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 #1 - 20-02-2011 14:39:11

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Billaard

Pour continuer la série de vasimolo....

http://www.prise2tete.fr/upload/shadock-BA.png

Énoncé :

On considère un billard américain rectangulaire ABCD tel que AB = a et DA = b
Une boule placée au centre rentre dans le trou placé en A après un seul rebond sur la planche CD. On s'aperçoit alors que (IA) est orthogonale à (BD)
Quel est le format du rectangle?

Amusez-vous bien smile

PS: Merci à vasimolo



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 20-02-2011 16:35:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Billar

Alors je prends le repère [latex](D,\vec{DC},\vec{DA})[/latex]
Les coordonnées des points dans ce repère sont :
[TeX]A(0,b)
B(a,b)
C(0,a)
D(0,0)
O(\frac a2,\frac b2)
J(\frac a2,0)[/TeX]
(J est le milieu de [DC])
Calculons les coordonnées du point I(x,0)
L'angle que fait la boule avec la bande (DC) est le même de chaque côté, donc on peut écrire :
[TeX]\frac{DA}{DI}=\frac{JO}{JI}
\frac{b}{x}=\frac{\frac b2}{\frac a2 - x}[/TeX]
On trouve alors [latex]x=\frac a3[/latex]

Ne reste plus qu'à écrire la condition [latex](DB) \perp (AI)[/latex]
[TeX]\vec{DB}(a,b)
\vec{AI}(\frac a3,-b)
\vec{DB}.\vec{AI}=\frac{a^2}3-b^2[/TeX]
On obtient donc [latex]a=b\sqrt3[/latex]

 #3 - 20-02-2011 17:06:27

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Billar

En depliant le billard vers le bas, on trace Le segment OA.
Ceci nous donne cette relation :
[TeX]arctan\frac{3b}{a}=arctan\frac{b}{a}+\frac{\pi}{2}[/TeX][TeX]\frac{3b}{a}=tan[arctan\frac{b}{a}+\frac{\pi}{2}][/TeX]
[TeX]\frac{3b}{a}=-cotan[arctan\frac{b}{a}][/TeX]
[TeX]\frac{3b}{a}=\frac{a}{b}[/TeX]
[TeX]3b^2=a^2[/TeX][TeX]\Large\fbox{a=\sqrt3 b}[/TeX]
AOD et OBC sont donc des triangles équilatéraux.


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 20-02-2011 20:56:24

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 495
Lieu: Ardèche

Bilalrd

AI passe par le symétrique O' de O par rapport à CD.
L'étude des triangles semblables mène à DOO' équilatéral.
L'angle [latex]\hat{BAC}[/latex] vaut [latex]\frac {\pi} 6[/latex] et [latex] a=b sqrt 3[/latex]

 #5 - 20-02-2011 21:48:47

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Bilard

La trajectoire de la boule fait 2 angles de 30° avec la normale à la bande.
[TeX]a = \sqr 3*b[/TeX]
soit a = 1.732 b (ou b = 0.5774 a)

 #6 - 20-02-2011 23:15:45

looozer
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Lieu: Belgique

Bilard

AOD est isocèle en O puisque les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu et ont même longueur.
L'angle AID est égal à l'angle OIC par les lois de la réflexion.
Comme l'angle ODI est égal à OCI, on a deux triangles semblables et l'angle COI est droit. Ce qui fait que ACI est isocèle en I.
Puisque ADI est également semblable à COI, l'angle A est donc divisé en trois parties égales de 30°.
[TeX]\frac{a}{b}=tan 60=\sqrt{3}[/TeX]

 #7 - 20-02-2011 23:51:28

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
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Messages : 609

Billarrd

Posons c=l'angle ODI
Soit M le point d'intersection de (OD) et (AI) et (d) la droite parallèle à (AD) passant par I alors (d) est la bissectrice de l'angle AIO et donc
l'angle AIO=2*c et l'angle ADO=90-c

Puisque le triangle OAD est isocèle en O alors l'angle AOD=180-2*(90-c)=2*c
donc les triangles MOI et MOA sont semblables car deux triangles avec 3 mêmes angles donc [latex]{MO\over{MI}}={MA\over{MO}}[/latex] donc [latex]MA\times{MI}=MO^2[/latex]

De plus l'angle DMI=90-c alors les triangles AMD et MDI sont semblables car deux triangles avec 3 mêmes angles donc  [latex]{MD\over{MI}}={MA\over{MD}}[/latex] donc [latex]MA\times{MI}=MD^2[/latex]
on en déduit que M est le milieu de [DO] donc (AM) est une médiatrice de [DO] donc le triangle AOD est isocèle en A donc le triangle AOD est équilatéral
alors l'angle OAB=30° donc a=2*OA cos(30)=[latex]2\times b \times {\sqrt3\over2}=b\sqrt3[/latex]

 #8 - 21-02-2011 11:07:10

Franky1103
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Messages : 3066
Lieu: Luxembourg

Billaard

Bonjour,
Tout se passe comme si la boule venait d'un point P extérieur à ABCD et symétrique de O par rapport à DC (les points A, I et P sont alignés).
Soit E le point à l'intersection entre le prolongement de AD et la parallèle à DC passant par P.
Les triangles AEP et DCB (respectivement rectangles en E et C) sont semblables et donc b/a = (a/2)/(3b/2) soit aa=3bb, ce qui donne a=bV3.
Bonne journée.
Frank.

 #9 - 22-02-2011 01:53:51

dhrm77
L'exilé
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Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Billlard

Comme le centre de gravité d'une boule de billard rebondit a une distance 'r' du bord d'un billard, on a besoin de la taille de la boule et au moins un coté du billard.

Cependant, en supposant que le diametre de la boule est nul, on obtient:

Longueur AD = longueur AB * √(1/3)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #10 - 22-02-2011 21:35:33

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

billarf

Sur le plan d'ensemble du billard (qui n'est pas à l'échelle puisque c'est cette échelle que nous cherchons), j'ai tracé trois rectangles bleus.
Par symétrie, avec l'angle de rebond de la boule, il est évident que ces trois rectangles bleus sont identiques.
Nous allons nous intéresser au rectangle dont le point I est en bas à droite :

http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-Billard-shadock.PNG


Sur ce dessin, nous avons deux droites : une violette, et une rouge.

L'énoncé nous dit que ces deux droites sont orthogonales.

Intéressons-nous aux équations de ces deux droites (violette et rouge).
Elles sont de la forme :
violet :     y  =  m.x + p
rouge :    y  =  n.x + q

On cherche à déterminer les pentes (m et n) de ces deux droites. Car, par définition, deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1.



violet :
    b/2  =  m.0 + p
    0  = m.a/6 + p

    b/2 = p
    0  =  m.a/6 + b/2

    m.a/6  =  -b/2

    m  =  -3b/a


rouge :
    b/6  =  n.0 + q
    b/3  =  n.a/6 + q

    b/6  =  q
    b/3  =  n.a/6 + b/6

    n.a/6  =  b/6

    n  =  b/a


Nous avons donc :
m  =  -3b/a
n  =  b/a

Sachant que m.n = -1, on déduit a en fonction de b :

-3b/a * b/a  =  -1
3.b²  =  a²

a  =  b.√3

La longueur du billard est donc égale à sa largeur multipliée par racine de 3.

Avec une image à l'échelle, qui nous montre bien l'orthogonalité :

http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-Billard-shadock-bis.PNG


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #11 - 24-02-2011 17:33:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

Bilard

Si on n'aime pas les calculs , on peut remarquer que tous les triangles du dessin sont semblables

http://img718.imageshack.us/img718/48/billardj.jpg


Vasimolo

 #12 - 24-02-2011 18:11:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

bilmard

toni77 a écrit:

Preuve à l'appui, il manque une donnée dans l'énoncé, et selon la façon de jouer, il y a une infinité de solutions.

http://www.eurobillards.fr/univers-bill … fets/#cote

Et quelque soit la manière dont tu joues il y a assez de données dans l'énoncé pour remarquer que la balle par du centre, rebondie et est perpendiculaire à la diagonale et que par conséquent des deux côtés les angles sont les mêmes.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 24-02-2011 21:12:55

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2218

Blilard

Tu as raison, toni77 : va jouer.

Edit : Ah tiens, les messages de toni77 ont disparu.

 

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