L'énigme m'a tout de suite fait penser au fameux moteur Wankel. La recherche sur Wiki me propose le triangle de Reuleaux :

et l'article ajoute que c'est un exemple de courbe de largeur constante
( http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_ … _constante )

Il existe une infinité de courbes répondant au critère d'un diamètre constant.
Le cercle est la courbe qui possède l'aire la plus grande, le triangle de Reuleaux est la courbe qui possède l'aire la plus petite.
Le triangle de Reuleaux :


Idem en dimension 3, voici un tétraèdre de Reuleaux :


Quelques applications amusantes :

a) les pièces britanniques de 20 pence et de 50 pence :

Elles possèdent un contour de largeur constante. Leur forme d'heptagone curviligne permet d'économiser du métal (pingres britanniques) sans gêner la reconnaissance de ces pièces par les automates rendant la monnaie : ces automates mesurent en effet une largeur identique quelle que soit l'orientation des pièces

b) en architecture (cathédrale de Bruges) :


c) chez les créatifs :

Eh bien non ! Sans quoi le moteur Wankel n'aurait pas pu fonctionner...

Pour les explications, c'est là et là.

Un exemple :

Non , ça s'appelle une roue en voici un exemple avec AC=AD=BD=BE=CE .



Vasimolo

oui

Bonjour

Des réponses intéressantes ! Merci !

Une précision : par "diamètre" j'entends la mesure de la largeur maximale dans toutes les directions.

Mon énoncé et le dessin représentent une telle mesure "de l'intérieur", mais la même question peut être posée en considérant la mesure de l'extérieur avec un pied à coulisse.

ça roule ?

Si tu poses la question c'est que la réponse doit être non
je pense qu'il ne faut pas etre en geometrie plane  ou la ligne droite est le plus court chemin. Comme pour les avions pour aller de NY a Paris le chemin le plus court est une courbe


Mais je ne domine pas assez pour imaginez une ellipse dans ces cas la

Papy

"c'est pas faux !"

On peut créer une telle figure en prenant un polygone régulier (avec un nombre impair de côtés) dont on arrondit les côtés en les remplaçant par des arcs de cercle centrés sur le sommet opposé.

Les pièces de 20 pence en Angleterre ont cette particularité, ce qui leur permet de passer correctement dans la fente d'un monnayeur.

Je ne sais pas si d'autres solutions existent.