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 #1 - 07-08-2010 00:06:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

gâtezu 24

La résolution d'un problème apporte toujours une satisfaction plus ou moins intense . Dans certains cas , c'est plus que ça ...

Mon pâtissier ma posé un problème .

Il a distribué sur une tarte des graines colorées de trois couleurs différentes . Il a ensuite découpé cette tarte en six parts égales et a trouvé sans problème quatre parts contenant au moins la moitié des graines de chaque couleur .

http://img337.imageshack.us/img337/4489/gteau24.jpg

Mais parmi 2n parts de tarte contenant des graines de 3 couleurs différentes , peut-on toujours choisir n+1 parts contenant au moins la moitié des graines de chaque couleur ???????

J'ai séché sur ce problème pendant des ... je vous laisse aussi sécher un moment mais je fournirais au besoin tous les indices souhaités smile

Bon courage smile

Vasimolo

Deux indices pour ce problème très difficile :

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Si on ne s'occupe que de deux couleurs par exemple des graines rouges et des bleues alors on peut partager les 2n parts en deux tas qui équilibrent quasiment les graines rouges et les graines bleues . C'est à dire que la différence entre le nombre total de graines rouges ( resp bleues ) de chaque tas est inférieur ou égal au nombre de graines rouges ( resp bleues ) de la part qui en contient le plus . 

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] En retirant les deux parts contenant le plus de bleues et le plus de rouges on peut partager les 2n-2 parts restantes en deux tas quasiment équilibrés en graines rouges et bleues .

En écrivant les deux indices je me rends compte que c'est quand même un peu tordu j'illustrerai avec un exemple dès que quelqu'un aura trouvé la solution .

Donc ce soir lollollollol



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 #2 - 07-08-2010 01:10:25

Newton58
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 7
Messages : 2

GGâteau 24

Si n = 0

 #3 - 07-08-2010 05:54:45

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

fâteau 24

Je vois pas de solution rigoureuse pour l'instant, mais je dirais que le désordre est tout à notre avantage, et que puisque c'est possible quand tout est bien rangé (autant de graines partout) ça doit l'être tout le temps.

 #4 - 07-08-2010 11:34:20

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

Gââteau 24

J'avoue que là, je ne pige pas.

Tout d'abord sur le dessin, seules deux parts contiennent au moins la moitie des graines d'une couleur donnee. Ici la part contentant une majorite de graines bleues et rouges. Les part a dominantes jaunes ne contiennent que 5 des 11 graines jaunes.

D'autre part je ne comprends pas la logique du probleme pose. Plus la tarte est coupee en petits morceaux (grand n, disons n=5 soit 10 parts), plus le nombre de part contenants une majorit
  Euraka, j'ai pige. yikes
Il faut considerer les parts choisis comme un sous-ensemble contenant au moins 50% de chaque couleur de graines... A voir...


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 09-08-2010 11:43:16

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Gâteua 24

Je me lance sans connaître la fin...

Il y a un certain nombre de manières de partager le gâteau en deux groupes de n parts.
Si au moins une fois, toutes les couleurs sont majoritairement dans un même groupe (au sens large), le problème est résolu.

Plaçons nous dans le cas contraire. Alors, pour une configuration donnée, la répartition majoritaire sera de type 2+1 (voire 2+2 mais ça ne change pas grand chose).
En faisant des échanges part contre part, on arrivera finalement à la composition inverse 1+2. J'ai donc à creuser cette évolution pas à pas. Si je m'y prends bien, je devrais trouver une paire de parts stratégique qui me ferait choisir les (n+1) parts espérées.
Hélas, je ne vois pas comment faire si l'évolution des couleurs est du type :
JauneRouge+Bleu -> Jaune+BleuRouge -> JauneBleu+Rouge -> Bleu+JauneRouge


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 09-08-2010 12:04:58

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

gâteai 24

mon raisonnement manque de rigueur, et ça doit surement me couter cher quelque part ...

il parait évident que le cas le plus "difficile" est un cas ou il y a une répartition équitable des boules dans les parts du gâteaux.
supposons ce 1er feeling, on peut donc raisonner sur une répartition uniforme, et même simplifier pour le cas ou il existe 1 boule par case.

il existe 2n cases, ou se trouve 3 couleurs,
2 cas s'offre a nous :
#il existe 2 boules en nombres impairs, et un en nombre pairs,
#les 3 boules sont en nombres pairs.
en effet la somme doit être pair (égale a 2n)
nous avons donc
(2a+1) +(2b+1)+2c = 2n
en notant 2a+1 le nombre de première boules 2b+1 de la seconde, et 2c de la troisième.
il nous faut obtenir
(a+1), (b+1) et c boules or (a+1)+(b+1)+c = a+b+c+2
au vu de la répartition, il nous faut autant de case, or ce nombre est n+1 cases, en effet
a+b+c+2 = n+1, d'ou a+b+c = n-1,
d'ou
2a+1+2b+1+2c= 2n.

le cas des 3 nombres pair est identique:
2a+2b+2c = 2n,
il nous en faut a, b et c boules, d'ou a+b+c = n
n cases suffisent même ici.

mon "1er feeling" me semble trivial, mais j'ai appris a me méfier des "mais c'est évident" tongue
surtout lorsque la démonstration rigoureuse me semble, elle, loin d'être trivial tongue

 #7 - 17-08-2010 19:32:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

gâtezu 24

Si on le permet je ne donnerai pas ma solution tout de suite sad

La partie la plus difficile est la justification de l'indice 1 qu'on peut obtenir par récurrence .

Vasimolo

 #8 - 17-08-2010 19:33:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteaau 24

Newton58 a écrit:

Si n = 0

C'est le seul cas qui ne marche pas, vu qu'on ne peut pas prendre 1 part parmi 0. Bien essayé wink


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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