Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 14-02-2015 11:01:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteauu 93

Bonjour à tous smile

Certains se souviennent peut-être des gâteaux équiangles de mon pâtissier :
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=12129 .

En ce moment il est à fond là-dedans et je suis harcelé de questions .

Il m'a montré ce matin un pentagone réalisé avec ses baguettes dont la taille est un nombre entier de centimètres et qu'il déclare équiangle .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-pentagone.png

Les derniers problèmes qu'il nous a présentés étaient un peu "limites" du coup j'ai de sérieux doutes sur sa réalisation et vous ?

Bonne recherche smile

Vasimolo



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 14-02-2015 12:11:29

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Gâteu 93

sin (18°) étant un "multiple" rationnel de rac(5) --> 1/4 (rac(5)-1)difficile de l'obtenir comme rapport des deux côtés avec deux nombres entiers.

 #3 - 14-02-2015 12:12:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâyeau 93

En fait, tu demandes si le sinus de Pi/10 est rationnel ? 
Je dirais que non, pourtant celui de Pi/6 l'est....

 #4 - 14-02-2015 12:30:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 93

Joli tir groupé de Gwen et Nodgim smile

Si vous voulez vous occuper pour le week-end : il m'a montré aussi un heptagone avec les mêmes contraintes lol

Vasimolo

 #5 - 14-02-2015 19:47:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 993

Pour répondre aux MP

Bien sûr le pentagone régulier à côtés entiers convient mais ce n'est visiblement pas le gâteau présenté par le pâtissier .

J'ajoute que s'il y a deux bonnes réponses , les justifications laissent quelques abysses à combler .

Vasimolo

 #6 - 15-02-2015 10:49:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Gâtea 93



Soit le pentagone régulier de côté a ... e et b sont donc entiers
je prolonge en traçant des paralellogrammes (trais bleus),
on en déduit que c est entier aussi.
Puis on trace un  trapèze régulier (côtés rouges) et on voit que c étant entier , d doit l'être.
Un simple calcul sur les angles montre que le triangle construit est isocèle (et de côtés entiers)

Donc 2d cos (36°) = e
e/2d est rationnel, pas cos (36°)

Ca ne marche que d=e=0 soit pour un pentagone régulier.

PS  on peut aussi construire le second trapèze pour se convaincre que b=0

 #7 - 15-02-2015 11:16:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gtâeau 93

C'est bon Gwen , bravo !!!

On peut faire un peu plus simple en prolongeant les côtés b , c et e smile

Vasimolo

 #8 - 15-02-2015 11:16:53

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

âGteau 93

salut.

un pentagone équiangle possède 5 angles de 108° .
si je pars d'un pentagone régulier ABCDE avec 5 côtés entiers et que je translate le côté AB  de façon à conserver les 5 angles .
je dois diminuer les côtés BC et DA d'une quantité entière n . Alors il est impossible pour le côté AB de rester entier pour la raison suivante:

appelons z le nombre d'or . z = (V5 + 1)/2 est irrationnel.

et sin18° = m/n = (z-1)/2 est irrationnel  et si n est entier alors m est irrationnel . le côté AB  mesure après translation  AB + 2m  non entier.

 #9 - 15-02-2015 11:46:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 93

Ta réponse est juste Unecoudée mais la justification n'est pas correcte . On peut par exemple construire un gâteau équiangle non régulier à dix côtés entiers et pourtant les sinus des angles ne sont pas rationnels .

Vasimolo

 #10 - 15-02-2015 12:22:24

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Gâtea u93

salut vasimolo .

mais je m'en suis tenu uniquement au gâteau que ton pâtissier t'a montré .
c'est à dire un pentagone . je n'ai pas attaqué les autres polygones .

 #11 - 15-02-2015 12:26:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 93

Oui Unecoudée , mais l'argument de ta démonstration s'applique à l'identique pour un décagone , non ?

Vasimolo

 #12 - 15-02-2015 15:21:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Gâtteau 93

En fait toute figure dont le nombre de côté n'est pas premier le permet.

Pour les autres, je ne sais pas même si j'ai l'intuition que c'est impossible.

 #13 - 15-02-2015 17:36:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteeau 93

Ton intuition est bonne Gwen et il y a une démonstration pas trop difficile . Pour le cas ou le nombre de côtés n'est pas premier il y a une petite variante assez amusante qui fera l'objet d'un prochain gâteau smile

Vasimolo

 #14 - 16-02-2015 09:59:41

maahlaha
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1

gâteai 93

les angles sont de 108 degres

 #15 - 16-02-2015 18:53:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 93

J'ajoute un petit indice pour ceux qui pataugent dans le nougat smile

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-pentagonesolution.png

Ne cherchez pas trop compliqué .

Vasimolo

PS : je rappelle que cos(72°) n'est pas rationnel .

 #16 - 16-02-2015 21:20:15

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Gâteua 93

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Pentagone.png
Aaarrrggghhh !
Lors d'une réunion ennuyante ce matin, j'avais justement pensé à prolonger les côtés du pentagone pour former un triangle. Et là, ça devient plus facile !
On a les relations: x = a / (2.sin18°), et: y = d / (2.sin18°)
De plus: c + y = b + x, ce qui donne: 2.sin18° = (a - d) / (c - b)
Or: 2.sin18° est irrationnel, alors que: (a - d) / (c - b) est rationnel
Donc on ne peut pas construire de pentagone équiangle avec des côtés entiers (sauf bien sûr si: a = b = c = d = e, ce qui donne le pentagone régulier).

 #17 - 16-02-2015 22:04:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 93

C'est ça Franky smile

Vasimolo

 #18 - 17-02-2015 18:24:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 93

Il était amusant ce gâteau , non ?

Ma démonstration étant assez proche de celle de Franky , je vais vous épargner une deuxième lecture .

Un grand merci aux participants smile

Gwen a levé un lièvre pour les polygones équiangles P à n côtés :

n premier <=> P nécessairement régulier

Une démonstration dans un sens ou dans l'autre ?

Vasimolo

 #19 - 18-02-2015 15:40:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 93

Ce n'est pas la bousculade pour répondre lollollol

Voilà pour l'implication "n non premier => P pas forcément régulier"

Un exemple avec n=15=3X5 , la méthode est la même pour n=pq avec p et q deux entiers quelconques supérieurs à 1 :
http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-15gone1.png

Il ne reste plus qu’à mettre les vecteurs bout à bout :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-15gone2.png

La réciproque est purement algébrique .

Un volontaire pour essayer ?

Vasimolo

 #20 - 18-02-2015 15:42:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

gâyeau 93

Je pense que: "n premier <=> P nécessairement régulier" n'est pas juste.
Je prends un octogone. Ses côtés entiers sont respectivement a, b, c, d, e, f, g et h
en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre: ils sont parallèles deux à deux:
a//e, b//f, c//g et d//h. J'ai la relation: a.(V2/2)+b+c.(V2/2)=e.(V2/2)+f+g.(V2/2),
ce qui donne: (f-b)/(a+c-e-g)=V2/2, avec un membre rationnel et l'autre irrationnel.
Donc j'ai forcément: b=f, et je peux démontrer par rotation que: a=e, c=g et d=h.
Et l'octogone est forcément régulier, alors que 8 n'est pas premier.
Pour un décagone, il en va autrement et j'ai trouvé une petite astuce, mais cela fait l'objet d'une autre énigme.

Edit: Mon post contredit celui du pâtissier ci-dessus que je viens de lire. Mais le nombre 8 a la particularité de s'écrire 2³ et du coup, on n'aurait qu'un cercle sur le schéma.

 #21 - 18-02-2015 15:49:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea 93

Franky smile

Tu reprends l'exemple précédent avec 4 flèches rouges et 4 flèches bleues et tu obtiendras un octogone equiangle non régulier .

Vasimolo

 #22 - 18-02-2015 15:56:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

gâteay 93

Côtés 1 2 1 2 1 2 1 2 par exemple.

Il est juste semi-régulier, si le terme existe...

 #23 - 18-02-2015 16:11:42

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

gâyeau 93

Au temps pour moi (ou autant pour moi, je n'ai jamais compris), avec a=e, b=f, c=g et d=h, j'ai simplement démontré que deux côtés parallèles sont égaux, mais pas du tout que l'octogone est régulier. Ma conclusion a été trop hâtive.

 #24 - 18-02-2015 16:16:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gtâeau 93

Pas de problème Franky , seuls ceux qui osent proposer des solutions risquent de se tromper smile

Vasimolo

 #25 - 18-02-2015 16:19:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Gteau 93

Oui, c'est pour ça que que c'est possible avec tout nombre de côtés non premier.

Multiple de 3 : on invente un truc avec n/3 côtés et on reporte sur un triangle équilatéral.

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Gâteau 72 par Vasimolo
22-02-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 123 par Vasimolo
24-07-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 94 par Vasimolo
17-02-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 60 par Vasimolo
08-06-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 42 par Vasimolo
29-10-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 118 par Vasimolo
11-01-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 84 par Vasimolo
23-11-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 59 par Vasimolo
05-05-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 88 par Vasimolo
05-01-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 115 par Vasimolo
23-12-2015 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete