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 #1 - 28-07-2010 00:31:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea 17

Et un dernier pour la route smile

De demi-tartes en demi-tartes notre pâtissier a épuisé son stock de boîtes carrées et il a fallu faire les fonds de tiroirs hmm

http://img833.imageshack.us/img833/9738/botetriangulaire.jpg

Quel est donc le rayon de ce gâteau ?

Vasimolo



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 #2 - 28-07-2010 01:19:32

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

gâteay 17

Soit O le centre du demi cercle P le point de tangence sur [AC] et Q sur [BC]
alors les triangles OPA; OPC; OQC et OQB sont rectangles
on note x = CP et z = CB et OA = y et R le rayon du cercle

d'après le théorème de Pythagore
OC²=x²+R²
OC²=z²+R²
y²=R²+(22-x)²
(40-y)²=R²+(26-z)²

donc x²=z² et donc z=x et on exclut z=-x

d'où (40-y)²-y²= (26-x)²-(22-x)²
donc 40(40-2y)= ((26-x)-(22-x))((26-x)+(22-x)=4(48-2x)

et d'où 10(20-y)=24-x
x=24-200+10y=10y-176

d'après le théorème d'Al Kashi
BC²=AB²+AC²-2*AB*AC cos(A)
cos A= (AB² + AC² - BC²) /2*AB*AC=(40² + 22² -26²)/2*40*22=0.8
et donc OC²=y²+22²-2*22*0.8*y=y²-35.2y+484

d'où y²-35.2y+484=(10y-176)²+R²
et R²=y²-(198-10y)² d'où -35.2y+484=(10y-176)²-(198-10y)²=22(20y-374)

d'où -1.6y+22=20y-374 donc y=55/3 donc x=22/3 et donc R²=(55/3)²-(44/3)²
donc R²=1089/9=121 donc R=11 et on exclut R=-11

 #3 - 28-07-2010 11:25:38

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Gâteu 17

En utilisant des formules liées au demi-périmètre d'un triangle, j'obtiens que le cercle inscrit dans ABC a un rayon de 6 cm et le cercle exinscrit « en dessous » de AB un rayon de 66 cm.
Comment ces deux rayons peuvent-ils me donner le rayon demandé d'un cercle qui est leur homothétique avec C pour centre ?
Je connais pourtant la réponse, fournie par Geogebra : le rayon est de 11 cm.

Mais en regardant mieux mon dessin, je vois que mon triangle est réunion de deux triangles de même hauteur x.
Avec la formule de Héron : S=264.
Avec mon découpage : S=11x+13x=24x.
Donc x=264/24=11. QED.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 28-07-2010 14:00:47

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Gâtteau 17

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau17.jpg

Pas trouvé plus simple que par la géométrie analytique...

(...)

En utilisant l'indice :

44 est le demi périmètre

L'aire du triangle = [latex]sqrt{44(44-22)(44-26)(44-40)}=264[/latex]

Or aire ABC = aire CDA + aire BDA =  [latex]\frac{22R}{2}+\frac{26R}{2} = 24R[/latex]  (R est le rayon du demi-cercle)

Si 24R = 264, alors R = 264/24 = 11

Merci pour le coup de pouce Vasimolo wink

 #5 - 28-07-2010 17:44:19

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

fâteau 17

Le rayon du gâteau est de 11cm.

Sa construction implique de tracer la bissectrice de A, de tracer le cercle de diamètre AE pour générer les points F et G où le gâteau tangente les côtés de la boite.

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-GATO17.png

Le calcul du rayon reste à demontrer... tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 28-07-2010 18:07:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteua 17

Trois bonnes réponses : scablor , looozer et franck .

La justification est très courte si on si prend bien . Scablor est le seul à l'avoir vue pour le moment smile

Indice : Spoiler : [Afficher le message] l'aire du triangle est 264 cm²

Vasimolo

 #7 - 29-07-2010 13:40:17

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gâtea 17

Waaaa ! Gâteau 17 ou comment faire peur aux Prise2Têtiens avec pas grand chose big_smile

Merci pour l'indice de l'aire du triangle, qui m'a permis de partir sur une piste raisonnable !

Donc, avec la formule de Héron, je détermine que l'aire du triangle est de 264 cm²

Je décompose ensuite notre triangle en deux (selon l'axe OC) :
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-gateau17.PNG

L'aire du triangle OAC est de 22.r/2
L'aire du triangle OBC est de 26.r/2
La somme de ces deux aires valant 264.

r . (26/2 + 22/2) = 264
r = 11

Le rayon de notre demi-tarte est donc de 11 cm !


En parlant de tarte, j'ai bien envie de m'en mettre une... C'était pas si compliqué...
Merci Vasimolo smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #8 - 29-07-2010 15:08:53

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Gâteu 17

Utilisant la formule de Héron d’Alexandrie, l’aire du triangle, [latex]A_1[/latex], peut se calculer:
[TeX]s_1 = \frac{a+b+c}{2}=48[/TeX][TeX]A_1 = sqrt(s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-c))=264[/TeX]
Par symétrie, le demi-gâteau inscrit dans ce triangle est un cercle inscrit dans un rectangle particulier en forme de cerf-volant (« kite » pour une recherche sur site en anglais).

Ce type de rectangle se caractérise entre-autre par l'existence d'un cercle inscrit ainsi qu'une relation bien utile ici:
si [latex]A_2[/latex] est l'aire du kite, [latex]s_2[/latex] son demiperimètre et r le inradius (rayon du cercle inscrit)

[latex]r=\frac{A_2}{s_2}=\frac{2A_1}{(22+26)}=11[/latex] cqfd


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 30-07-2010 18:19:18

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Gteau 17

alors sans justification sinon la seule bissectrice issue de C pour le centre du cercle de rayon ==> 11 cm

mais j'avoue ne pas avoir vu le truc qui va bien sad

 #10 - 31-07-2010 00:39:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâetau 17

Bon on a pas mal ramé avec celui-ci , c'est curieux car j'étais vraiment persuadé que vous n'en feriez qu'une bouchée smile

Beaucoup de bonnes réponses malgré tout mais seul scrablor a tout de suite vu  l'astuce . Bon , La géométrie c'est vraiment plein de pièges et il m'arrive de sécher misérablement sur des petits exercices 6ème mad

Il fallait en effet calculer l'aire avec la formule de Heron puis remarquer que le rayon de la tarte constituait une hauteur de chacune des parts obtenues en traçant la bissectrice ( la droite passant par le centre du demi-disque et le sommet opposé du triangle ) .

La figure du SingeMalicieux illustre bien le résultat smile

Vasimolo

PS : Je comptais arrêter la série ici mais comme Gabriel nous fait une relance , je crois que c'est reparti pour une petite série . Dommage car j'ai plein de problèmes avec des dés , des cartes , des quadrillages qui devront attendre encore un peu cool

 

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