylasse on a l'algorithme complet du problème smile

On note :

n : le nombre maximum de questions à poser .
p : le nombre maximum de réponses négatives acceptées .
c : un compteur initialement nul pour répertorier les différentes réponses .
q : la question posée ( plus précisément : "le nombre est-il supérieur à q ?" )
r : 1 ( vrai ) ou 0 ( faux ) valeur Booléenne de la réponse à la question .

Au départ il y a [latex]S(n,p)=C_n^0+...+C_n^p[/latex] valeurs possibles .

Algorithme :

1°) q=c+S(n-1,p-1) .
2°) Si r=0 alors p=p-1 et si r=1 alors c=q .
3°) Si np>0 alors n=n-1 et retour à 1°) .
4°) Le nombre cherché est q+r .

Résultat qui peut paraître étrangement simple , le plus gros du travail ayant été fait par dylasse big_smile

Vasimolo

 

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