Alors je prends le repère $(D,\vec{DC},\vec{DA})$
Les coordonnées des points dans ce repère sont :
$$A(0,b) B(a,b) C(0,a) D(0,0) O(\frac a2,\frac b2) J(\frac a2,0)$$
(J est le milieu de [DC])
Calculons les coordonnées du point I(x,0)
L'angle que fait la boule avec la bande (DC) est le même de chaque côté, donc on peut écrire :
$$\frac{DA}{DI}=\frac{JO}{JI} \frac{b}{x}=\frac{\frac b2}{\frac a2 - x}$$
On trouve alors $x=\frac a3$

Ne reste plus qu'à écrire la condition $(DB) \perp (AI)$
$$\vec{DB}(a,b) \vec{AI}(\frac a3,-b) \vec{DB}.\vec{AI}=\frac{a^2}3-b^2$$
On obtient donc $a=b\sqrt3$

AI passe par le symétrique O' de O par rapport à CD.
L'étude des triangles semblables mène à DOO' équilatéral.
L'angle $\hat{BAC}$ vaut $\frac {\pi} 6$ et $a=b sqrt 3$

AOD est isocèle en O puisque les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu et ont même longueur.
L'angle AID est égal à l'angle OIC par les lois de la réflexion.
Comme l'angle ODI est égal à OCI, on a deux triangles semblables et l'angle COI est droit. Ce qui fait que ACI est isocèle en I.
Puisque ADI est également semblable à COI, l'angle A est donc divisé en trois parties égales de 30°.
$$\frac{a}{b}=tan 60=\sqrt{3}$$

Bonjour,
Tout se passe comme si la boule venait d'un point P extérieur à ABCD et symétrique de O par rapport à DC (les points A, I et P sont alignés).
Soit E le point à l'intersection entre le prolongement de AD et la parallèle à DC passant par P.
Les triangles AEP et DCB (respectivement rectangles en E et C) sont semblables et donc b/a = (a/2)/(3b/2) soit aa=3bb, ce qui donne a=bV3.
Bonne journée.
Frank.

Sur le plan d'ensemble du billard (qui n'est pas à l'échelle puisque c'est cette échelle que nous cherchons), j'ai tracé trois rectangles bleus.
Par symétrie, avec l'angle de rebond de la boule, il est évident que ces trois rectangles bleus sont identiques.
Nous allons nous intéresser au rectangle dont le point I est en bas à droite :




Sur ce dessin, nous avons deux droites : une violette, et une rouge.

L'énoncé nous dit que ces deux droites sont orthogonales.

Intéressons-nous aux équations de ces deux droites (violette et rouge).
Elles sont de la forme :
violet :     y  =  m.x + p
rouge :    y  =  n.x + q

On cherche à déterminer les pentes (m et n) de ces deux droites. Car, par définition, deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1.



violet :
    b/2  =  m.0 + p
    0  = m.a/6 + p

    b/2 = p
    0  =  m.a/6 + b/2

    m.a/6  =  -b/2

    m  =  -3b/a


rouge :
    b/6  =  n.0 + q
    b/3  =  n.a/6 + q

    b/6  =  q
    b/3  =  n.a/6 + b/6

    n.a/6  =  b/6

    n  =  b/a


Nous avons donc :
m  =  -3b/a
n  =  b/a

Sachant que m.n = -1, on déduit a en fonction de b :

-3b/a * b/a  =  -1
3.b²  =  a²

a  =  b.√3

La longueur du billard est donc égale à sa largeur multipliée par racine de 3.

Avec une image à l'échelle, qui nous montre bien l'orthogonalité :

toni77 a écrit:

Preuve à l'appui, il manque une donnée dans l'énoncé, et selon la façon de jouer, il y a une infinité de solutions.

http://www.eurobillards.fr/univers-bill … fets/#cote

Et quelque soit la manière dont tu joues il y a assez de données dans l'énoncé pour remarquer que la balle par du centre, rebondie et est perpendiculaire à la diagonale et que par conséquent des deux côtés les angles sont les mêmes.